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%Tapuscrit : François Kriegk
%Relecture : Denis Vergès
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	pdfauthor = {APMEP},
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	pdftitle = {Centres étrangers Suède Sujet 1bis 7 juin 2024},
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\begin{document}

\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1bis}
\lfoot{\small Centres étrangers--Suède}
\rfoot{\small 7 juin 2024}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}
		{\Large
			\textbf{\decofourleft~Sujet Baccalauréat spécialité Centres Étrangers--Suède J1 bis~\decofourright\\[7pt]
				7 juin 2024\\[7pt]
				ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}


\medskip

\section*{Exercice 1 \hfill 4 points}

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip

\textbf{Affirmation 1 :} Soit (E) l'équation différentielle : $y'- 2 y= - 6 x + 1$.

La fonction $f$ définie sur $\R$ par :\quad $f(x)=\e^{2 x}-6 x + 1$\quad est une solution de l'équation différentielle ( E ).

\medskip

\textbf{Affirmation 2 :} On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par

\[ u_{n}=1 + \dfrac{3}{4} + \left(\dfrac{3}{4}\right)^{2} + \cdots + \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}	\]

La suite $\left(u_{n}\right)$ a pour limite $ + \infty$.

\medskip

\textbf{Affirmation 3 :} On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie dans l'affirmation 2.

L'instruction \texttt{suite(50)} ci-dessous, écrite en langage Python, renvoie $u_{50}$.

\begin{center}
	\begin{ttfamily}
	\begin{tabularx}{8cm}{c|X|}\cline{2-2}
		1&def suite(k):\\
		2&\quad S=0\\
		3&\quad for i in range(k):\\
		4&\qquad S=S+(3/4)**k\\
		5&\quad return S\\ \cline{2-2}
	\end{tabularx}
\end{ttfamily}
\end{center}

\medskip

\textbf{Affirmation 4 :} Soit $a$ un réel et $f$ la fonction définie sur ]0; $ + \infty[$ par :

\[f(x) = a \ln (x) - 2x.\]

Soit $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère \Oij.

II existe une valeur de $a$ pour laquelle la tangente à $C$ au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses.

\section*{Exercice 2 \hfill 5 points}

Au cours d'une séance, un joueur de volley-ball s'entraîne à faire des services. La probabilité qu'il réussisse le premier service est égale à 0,85.

On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées:

\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item si le joueur réussit un service, alors la probabilité qu'il réussisse le suivant est égale à 0,6;
\item si le joueur ne réussit pas un service, alors la probabilité qu'il ne réussisse pas le suivant est égale à 0,6.
\end{itemize}

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_{n}$ l'évènement \og le joueur réussit le $n$-ième service \fg{} et $\overline{R_{n}}$ l'évènement contraire.

\subsection*{Partie A}
On s'intéresse aux deux premiers services de l'entraînement.

\begin{enumerate}
	\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
	\item Démontrer que la probabilité de l'évènement $R_{2}$ est égale à 0,57.
	\item Sachant que le joueur a réussi le deuxième service, calculer la probabilité qu'il ait raté le premier.
	\item Soit $Z$ la variable aléatoire égale au nombre de services réussis au cours des deux premiers services.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de $Z$ (on pourra utiliser l'arbre pondéré de la question 1).
		\item Calculer l'espérance mathématique $\mathrm{E}(Z)$ de la variable aléatoire $Z$.

		Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

On s'intéresse maintenant au cas général.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $x_{n}$ la probabilité de l'évènement $R_{n}$.

\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item Donner les probabilités conditionnelles $P_{R_{n}}\left(R_{n + 1}\right)$ et $P_{\overline{R_{n}}}\left(\overline{R_{n + 1}}\right)$.

		\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $x_{n + 1}=0,2 x_{n} + 0,4$.
	\end{enumerate}

	\item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par :\quad $u_{n}=x_{n}-0,5$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique.
		\item Déterminer l'expression de $x_{n}$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $\left(x_{n}\right)$.
		\item Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 \hfill 7 points}

Un organisme certificateur est missionné pour évaluer deux appareils de chauffage, l'un d'une marque A et l'autre d'une marque B.

\begin{center}
\textit{Les parties $1$ et $2$ sont indépendantes.}
\end{center}

\subsection*{Partie 1 : appareil de la marque A}

À l'aide d'une sonde, on a mesuré la température à l'intérieur du foyer d'un appareil de la marque $A$.

On a représenté, ci-dessous, la courbe de la température en degrés Celsius à l'intérieur du foyer en fonction du temps écoulé, exprimé en minutes, depuis l'allumage du foyer.

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}%compiler avec pgfplots
		\begin{axis}[/pgf/number format/.cd, use comma,/pgf/number format/set thousands separator={\,}, x={0.086mm}, y={0.172mm}, xmin=0, xmax=1170, ymin = 0, ymax=410, xtick distance=100, ytick distance =50,
			xlabel={Temps (en min)},ylabel={Température (en °C)},
			tick label style={font=\footnotesize}, minor tick num = 1, grid=both, axis lines =center]
			\addplot [line width=1.25pt,color=red,smooth,samples=100,domain= 0:1170 ]{20+330*x*exp(-0.005*x)/73.58};
			\node[below left] at (axis cs: 0,0) {{\footnotesize 0}};
		\end{axis}
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Par lecture graphique :

\begin{enumerate}
	\item Donner le temps au bout duquel la température maximale est atteinte à l'intérieur du foyer.
	\item Donner une valeur approchée, en minutes, de la durée pendant laquelle la température à l'intérieur du foyer dépasse $300$~\degres C.
	\item On note $f$ la fonction représentée sur le graphique.

	Estimer la valeur de \quad $\displaystyle\dfrac{1}{600} \int_{0}^{600} f(t) \d t$.\quad Interpréter le résultat.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie 2 : étude d'une fonction}
Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[ $ par :

\[g(t) = 10 t \e^{-0,01 t} + 20.\]

\begin{enumerate}
	\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$.
	\item \begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $t \in [0~;~+ \infty[,\quad g'(t)=(-0,1 t + 10) \e^{- 0,01 t}$.
		\item Étudier les variations de la fonction $g$ sur $[0~;~+ \infty[$ et construire son tableau de variations.
	\end{enumerate}
	\item Démontrer que l'équation $g(t) = 300$ admet exactement deux solutions distinctes sur [$0~;~+ \infty[$. En donner des valeurs approchées à l'unité.
	\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer \quad $\displaystyle \int_{0}^{600} g(t) \:\text{d}t$.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie 3 : évaluation}
Pour un appareil de la marque B, la température en degrés Celsius à l'intérieur du foyer $t$ minutes après l'allumage est modélisée sur $[0~;~600]$ par la fonction $g$.

L'organisme certificateur attribue une étoile par critère validé parmi les quatre suivants :

\begin{itemize}
\item Critère 1 : la température maximale est supérieure à $320~$\degres C.
\item Critère 2 : la température maximale est atteinte en moins de 2 heures.
\item Critère 3 : la température moyenne durant les 10 premières heures après l'allumage dépasse $250$~\degres C.
\item Critère 4 : la température à l'intérieur du foyer ne doit pas dépasser $300$~\degres C pendant plus de 5 heures.
\end{itemize}

Chaque appareil obtient-il exactement trois étoiles ? Justifier votre réponse.

\section*{Exercice 4 \hfill 4 points}
On modélise un passage de spectacle de voltige aérienne en duo de la manière suivante :

\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item on se place dans un repère orthonormé \Oijk, une unité représentant un mètre;

\item l'avion n\up{o} 1 doit relier le point O au point $\mathrm{A}(0~;~200~;~0)$ selon une trajectoire rectiligne, à la vitesse constante de $\np[m/s]{200}$;

\item l'avion n\up{o} 2 doit, quant à lui, relier le point $\mathrm{B}(-33~;~75~;~44)$ au point $\mathrm{C}(87~;~75~;~-116)$ également selon une trajectoire rectiligne, et à la vitesse constante de $\np[m/s]{200}$.

\item au même instant, l'avion \no 1 est au point O et l'avion \no 2 est au point B.
\end{itemize}
\begin{tikzpicture}[x={(-160:0.4mm)},y={(0:0.35mm)},z={(90:0.3mm)},>=stealth]
	\draw[->] (-150,0,0) -- (150,0,0) node[below left]{$x$};
	\draw[->] (0,0,0) -- (0,250,0) node[below]{$y$};
	\draw[->] (0,0,-200) -- (0,0,80) node[left]{$z$};
	\fill (0,0,0) circle (3pt) node[above right]{O};
	\fill (0,200,0) circle (3pt) node[above right]{A};
	\fill (87,75,-116) circle (3pt) node[below=5pt]{C};
	\fill (-33,75,44) circle (3pt) node[above right]{B};
	\draw[line width=2pt] (0,0,0) -- (0,200,0) (87,75,-116) -- (-33,75,44) ;
	\draw[teal,dashed,line width=1pt] (0,0,0) -- (0,75,0) node[color=black,below right]{75} -- (-33,75,0) -- (-33,75,44) -- (-33,0,44) -- (0,0,44)node[black,left]{44} -- cycle
	(0,0,44) -- (0,75,44) -- (-33,75,44) (0,75,44) -- (0,75,0)
	(0,0,0) -- (-33,0,0)node[black,above left]{$-33$} -- (-33,75,0) (-33,0,0) -- (-33,0,44);
	\draw[red,dashed,line width=1pt] (0,0,0) -- (0,75,0) -- (0,75,-116) -- (87,75,-116) -- (87,0,-116) -- (87,0,0)node[black,above left]{87} -- cycle
	(87,0,0)--(87,75,0) -- (87,75,-116) (87,75,0) -- (0,75,0)
	(0,0,0) -- (0,0,-116)	(87,0,-116) -- (0,0,-116)node[black, above left]{$-116$} --(0,75,-116);
\end{tikzpicture}
\begin{enumerate}
\item Justifier que l'avion \no 2 mettra autant de temps à parcourir le segment [BC] que l'avion \no 1 à parcourir le segment [OA].
\item Montrer que les trajectoires des deux avions se coupent.
\item Les deux avions risquent-ils de se percuter lors de ce passage ?
\end{enumerate}
\end{document}