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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
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pdftitle = {Métropole Antilles-Guyane Sujet 1 1 septembre 2024},
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\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
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\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%   le i des complexes
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Métropole Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{12 septembre 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole Antilles-Guyane ~\decofourright\\[7pt] 12 septembre 2024 -- Jour 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}
\medskip

\section*{Exercice 1\hfill 5 points}

\medskip

On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous.

Les points I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [CG].

Le point N est le milieu du segment [IJ].

\smallskip

\emph{L'objectif de cet exercice est de calculer le volume du tétraèdre} HFI{}J.

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.8,6.8)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray!85](1.7,6.5)(2.45,0.2)(4.7,4.7)%HFI
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.45,0.2)(4.7,4.7)(6.2,4.25)%FIJ
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray!70](4.7,4.7)(1.7,6.5)(6.2,4.25)%FHJ
\psframe(0.2,0.2)(4.7,4.7)%ABFE
\psline(4.7,0.2)(6.2,2)(6.2,6.5)(4.7,4.7)%BCGF
\psline(6.2,6.5)(1.7,6.5)(0.2,4.7)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.7,2)(6.2,2)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1.7,2)(1.7,6.5)(6.2,4.25)(2.45,0.2)(1.7,6.5)%DHJIH
\psline(1.7,6.5)(4.7,4.7)(2.45,0.2)%HFI
\psline(4.7,4.7)(6.2,4.25)%FJ
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](4.7,0.2){B} \uput[r](6.2,2){C} \uput[l](1.7,2){D}
\uput[l](0.2,4.7){E} \uput[dr](4.7,4.7){F} \uput[r](6.2,6.5){G} \uput[ul](1.7,6.5){H}
\uput[d](2.45,0.2){I} \uput[r](6.2,4.25){J} \uput[ul](4.325,2.225){N}
\psdots(4.325,2.225)(2.45,0.2)(6.2,4.25)(4.7,4.7)(1.7,6.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées des points I et J.

En déduire les coordonnées de N.
		\item Justifier que les vecteurs $\vect{\text{IJ}}$ et $\vect{\text{NF}}$ ont pour coordonnées respectives:
\[\vect{\text{I\,J}}\begin{pmatrix}0,5\\1\\0,5\end{pmatrix} \,\text{et} \, \vect{\text{NF}}\begin{pmatrix}0,25\\-0,5\\0,75\end{pmatrix}\]
		
		\item Démontrer que les vecteurs $\vect{\text{I\,J}}$ et $\vect{\text{NF}}$ sont orthogonaux.

On admet que NF $= \dfrac{\sqrt{14}}{4}$.
		\item En déduire que l'aire du triangle FIJ est égale à $\dfrac{\sqrt{21}}{8}$.
	\end{enumerate}
\item On considère le vecteur $\vect{u}\begin{pmatrix}4\\-1\\-2 \end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le vecteur $\vect{u}$ est normal au plan (FIJ).
		\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan (FIJ) est: $4x - y - 2z - 2 = 0$.
		\item On note $d$ la droite orthogonale au plan (FIJ) passant par le point H. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
		\item Montrer que la distance du point H au plan (FIJ) est égale à $\dfrac{5\sqrt{21}}{21}$.
		\item On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par la formule 
		
$V = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ est 
l'aire d'une base et $h$ la longueur de la hauteur relative à cette base.

Calculer le volume du tétraèdre HFIJ. On donnera la réponse sous la forme d'une fraction irréductible.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 2\hfill 5 points}

\medskip

\emph{La partie {\rm C} est indépendante des parties {\rm A} et {\rm B}}.

\medskip

Un robot est positionné sur un axe horizontal et se déplace plusieurs fois d'un mètre sur cet axe,
aléatoirement vers la droite ou vers la gauche.

Lors du premier déplacement, la probabilité que le robot se déplace à droite est égale à $\dfrac13$.

S'il se déplace à droite, la probabilité que le robot se déplace de nouveau à droite lors du déplacement suivant est égale à $\dfrac34$.

S'il se déplace à gauche, la probabilité que le robot se déplace de nouveau à gauche lors du déplacement suivant est égale à $\dfrac12$.

Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on note:

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $D_n$ l'évènement: \og le robot se déplace à droite lors du $n$-ième déplacement \fg{} ;
\item $\overline{D_n}$ l'évènement contraire de $D_n$ ;
\item $p_n$ la probabilité de l'évènement $D_n$.
\end{itemize}

On a donc $p_1 = \dfrac13$.

\medskip

\textbf{Partie A : étude du cas particulier où} \boldmath $n = 2$ \unboldmath

\medskip

Dans cette partie, le robot réalise deux déplacements successifs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter l'arbre pondéré suivant:

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$D_1~$}\taput{\ldots}}
	{\TR{$D_2$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{D_2}$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{D_1}~$}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$D_2$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{D_2}$} \tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}

\item Déterminer la probabilité que le robot se déplace deux fois à droite.
\item Montrer que $p_2 = \dfrac{7 }{12}$.
\item Le robot s'est déplacé à gauche lors du deuxième déplacement. Quelle est la probabilité qu'il se soit déplacé à droite lors du premier déplacement ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : étude de la suite } \boldmath$(p_n)$\unboldmath.

\medskip

On souhaite estimer le déplacement du robot au bout d'un nombre important d'étapes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : 

\[p_{n+1}  = \dfrac14 p_n + \dfrac12.\]

On pourra s'aider d'un arbre.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : 
		\[p_n \leqslant  p_{n+1} < \dfrac23.\]

		\item La suite $(p_n)$ est-elle convergente ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, par $u_n = p_n -\dfrac23$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique et préciser son premier terme et sa raison.
		\item Déterminer la limite de la suite $(p_n)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans cette partie, on considère un autre robot qui réalise dix déplacements d'un mètre indépendants les uns des autres, chaque déplacement vers la droite ayant une probabilité fixe
 égale à $\dfrac34$.

Quelle est la probabilité qu'il revienne à son point de départ au bout des dix déplacements ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près.

\bigskip

\section*{Exercice 3\hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par:

\[f(x) = \dfrac{6}{1 + 5\e^{-x}}\]

On a représenté sur le schéma ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-4,-1)(8,6.6)
\multido{\n=-4+1}{13}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,6.6)}
\multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.1pt](-4,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-1)(8,6.6)
\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4}{8}{6 1 5 2.71828 x exp div add div}
\uput[u](7.5,6){\red $\mathcal{C}_f$}\psdots(1.60944,3)\uput[ul](1.60944,3){A}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le point A de coordonnées $(\ln 5~;~3)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$.
\item Montrer que la droite d'équation $y = 6$ est une asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. Montrer que pour tout réel $x$, on a :

\[f'(x) = \dfrac{30\e^{-x}}{\left(1 + 5\e^{-x}\right)^2}.\]

		\item En déduire le tableau de variations complet de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item On admet que :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $f$ est deux fois dérivable sur $\R$, on note $f''$ sa dérivée seconde ;
\item pour tout réel $x$,
\[f''(x) = \dfrac{30\e^{-x}\left(5\e^{-x} - 1\right)}{\left(1 + 5\e^{-x}\right)^3}.\]
\end{itemize}

	\begin{enumerate}
		\item Étudier la convexité de $f$ sur $\R$. On montrera en particulier que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion.
		\item Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à $]-\infty~;~\ln 5]$, on a: $f(x)\geqslant \dfrac56 x + 1$.
	\end{enumerate}
\item On considère une fonction $F_k$ définie sur $\R$ par $F_k(x) = k \ln \left(\e^x + 5\right)$, où $k$ est une constante réelle.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur du réel $k$ de sorte que $F_k$ soit une primitive de $f$ sur $\R$.
		\item En déduire que l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \ln 5$ est égale à $6\ln \left(\dfrac53\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'objectif de cette partie est d'étudier l'équation différentielle suivante :

\[(E) \qquad y' = y - \dfrac16 y^2.\]

On rappelle qu'une solution de l'équation $(E)$ est une fonction $u$ définie et dérivable sur $\R$ telle que pour tout $x$ réel, on a :

\[u'(x) = u(x) - \dfrac16[u(x)]^2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ définie dans la partie A est une solution de l'équation différentielle $(E)$.
\item Résoudre l'équation différentielle $y' = - y + \dfrac16$.
\item On désigne par $g$ une fonction dérivable sur $\R$ qui ne s'annule pas.

On note $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = \dfrac{1}{g(x)}$.

On admet que $h$ est dérivable sur $\R$, On note $g'$ et $h'$ les fonctions dérivées de $g$ et $h$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que si $h$ est solution de l'équation différentielle $y' = - y + \dfrac16$, alors $g$ est solution  de l'équation différentielle $y' = y - \dfrac16 y^2$.
		\item Pour tout réel positif $m$, on considère les fonctions $g_m$ définies sur $\R$ par : 
		
\[g_m(x) = \dfrac{6}{1 + 6m\e^{-x}}.\]

Montrer que pour tout réel positif $m$, la fonction $g_m$ est solution de l'équation différentielle
$(E) : \quad y'= y - \dfrac16 y^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\section*{\textbf{Exercice 4\hfill 5 points}}

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\emph{Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère le script écrit en langage Python ci-dessous.
\begin{center}
{\ttfamily
\begin{tabular}{|l|}\hline
def seuil(S) :\\
\quad n=0\\
\quad u=7\\
\quad while u < S :\\
\quad \qquad n=n+1\\
\quad \qquad u=1.05*u+3\\
\quad return(n)\\ \hline
\end{tabular}
}
\end{center}

\textbf{Affirmation 1} : l'instruction \texttt{seuil(100)} renvoie la valeur 18.
\item Soit $(S_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par 
\[S_n = 1 + \dfrac15 + \dfrac{1}{5^2} + \ldots + \dfrac{1}{5^n}.\]

\textbf{Affirmation 2} : la suite $(S_n)$ converge vers $\dfrac54$.

\item \textbf{Affirmation 3} : dans une classe composée de 30 élèves, on peut former $870$~binômes de délégués différents.
\item On considère la fonction $f$ définie sur $[1~;~ +\infty[$ par $f(x) = x(\ln x)^2$.

\textbf{Affirmation 4} : l'équation $f(x) = 1$ admet une solution unique dans l'intervalle $[1~;~ +\infty[$.
\item \textbf{Affirmation 5} :

\[\displaystyle\int_0^1 x\e^{-x}\,\text{d}x = \dfrac{\e - 2}{\e}.\]
\end{enumerate}
\end{document}