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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
%Remerciements à Johann Dolivet et Mickaël Goyot
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité Jour 2}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{22 novembre 2024}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Amérique du Sud 22 novembre 2024~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Jour 2}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\Large Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Voici la répartition des principaux groupes sanguins des habitants de France:

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(8.5,41)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=100](0,0)(0,0)(8.5,40)
\uput[d](1,0){A+}\uput[d](2,0){O+}\uput[d](3,0){B+}\uput[d](4,0){A$-$}
\uput[d](5,0){O$-$}\uput[d](6,0){AB+}\uput[d](7,0){B$-$}\uput[d](8,0){AB$-$}
\multido{\n=0+5}{9}{\uput[l](0,\n){\n\,\%}}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.8,0)(1.2,38.2)\uput[u](1,38.2){38,2\,\%}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.8,0)(2.2,36.5)\uput[u](2,36.5){36,5\,\%}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.8,0)(3.2,7.7)\uput[u](3,7.7){7,7\,\%}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.8,0)(4.2,6.8)\uput[u](4,6.8){6,8\,\%}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.8,0)(5.2,6.5)\uput[u](5,6.5){6,5\,\%}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.8,0)(6.2,2.5)\uput[u](6,2.5){2,5\,\%}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6.8,0)(7.2,1.4)\uput[u](7,1.4){1,4\,\%}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7.8,0)(8.2,0.4)\uput[u](8,0.4){0,4\,\%}
\end{pspicture}

\medskip

\emph{\scriptsize Source : https://fr.statista.com!statistiques/6 56036/ groupes-sanguins-repartition-rh- france/}

\end{center}

A+, O+, B+, A$-$, O$-$, AB+, B$-$ et AB$-$ sont les différents groupes sanguins combinés aux rhésus.

Par exemple: A + est le groupe sanguin A de rhésus +.

Une expérience aléatoire consiste à choisir une personne au hasard dans la population française et à déterminer son groupe sanguin et son rhésus.

Dans l'exercice, on adopte les notations du type :

$A$ + est l'évènement \og la personne est de groupe sanguin A et de rhésus + \fg 

$A -$ est l'évènement \og la personne est de groupe sanguin A et de rhésus $-$ \fg

$A$ est l'évènement \og la personne est de groupe sanguin A \fg

\medskip

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

\newpage

\textbf{Partie 1}

\medskip

On note $Rh$ + l'évènement \og La personne est de rhésus positif \fg.

\begin{enumerate}
\item Justifier que la probabilité que la personne choisie soit de rhésus positif est égale à 0,849.
\item Démontrer à l'aide des données de l'énoncé que $P_{Rh+}(A) = 0,450$ à 0,001 près.
\item Une personne se souvient que son groupe sanguin est AB mais a oublié son rhésus.

Quelle est la probabilité que son rhésus soit négatif ? Arrondir le résultat à 0,001 près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $0,001$ près.

\medskip

Un donneur universel de sang est une personne de groupe sanguin O et de rhésus négatif. On rappelle que 6,5\,\% de la population française est de groupe O$-$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère $50$ personnes choisies au hasard dans la population française et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de donneurs universels.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité que 8 personnes soient des donneurs universels. Justifier votre réponse.
		\item On considère la fonction ci-dessous nommée \texttt{proba} d'argument k écrite en langage Python.
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
def proba(k):\\
\quad p=0\\
\quad for i in range(k+1):\\
\quad \quad p = p + binomiale(i,50,0.065)\\ 
\quad return p\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
Cette fonction utilise la fonction binomiale d'argument $i, n$ et $p$, créée pour l'occasion, qui renvoie la valeur de la probabilité $P(X = i)$ dans le cas où $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

Déterminer la valeur numérique renvoyée par la fonction \texttt{proba} lorsqu'on saisit \texttt{proba(8)} dans la console Python. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item Quel est le nombre minimal de personnes à choisir au hasard dans la population française pour que la probabilité qu'au moins une des personnes choisies soit donneur universel, soit supérieure à $0,999$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Cet exercice contient 5 affirmations.

Pour chaque affirmation, répondre par VRAI ou FAUX en justifiant la réponse.

Toute absence de justification ou justification incorrecte ne sera pas prise en compte dans la notation.

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

On considère la suite $(u_n)$ définie par:

\begin{center}$u_0 = 10$\, et pour tout entier naturel $n,\,u_{n+1} = \dfrac13 u_n + 2$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation 1} : La suite $(u_n)$ est décroissante minorée par 0.
\item \textbf{Affirmation 2} : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$.
\item \textbf{Affirmation 3} : La suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 3$ est géométrique.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

On considère l'équation différentielle $(E) :\, y' = \dfrac32 y + 2$ d'inconnue $y$, fonction définie et 
dérivable sur $\R$

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation 4} : Il existe une fonction constante solution de l'équation différentielle (E).
\item Dans un repère orthonormé \Oij{} on note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ solution de $(E)$ telle  que $f(0) = 0$.

\item \textbf{Affirmation 5} : La tangente au point d'abscisse 1 de $\mathcal{C}_f$ a pour coefficient directeur $2 \e^{\frac32}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par :
\[f(x) = \left(x^2 - 4\right)\e^{-x}.\]

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
\item Justifier que pour tout réel $x,\, f'(x) = \left(-x^2 + 2x + 4\right)\e^{-x}$.
\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

On considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_n = \displaystyle\int_{-2}^0 x^n\e^{-x}\, \text{d}x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $I_0 = \e^2 - 1$.
\item En utilisant une intégration par partie, démontrer l'égalité :

\[I_{n+1} = (- 2)^{n+1} \text{e}^2 + (n + 1)I_n.\]

\item En déduire les valeurs exactes de $I_1$ et de $I_2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 3}

\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Déterminer le signe sur $\R$ de la fonction $f$ définie dans la partie 1.
\item On a représenté ci-contre la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé \Oij.

Le domaine $D$ du plan hachuré ci-contre est délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.

Calculer la valeur exacte, en unité d'aire, de l'aire $S$ du domaine $D$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.43\linewidth}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-9)(5,3)
\psline{->}(0,0)(1,0)\psline{->}(0,0)(0,1)\uput[d](1,0){\scriptsize $\vect{\imath}$}
\uput[l](0,1){\scriptsize $\vect{\jmath}$}
\psaxes[Dx=10,Dy=20]{->}(0,0)(-3,-9)(5,3)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.pt,linecolor=red]{-3}{6}{x dup mul 4 sub 2.71828 x exp div}
\pscustom[fillstyle=hlines,linecolor=red]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.2pt,linecolor=red]{-2}{0}{x 2 exp  4 sub 2.71828 x exp div}\psline[linewidth=0.2pt](0,-4)(0,0)(-2,0)}\uput[dl](0,0){\small O}
\uput[r](-2,2){\red $\mathcal{C}_f$}\rput(-1,-3){$D$}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.

On considère les trois points A(3~;~0~;~0), B(0~;~2~;~0) et C(0~;~0~;~2).

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2.5,-1.8)(3,2.5)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(1,0)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,1)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(-0.6,-0.6)
\uput[u](0.5,0){\footnotesize $\vect{\jmath}$}
\uput[l](0,0.5){\footnotesize $\vect{k}$}
\uput[ul](-0.3,-0.3){\footnotesize $\vect{\imath}$}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(1,0)
\psline(3,0)\psline(0,2.5)\psline(-2,-2)
\uput[ul](-1.8,-1.8){A}\uput[u](2,0){B}\uput[l](0,2){C}
\psdots(-1.8,-1.8)(2,0)(0,2)\uput[dr](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

L'objectif de cet exercice est de démontrer la propriété suivante :

\og Le carré de l'aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces du tétraèdre OABC \fg,

\bigskip

\textbf{Partie 1 : Distance du point O au plan (ABC)}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}(2~;~3~;~3)$ est normal au plan (ABC).
\item Démontrer qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $2x + 3y + 3z - 6 = 0$.
\item Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ passant par O et de vecteur directeur $\vect{n}$.
\item On note H le point d'intersection de la droite $d$ et du plan (ABC).

Déterminer les coordonnées du point H.
\item En déduire que la distance du point O au plan (ABC) est égale à $\dfrac{3\sqrt{22}}{11}$ 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2 : Démonstration de la propriété}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le volume du tétraèdre OABC est égal à 2.
\item En déduire que l'aire du triangle ABC est égale à $\sqrt{22}$.
\item Démontrer que pour le tétraèdre OABC, \og le carré de l'aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces du tétraèdre \fg.

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \dfrac13B \times h$ où $B$ est l'aire d'une 
base du tétraèdre et $h$ est la hauteur relative à cette base.
\end{enumerate}
\end{document}