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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Métropole, Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{11 septembre 2023}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole 11 septembre 2023~\decofourright\\[7pt] Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
\[f(x) = x \e^{x^2 - 3}.\]

Une des primitives $F$ de la fonction $f$ sur $\R$ est définie par:
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~}$F(x) = 2x\e^{x^2 - 3}$&\textbf{b.~}$F(x) = \left(2x^2 + 1\right)\e^{x^2 - 3}$\\
\textbf{c.~}$F(x) = \dfrac12 x\e^{x^2 - 3}$&\textbf{d.~}$F(x) = \dfrac12 \e^{x^2 - 3}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: \[u_n = \e^{2n+1}.\]

La suite $\left(u_n\right)$ est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}arithmétique de raison 2 ; &\textbf{b.~~} géométrique de raison e;\\
\textbf{c.~~}géométrique de raison e$^2$ ; &\textbf{d.~~} convergente vers e. 
\end{tabularx}
\end{center}

Pour les questions \textbf{3.} et \textbf{4.}, on considère la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par:
\[u_0 = 15 \quad \text{et pour tout entier naturel }\: n \quad :\: u_{n+1} = 1,2u_n + 12.\]

\item La fonction Python suivante, dont la ligne 4 est incomplète, doit renvoyer la plus petite valeur de l'entier $n$ telle que $u_n > \np{10000}$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\ttfamily}l|}\hline
def seuil() :\\
\qquad n=0\\
\qquad u=15\\
\qquad while \ldots \ldots:\\
\qquad \quad n=n+1\\
\qquad \quad u=1,2$*$u+12\\
\qquad return(n)\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

À la ligne 4, on complète par :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~}u$\leqslant \np{10000}$ ; &\textbf{b.~}u $=\np{10000}$ &\textbf{c.~} u$> \np{10000}$;&\textbf{d.~}$n\leqslant \np{10000}$.\\
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie sur $\N$ par : $v_n = u_n + 60$. 

La suite $\left(v_n\right)$ est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~} une suite décroissante ; &\textbf{b.~} une suite géométrique de raison 1,2 ;\\
\textbf{c.~} une suite arithmétique de raison $60$ ;&\textbf{d.~} une suite ni géométrique ni arithmétique.
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.

On considère les points 
\begin{center}A$(1~;~0~;~-1)$,\quad  B$(3~;~-1~;~2)$, \quad C$(2~;~-2~;~ -1)$ \quad et \quad D$(4~;~-1~;~-2)$.\end{center}

On note $\Delta$ la droite de représentation paramétrique 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&\phantom{-}0\\
y &=&\phantom{-}2 + t\\
z &=& -1 + t
\end{array}\right.\:,\:\: \text{avec } t\in \R.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A, B et C définissent un plan que l'on notera 
$\mathcal{P}$.
		\item Montrer que la droite (CD) est orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
		
Sur le plan $\mathcal{P}$, que représente le point C par rapport à D ?
		\item Montrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est: $2x + y - z - 3 = 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la distance CD.
		\item Existe-t-il un point M du plan $\mathcal{P}$ différent de C vérifiant MD $= \sqrt 6$ ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
		
Soit H le projeté orthogonal du point D sur la droite $\Delta$.
		\item Montrer que H est le point de $\Delta$ associé à la valeur $t = -2$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ donnée ci-dessus.
		\item En déduire la distance du point D à la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes.\\
Les probabilités demandées seront données à $10^{-3}$ près.}

Pour aider à la détection de certaines allergies, on peut procéder à un test sanguin dont le résultat est soit positif, soit négatif.

Dans une population, ce test donne les résultats suivants :
\begin{itemize}
\item Si un individu est allergique, le test est positif dans 97\,\% des cas;
\item Si un individu n'est pas allergique, le test est négatif dans 95,7\,\% des cas.
\end{itemize}

Par ailleurs, 20\,\% des individus de la population concernée présentent un test positif.

On choisit au hasard un individu dans la population, et on note :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement \og l'individu est allergique \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $T$ l'évènement \og l'individu présente un test positif \fg.
\end{itemize}

On notera $\overline{A}$ et $\overline{T}$ les évènements contraires de $A$ et $T$.
On appelle par ailleurs $x$ la probabilité de l'évènement $A$ : $x = p(A)$.

\begin{minipage}{9cm}
\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter l'arbre ci-contre décrivant la situation,
en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer l'égalité : $p(T) = 0,927x + 0,043$.
		\item En déduire la probabilité que l'individu choisi soit allergique.
	\end{enumerate}	
\item Justifier par un calcul l'affirmation suivante :

\og Si le test d'un individu choisi au hasard est positif, il y a plus de 80\,\% de chances que cet individu soit allergique \fg.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{5.5cm}
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~}\taput{$x$}}
{\TR{$T$}\taput{\ldots}
\TR{$\overline{T}$}\tbput{\ldots}
}
\pstree{\TR{$\overline{A}$~}\tbput{\ldots}}
{\TR{$T$}\taput{\ldots}
\TR{$\overline{T}$}\tbput{\ldots}
}
}
\end{center}
\end{minipage}

\textbf{Partie B}

\medskip

On réalise une enquête sur les allergies dans une ville en interrogeant $150$~habitants choisis au hasard, et on admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.

On sait que la probabilité qu'un habitant choisi au hasard dans cette ville soit allergique est égale à $0,08$.

On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de $150$~habitants choisis au hasard associe le nombre de personnes allergiques dans cet échantillon.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ?

Préciser ses paramètres.
\item Déterminer la probabilité que $20$~personnes exactement parmi les $150$ interrogées soient allergiques.
\item Déterminer la probabilité qu'au moins 10\,\% des personnes parmi les $150$ interrogées soient allergiques.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

On définit sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ la fonction $g$ par : 
\[g(x) = \dfrac 2x - \dfrac{1}{x^2} + \ln x \quad \text{où ln désigne la fonction logarithme népérien}.\]

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[ = I$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour $x > 0$, le signe de $g'(x)$ est celui du trinôme du second degré $\left(x^2 - 2x + 2\right)$.
\item En déduire que la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0~;~+\infty[$.
\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution sur l'intervalle [0,5~;~1], que l'on notera $\alpha$.
\item On donne le tableau de signes de $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[ = I$ :
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,1)
\psline(0,0.5)(4,0.5)\psline(1,0)(1,1)\psline(1.1,0)(1.1,0.5)
\uput[u](0.5,0.4){$x$} \uput[u](1.2,0.4){$0$} \uput[u](2.5,0.4){$\alpha$} \uput[u](3.7,0.4){$+\infty$}
\uput[u](0.5,-0.1){$g(x)$}\uput[u](1.75,-0.1){$-$}\uput[u](2.5,-0.1){$0$}
\uput[u](3.25,-0.1){$+$}
\end{pspicture}
\end{center}

Justifier ce tableau de signes à l'aide des résultats obtenus aux questions précédentes.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[ = I$ par: 
\[f(x) = \e^x \ln x.\]

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0~;~+\infty[$, on note $f'$ sa fonction dérivée, $f''$ sa fonction dérivée seconde et on admet que :

pour tout nombre réel $x > 0,\:\: f'(x) = \e^x \left(\dfrac 1x + \ln x\right)$.

Démontrer que, pour tout nombre réel $x > 0$, on a : $f''(x) = \e^x \left(\dfrac 2x - \dfrac{1}{x^2} + \ln x\right)$.
\item On pourra remarquer que pour tout réel $x > 0$,\: $f''(x) = \e^x \times  g(x)$, où $g$ désigne la fonction étudiée dans la partie A.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de signes de la fonction $f''$ sur $]0~;~+\infty[$. Justifier.
		\item Justifier que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d'inflexion A.
		\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. Justifier.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
		\item Montrer que $f'(\alpha) = \dfrac{\e^{\alpha}}{\alpha^2}(1 - \alpha)$.

On rappelle que $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $g(x) = 0$.
		\item Démontrer que $f'(\alpha) > 0$ et en déduire le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$.
		\item En déduire le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}