%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{diagbox} \usepackage{eucal} \usepackage{tabularx} \usepackage{colortbl} \usepackage{multirow} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumerate} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Jean-Paul Goualard %Relecture : François Hache \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\textbf{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23.5cm} \setlength{\voffset}{-1.5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\textsc{Exercice} \arabic{subsection}}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Métropole - 21 juin 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S } \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{21 juin 2017}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole~\decofourright\\[5pt] 21 juin 2017}}} \end{center} \subsection{\textcolor{blue}{\hfill 7 points}} \label{courbe} \textbf{Commun à tous les candidats } \bigskip \textbf{Partie A } \bigskip On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : \[h(x) = x\mathrm{e}^{-x}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $h$ en $+\infty$. \item Étudier les variations de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et dresser son tableau de variations. \item L'objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction $h$. \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on a : \[h(x) =\mathrm{e}^{-x} - h'(x)\] où $h'$ désigne la fonction dérivée de $h$. \item Déterminer une primitive sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de la fonction $x\longmapsto \mathrm{e}^{-x}$. \item Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B } \bigskip On définit les fonctions $f$ et $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par: \[f(x) = x\mathrm{e}^{-x} + \ln(x + 1)\qquad\text{ et }\qquad g(x) =\ln(x + 1).\] On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques respectives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé. \textbf{Ces deux courbes sont tracées en annexe page \pageref{fin}. Cette annexe est à rendre avec la copie.} \bigskip \begin{enumerate} \item Pour un nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on appelle $M$ le point de coordonnées $(x~;~f(x))$ et $N$ le point de coordonnées $(x~;~g(x))$ : $M$ et $N$ sont donc les points d'abscisse $x$ appartenant respectivement aux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle la distance $MN$ est maximale et donner cette distance maximale. \item Placer sur le graphique fourni en annexe page \pageref{fin} les points $M$ et $N$ correspondant à la valeur maximale de $MN$. \end{enumerate} \item Soit $\lambda$ un réel appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$. On note $D_{\lambda}$ le domaine du plan délimité par les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et par les droites d'équations $x = 0$ et $x = \lambda$. \begin{enumerate} \item Hachurer le domaine $D_{\lambda}$. correspondant à la valeur $\lambda$ proposée sur le graphique en annexe page \pageref{fin}. \item On note $A_{\lambda}$ l'aire du domaine $D_{\lambda}$, exprimée en unités d'aire. Démontrer que : \[A_{\lambda} = 1 - \dfrac{\lambda+1}{\mathrm{e}^{\lambda}}.\] \item Calculer la limite de $A_{\lambda}$ lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty$ et interpréter le résultat. \end{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|l l|} \hline Variables : &\\ &$\lambda$ est un réel positif\\ &$S$ est un réel strictement compris entre 0 et 1.\\ \textbf{Initialisation :} &\\ &Saisir $S$\\ &$\lambda$ prend la valeur 0\\ \textbf{Traitement :} &\\ &Tant Que $1-\dfrac{\lambda+1}{\mathrm{e}^{\lambda}}{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \textbf{Proposition A } &\textbf{Proposition B }&\textbf{Proposition C }&\textbf{Proposition D }\\\hline & & & \\ $40 < r < 60$ &$20 < r < 40$ &$40 < r < 60$ &$0< r < 60$ \\ et &et &et &et\\ $0<\theta<\dfrac{\pi}{4}$&$\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{3\pi}{4}$&$\dfrac{\pi}{4}<\theta<\dfrac{\pi}{2}$&$-\dfrac{\pi}{2}<\theta<-\dfrac{\pi}{4}$\\ & & & \\\hline \end{tabularx} \end{center} \item Un impact de foudre est matérialisé sur l'écran en un point d'affixe $z$. Dans chacun des deux cas suivants, déterminer le secteur auquel ce point appartient : \begin{enumerate} \item $z =70\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi3} $ ; \item $z = -45\sqrt{3}+45\mathrm{i}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B } \end{center} On suppose dans cette partie que le capteur affiche un impact au point P d'affixe~$50\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}$. \smallskip En raison d'imprécisions de mesures, le point d'impact affiché ne donne qu'une indication approximative du point d'impact réel de la foudre. \smallskip Ainsi, lorsque le capteur affiche le point d'impact P d'affixe $50\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}$, l'affixe $z$ du point d'impact réel de la foudre admet : \begin{enumerate}[$\bullet$] \item un module qui peut être modélisé par une variable aléatoire M suivant une loi normale d'espérance $\mu = 50$ et d'écart type $\sigma = 5$ ; \item un argument qui peut être modélisé par une variable aléatoire T suivant une loi normale d'espérance $\dfrac{\pi}{3}$ et d'écart type $\dfrac{\pi}{12}$. \end{enumerate} \bigskip On suppose que les variables aléatoires $M$ et $T$ sont indépendantes, c'est-à-dire que, quels que soient les intervalles $I$ et $J$, les évènements $(M \in I)$ et $(T\in J)$ sont indépendants. \smallskip \emph{Dans la suite les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$ près.} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité $P(M < 0)$ et interpréter le résultat obtenu. \item Calculer la probabilité $P(M\in ]40~;~60[)$. \item On admet que $P\left(T\in\left]\dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[\right) = 0,819$. En déduire la probabilité que la foudre ait effectivement frappé le secteur B3 selon cette modélisation. \end{enumerate} \subsection{\textcolor{blue}{\hfill 5 points}} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité } \medskip On étudie un modèle de propagation d'un virus dans une population, semaine après semaine. Chaque individu de la population peut être, à l'exclusion de toute autre possibilité : \begin{enumerate}[$\bullet$] \item soit susceptible d'être atteint par le virus, on dira qu'il est \og{}de type S\fg{} ; \item soit malade (atteint par le virus) ; \item soit immunisé (ne peut plus être atteint par le virus). \end{enumerate} Un individu est immunisé lorsqu'il a été vacciné, ou lorsqu'il a guéri après avoir été atteint par le virus. \bigskip Pour tout entier naturel $n$, le modèle de propagation du virus est défini par les règles suivantes : \begin{enumerate}[$\bullet$] \item Parmi les individus de type S en semaine $n$, on observe qu'en semaine $n + 1$ : 85\:\% restent de type S, 5\:\% deviennent malades et 10\:\% deviennent immunisés ; \item Parmi les individus malades en semaine $n$, on observe qu'en semaine $n + 1$ : 65\:\% restent malades, et 35\:\% sont guéris et deviennent immunisés. \item Tout individu immunisé en semaine $n$ reste immunisé en semaine $n + 1$. \end{enumerate} \medskip On choisit au hasard un individu dans la population. On considère les évènements suivants : $S_n$ : \og{}l'individu est de type S en semaine $n$\fg{} ; $M_n$ : \og{} l'individu est malade en semaine $n$\fg{} ; $I_n$ : \og{}l'individu est immunisé en semaine $n$\fg. \medskip En semaine 0, tous les individus sont considérés \og de type S\fg, on a donc les probabilités suivantes : \[P\left(S_0\right) = 1~;~P\left(M_0\right) = 0\text{ et } P\left(I_0\right) = 0.\] \begin{center} \textbf{Partie A } \end{center} On étudie l'évolution de l'épidémie au cours des semaines 1 et 2. \medskip \begin{enumerate} \item Reproduire sur la copie et compléter l'arbre de probabilités donné ci-dessous : %\begin{center} %%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} %\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm} %\pstree[treemode=R]{\Tdot~[tnpos=a]{$S_0$}} %{ %\pstree %{\Tdot~[tnpos=a]{$S_1$}\taput{ $\cdots$}} %{ %\Tdot~[tnpos=r]{$\cdots$}\taput{ $\cdots$} %\Tdot~[tnpos=r]{$\cdots$}\taput{ $\cdots$} %\Tdot~[tnpos=r]{$\cdots$}\tbput{ $\cdots$} %} %\pstree %{\Tdot~[tnpos=a]{$M_1$}\taput{ $\cdots$}} %{ %\Tdot~[tnpos=r]{$\cdots$}\taput{ $\cdots$} %\Tdot~[tnpos=r]{$\cdots$}\taput{ $\cdots$} %\Tdot~[tnpos=r]{$\cdots$}\tbput{ $\cdots$} %} %\pstree %{\Tdot~[tnpos=a]{$I_1$}\tbput{ $\cdots$}} %{ %\Tdot~[tnpos=r]{$\cdots$}\taput{ $1$} %} %} %\end{center} \begin{center} \bigskip {%\small \psset{treesep=.75cm,levelsep=3cm,nodesepB=2.5pt, treesep=10mm} $S_0$~\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt] {\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$S_1$}\naput{\ldots}} { \TR{\ldots}\naput{\ldots} \TR{\ldots}\naput{\ldots} \TR{\ldots}\nbput{\ldots} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$M_1$}\naput{\ldots}} { \TR{\ldots}\naput{\ldots} \TR{\ldots}\nbput{\ldots} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$I_1$}\nbput{\ldots}} {% \TR{\ldots}\naput{1} } } }% fin du \small \bigskip \end{center} \item Montrer que $P\left(I_2\right)= \np{0,2025}$. \item Sachant qu'un individu est immunisé en semaine 2, quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu'il ait été malade en semaine 1 ? \end{enumerate} \bigskip \newpage \begin{center} \textbf{PARTIE B} \end{center} On étudie à long terme l'évolution de la maladie. Pour tout entier naturel $n$, on : $u_n = P\left(S_n\right)$, $v_n=p\left(M_n\right)$ et $w_n=P\left(I_n\right)$ les probabilités respectives des évènements $S_n$, $M_n$ et $I_n$. \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n + v_n + w_n=1$. On admet que la suite $\left(v_n\right)$ est définie par $v_{n+1} = 0,65v_n + 0,05u_n$. \item À l'aide d'un tableur, on a calculé les premiers termes des suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$. \begin{center} \begin{tabular}{|>{\cellcolor{lightgray}}r|*{4}{r|}}\hline \hspace*{0.8cm} & \cellcolor{lightgray}\hspace*{1cm} A& \cellcolor{lightgray}\hspace*{1cm} B& \cellcolor{lightgray}\hspace*{1cm} C&\cellcolor{lightgray}\hspace*{0.8cm} D\\\hline 1 &$n$ &$u_n$ &$v_n$ &$w_n$\\\hline 2 &0 &1 &0 &0\\\hline 3 &1 & \np{0,8500} & \np{0,0500} & \np{0,1000} \\\hline 4 &2 & \np{0,7225} & \np{0,0750} & \np{0,2025} \\\hline 5 &3 & \np{0,6141} & \np{0,0849} & \np{0,3010}\\\hline 6 &4 & \np{0,5220} & \np{0,0859} & \np{0,3921} \\\hline 7 &5 & \np{0,4437} & \np{0,0819} & \np{0,4744}\\\hline 8 &6 & \np{0,3771} & \np{0,0754} & \np{0,5474} \\\hline \dots &\dots &\dots &\dots &\dots\\\hline 20 &18 &\np{0,0536} & \np{0,0133} & \np{0,9330}\\\hline 21 &19 &\np{0,0456} &\np{0,0113} &\np{0,9431}\\\hline 22 &20 &\np{0,0388} &\np{0,0096} &\np{0,9516} \\\hline \end{tabular} \end{center} \bigskip \emph{Pour répondre aux questions \textbf{a.} et \textbf{b.} suivantes, on utilisera la feuille de calcul reproduite ci-dessus.} \begin{enumerate} \item Quelle formule, saisie dans la cellule C3, permet par recopie vers le bas, de calculer les termes de la suite $\left(v_n \right)$ ? \item On admet que les termes de $\left(v_n\right)$ augmentent, puis diminuent à partir d'une certain rang $N$, appelé le \og{}pic épidémique\fg{} : c'est l'indice de la semaine pendant laquelle la probabilité d'être malade pour un individu choisi au hasard est la plus grande. Déterminer la valeur du pic épidémique prévue par ce modèle. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,85u_n$. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. \item Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, \[v_n = \dfrac{1}{4}\left(0,85^n - 0,65^n\right).\] \end{enumerate} \item Calculer les limites de chacune des suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$. Que peut-on en déduire quant à l'évolution de l'épidémie prévue à long terme par ce modèle ? \end{enumerate} \newpage \subsection*{\blue \textsc{Exercice} 4 \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On appelle \og{}triangle rectangle presque isocèle\fg{}, en abrégé TRPI, un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit ont pour longueurs $x$ et $x + 1$, et dont l 'hypoténuse a pour longueur $y$, où $x$ et $y$ sont des entiers naturels. Ainsi, un TRPI est un triangle rectangle dont les longueurs des côtés de l'angle droit sont deux nombres entiers consécutifs et dont la longueur de l'hypoténuse est un nombre entier. \parbox{4cm}{ \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(5,4) \psline(0,0)(4,0) \psline(0,3)(0,0) \psline(0,3)(4,0) \uput[d](2,0){$x+1$} \uput[l](0,1.5){$x$} \uput[u](2,1.5){$y$} \end{pspicture}}\hfill \parbox{6cm}{Si le triangle de côtés $x$, $x + 1$ et $y$, où $y$ est la longueur de l'hypoténuse, est un TRPJ, on dira que le couple $(x~;~y)$ définit un TRPI. } \bigskip \begin{center} \textbf{Partie A } \end{center} \bigskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le couple d'entiers naturels $(x~;~y)$ définit un TRPI si, et seulement si, on a : \[y^2 = 2x^2 + 2x + 1\] \item Montrer que le TRPI ayant les plus petits côtés non nuls est défini par le couple (3~;~5). \item \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel. Montrer que si $n^2$ est impair alors $n$ est impair. \item Montrer que dans un couple d'entiers $(x~;~y)$ définissant un TRPI, le nombre $y$ est nécessairement impair. \end{enumerate} \item Montrer que si le couple d'entiers naturels $(x~;~y)$ définit un TRPI, alors $x$ et $y$ sont premiers entre eux. \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \textbf{Partie B } \end{center} \bigskip On note $A$ la matrice carrée : $A =\begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}$, et $B$ la matrice colonne : $B=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$. Soient $x$ et $y$ deux entiers naturels ; on définit les entiers naturels $x'$ et $y'$ par la relation : \[\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + B.\] \begin{enumerate} \item Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$. \begin{enumerate} \item Montrer que : $y'^2 - 2x'(x' + 1) = y^2 - 2x(x + 1)$. \item En déduire que si le couple $(x~;~y)$ définit un TRPI, alors le couple $\left(x'~;~y'\right)$ définit également un TRPI. \end{enumerate} \item On considère les suites $\left(x_n\right)_{n\in \mathbb{N}}$ et $\left(y_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ d'entiers naturels, définies par $x_0 = 3$, $y_0 = 5$ et pour tout entier naturel $n$ : $\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}+B$. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, le couple $\left(x_n~;~y_n\right)$ définit un TRPI. \item Déterminer, par la méthode de votre choix que vous préciserez, un TRPI dont les longueurs des côtés sont supérieures à 2017. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE À REMETTRE AVEC LA COPIE} \end{center} \begin{center} \Large \ref{courbe} \end{center} \begin{center} \psset{unit=2cm,arrowscale=1.2} \def\xmin{-0.5} \def\xmax{5.1} \def\ymin{-0.5} \def\ymax{2.2} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1) %\uput[d](0.5,0){$\v{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\v{\jmath}$} \def\f{x 2.7183 -1 x mul exp mul x 1 add ln add} \def\g{x 1 add ln} %%% retirer les % devant les lignes qui suivent pour avoir le domaine hachuré %\def\inf{0} \def\sup{3.67} %\pscustom[fillstyle=vlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=gray] %{ %\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup] %\psplot{\sup}{\inf}{\g} %\closepath % indispensable ! %} \psplot[plotpoints=2000,linecolor=red]{0}{\xmax}{\f} \psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{0}{\xmax}{\g} \psline(3.67,0.05)(3.67,-0.05) \uput[d](3.67,0){$\lambda$} \uput[u](4.1,1.7){\red $\mathcal{C}_f$} \uput[d](4.1,1.63){\blue $\mathcal{C}_g$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{center} \label{fin} \end{document}