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%Merci pour le sujet à Rémi Darnaudet et Denis Le Fur
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité Jour 1}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{26 septembre 2023}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Amérique du Sud 26 septembre 2023~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Jour 1}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $]0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = 1 + x^2 - 2x^2\ln (x).\]

On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle et on note $f'$ sa fonction dérivée

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1$ et, en remarquant que $f(x) = 1 + x^2[1 - 2\ln (x)]$, justifier que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
\item Montrer que pour tout réel $x$  de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, \: $f'(x) = - 4x\ln (x)$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, puis dresser le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ et que $\alpha \in [1~;~\text{e}]$.
\end{enumerate}

On admet dans la suite de l'exercice, que l'équation $f(x) = 0$ n'admet pas de solution sur l'intervalle ]0~;~1].

\begin{enumerate}[resume]
\item On donne la fonction ci-dessous écrit en Python. L'instruction \emph{from lycee import *} permet d'accéder à la fonction ln.

\begin{center}
\begin{tabular}{>{\ttfamily}l}
from lycee import *\\
\\
def f(x) :\\
\qquad return 1 + x**2 - 2*x**2*ln(x)\\
\\
def dichotomie(p)\\
\qquad a=1\\
\qquad b=2.7\\
\qquad while b - a > 10**(-p) :\\
\qquad \begin{tabular}{|l}
\quad if f(a)*f((a+b)/2) < 0 :\\
\quad |\quad b = (a+b)/2\\
\quad else :\\
\quad |\quad a = (a+b)/2\\
\end{tabular}\\
\qquad  return (a,b)
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

Il écrit dans la console d'exécution :

$>>>$ {\ttfamily dichotomie(1)}

Parmi les quatre propositions ci-dessous, recopier celle affichée par l'instruction précédente ? Justifier votre réponse (on pourra procéder par élimination).

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{l l}
Proposition A :&(1.75, 1.9031250000000002)\\
Proposition B :&(1.85, 1.9031250000000002)\\
Proposition C :&(2.75, 2.9031250000000002)\\
Proposition D :&(2.85, 2.9031250000000002)\\
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, par 
\[g(x) = \dfrac{\ln (x)}{1 + x^2}.\]

On admet que $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le plan rapporté à un repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, \: $g'(x) = \dfrac{f(x)}{x\left(1 + x^2\right)^2}$.
\item Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $x = \alpha$
\end{enumerate}

On admet que $g(\alpha) = \dfrac{1}{2\alpha^2}$.

\begin{enumerate}[resume]
\item On note $T_1$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse 1 et on note $T_{\alpha}$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse $\alpha$.

Déterminer, en fonction de $\alpha$, les coordonnées du point d'intersection des droites $T_1$ et $T_{\alpha}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Entre 1998 et 2020, en France \np{18221965} accouchements ont été recensés, parmi lesquels
\np{293898} ont donné naissance à des jumeaux et \np{4921} ont donné naissance à au moins trois enfants.
	\begin{enumerate}
		\item Avec une précision de 0,1\,\% calculer parmi tous les accouchements recensés, le pourcentage d'accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998-2020.
		\item Vérifier que le pourcentage d'accouchements qui ont donné naissance à au moins trois enfants est inférieur à 0,1\,\%.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

On considère alors que ce pourcentage est négligeable.

On appelle accouchement ordinaire, un accouchement donnant naissance à un seul enfant.

On appelle accouchement double, un accouchement donnant naissance à exactement deux enfants.

On considère dans la suite de l'exercice qu'un accouchement est soit ordinaire, soit double.

La probabilité d'un accouchement ordinaire est égale à $0,984$ et celle d'un accouchement double est alors égale à $0,016$.

Les probabilités calculées dans la suite seront arrondies au millième.

\begin{enumerate}[resume]
\item On admet qu'un jour donné dans une maternité, on réalise $n$ accouchements.

On considère que ces $n$ accouchements sont indépendants les uns des autres.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'accouchements doubles pratiqués ce
jour.
	\begin{enumerate}
		\item Dans le cas où $n =  20$, préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ et calculer la probabilité qu'on réalise exactement un accouchement double.
		\item Par la méthode de votre choix que vous expliciterez, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $P(X \geqslant 1) \geqslant 0,99$.

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item Dans cette maternité, parmi les naissances double, on estime qu'il y a 30\,\% de jumeaux monozygotes (appelés \og  vrais jumeaux \fg{}  qui sont obligatoirement de même sexe : deux garçons ou deux filles) et donc 70\,\% de jumeaux dizygotes (appelés \og  faux jumeaux \fg, qui peuvent être de sexes différents: deux garçons, deux filles ou un garçon et une fille).

Dans le cas de naissances doubles, on admet que, comme pour les naissances ordinaires, la probabilité d'être une fille à la naissance est égale à $0,49$ et que celle d'être un garçon à la naissance est égale à $0,51$.

Dans le cas d'une naissance double de jumeaux dizygotes, on admet aussi que le sexe du
second nouveau-né des jumeaux est indépendant du sexe du premier nouveau-né.

On choisit au hasard un accouchement double réalisé dans cette maternité et on considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$M$ : \og les jumeaux sont monozygotes \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$F_1$ : \og le premier nouveau-né est une fille \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$F_2$ : \og le second nouveau-né est une fille \fg.
\end{itemize}

\emph{On notera $P(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M$~~}}
	{\pstree{\TR{$F_1$}}
		{\TR{$F_2$}	
		}
	\pstree{\TR{$\overline{F_1}$~}}
		{\TR{$\overline{F_2}$}	
		}
	}
\pstree{\TR{$\overline{M}$~~}}
	{\pstree{\TR{$F_{1}$~}}
		{\TR{$F_2$}
		\TR{$\overline{F_2}$}
		}
	\pstree{\TR{$\overline{F_1}$~}}
		{\TR{$F_2$}
		\TR{$\overline{F_2}$}
		}
	}
}
\end{center}
\smallskip

	\begin{enumerate}
		\item Recopier puis compléter l'arbre pondéré ci-dessus.
		\item Montrer que la probabilité que les deux nouveaux-nés soient des filles est \np{0,31507}.
		\item Les deux nouveaux-nés sont des jumelles. Calculer la probabilité qu'elles soient monozygotes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk, on considère les points 
\begin{center}A(0~;~4~;~16), \quad B$(0~;~4~;~- 10)$, \quad C$(4~;~-8~;~0)$\quad et\quad  K(0~;~4~;~3).\end{center}

On définit la sphère $S$ de centre K et de rayon 13 comme l'ensemble des points M tels que KM $= 13$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le point C appartient à la sphère $S$
		\item Montrer que le triangle ABC est rectangle en C.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC).
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
	\end{enumerate}
\item On admet que la sphère $S$ coupe l'axe des abscisses en deux points, l'un ayant une abscisse positive et l'autre une abscisse négative.

On note D celui qui a une abscisse positive.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point D a pour coordonnées (12~;~0~;~0).
		\item Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par D et perpendiculaire au plan (ABC).
		\item  Déterminer la distance du point D au plan (ABC).
	\end{enumerate}
\item Calculer une valeur approchée, à l'unité de volume près, du volume du tétraèdre ABCD.

\emph{On rappelle la formule du volume V d'un tétraèdre}
\[V = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h.\]

\emph{où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le but de la partie A est d'étudier le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 =  0,3$ et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel $n$ :
\[u_{n+1} =  2u_n\left(1 - u_n\right).\]

Cette relation de récurrence s'écrit $u_{n+1} =  f\left(u_n\right)$, où $f$ est la fonction définie sur $\R$ par : 
\[f(x) = 2x\left (1 - x\right ).\]

\smallskip
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac12\right]$.
\item On admet que pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac12$.

Calculer $u_1$ puis effectuer un raisonnement par récurrence pour démontrer que pour tout rentier naturel $n,\: u_n \leqslant u_{n+1}$.
\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
\item Justifier que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est égale à $\dfrac12$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le but de cette partie est d'étudier un modèle d'évolution d'une population.

En 2022, cette population compte \np{3000} individus.

\smallskip

On note $P_n$ l'effectif en milliers de la population l'année $2022 + n$. Ainsi $P_0 = 3$.

Selon un modèle inspiré du modèle de Verhulst, mathématicien belge du XIX\up{e} siècle, on considère que, pour tout entier naturel $n$ :

\begin{center}$P_{n+1} -  P_n = P_n\left(1 -  b \times P_n\right)$, où $b$ est un réel strictement positif.\end{center}

Le réel $b$ est un facteur de freinage qui permet de tenir compte du caractère limité des
ressources du milieu dans lequel évoluent ces individus.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question $b  = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la suite $\left(P_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
		\item Déterminer la limite de $P_n$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question $b = 0,2$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = 0,1 \times P_n$.

Calculer $v_0$ puis montrer que, pour tout entier naturel $n$,\:$v_{n+1} = 2v_n\left(1 - v_n \right)$.
		\item Dans ce modèle, justifier que la population se stabilisera autour d'une valeur que l'on précisera.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}