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%Tapuscrit : François Kriegk
%Relecture : Denis Vergès
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	pdfauthor = {APMEP},
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité, sujet 2}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{22 mai 2024}}
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\begin{document}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

	\begin{center}
		{\Large\bf\decofourleft~Baccalauréat Amérique du Nord
- 22 mai 2024~\decofourright\\[7pt]  Sujet 2\\[7pt]
ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}
	\end{center}

	\section{Exercice 1 \hfill5 points}
Les données publiées le 1\up{er } mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes :

	\begin{itemize}
		\item $22,86\,\%$ des véhicules étaient des véhicules neufs ;
		\item $8,08\,\%$ des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables;
		\item $1,27\,\%$ des véhicules d'occasion (c'est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.
	\end{itemize}

	\emph{Dans tout l'exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.}
	\subsection{}% A}

\medskip

Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022.

On note :

\begin{itemize}
	\item $N$ l'évènement \og le véhicule est neuf \fg{};
	\item $R$ l'évènement \og le véhicule est hybride rechargeable\fg{};
	\item $\overline{N}$ et $\overline{R}$ les évènements contraires des évènements contraires de $N$ et $R$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.

\item Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.

\item Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est \np{0,0283}.

\item Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu'il est hybride rechargeable.
\end{enumerate}

\subsection{}% B}

\medskip

Dans cette partie, on choisit $500$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022.

Dans la suite, on admettra que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.

On assimile le choix de ces 500 véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les $500$ véhicules choisis.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.
\item Déterminer la probabilité qu'exactement $325$ de ces véhicules soient neufs.
\item Déterminer la probabilité $p(X \geq 325)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\subsection{}% C}

\medskip

On choisit désormais $n$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.

On rappelle que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.

On assimile le choix de ces $n$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_{n}$ que tous ces véhicules soient d'occasion.

\item On note $q_{n}$ la probabilité qu'au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $q_{n} \geqslant \np{0,9999}$.
\end{enumerate}

\section{Exercice 2 \hfill 5 points}

On considère le pavé droit ABCDEFGH tel que AB $= 3$ et AD = AE $= 1$ représenté ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.4,6.3)
\psframe(0.3,0.6)(7.8,4.3)%ABFE
\psline(7.8,0.6)(8.6,2.2)(8.6,5.9)(7.8,4.3)%BCGF
\psline(8.6,5.9)(1.1,5.9)(0.3,4.3)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.6)(1.1,2.2)(8.6,2.2)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1.1,2.2)(1.1,5.9)%DH
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.9](2.8,0.6)(4.85,2.2)\uput[d](2.8,0.6){I}
\uput[dl](0.3,0.6){A} \uput[dr](7.8,0.6){B} \uput[r](8.6,2.2){C} \uput[ul](1.1,2.2){D}
\uput[l](0.3,4.3){E} \uput[r](7.8,4.3){F} \uput[ur](8.6,5.9){G} \uput[ul](1.1,5.9){H}
\uput[u](4.85,2.2){M}
\end{pspicture}
\end{center}

On considère le point I du segment [AB] tel que $\vect{\text{AB}}= 3 \vect{\text{AI}}$ et on appelle $M$ le milieu du segment [CD].

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AI}}, \vect{\text{AD}}, \vect{\text{AE}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sans justifier, donner les coordonnées des points F{}, H et M.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item 	Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}2\\6\\ 3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (HMF).
		\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan (HMF) est :

\[2x + 6y + 3z - 9 = 0.\]

		\item Le plan $\mathcal{P}$ dont une équation cartésienne est $5x + 15y - 3z + 7 = 0$ est-il parallèle au plan (HMF) ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (DG).
\item On appelle $N$ le point d'intersection de la droite (DG) avec le plan (HMF).

Déterminer les coordonnées du point N.
\item Le point R de coordonnées $\left(3~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$ est-il le projeté orthogonal du point G sur le plan (HMF) ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\section{Exercice 3 \hfill 6 points}

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par 

\[g(x) = 2x - x^{2}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~1]$ et préciser les valeurs de $g(0)$ et de $g(1)$.
\end{enumerate}

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $\left\{\begin{array}{l c l}u_{0}&=&\dfrac{1}{2}\\ u_{n+1}&=&g\left(u_{n}\right)\end{array}\right.$ pour tout entier naturel $n$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.

\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0 < u_{n} < u_{n+1}< 1$.
\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
\item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}

On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\ln \left(1 - u_{n}\right)$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{5}
\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 2 et préciser son premier terme.
\item En déduire une expression de $v_{n}$ en fonction de $n$.
\item En déduire une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ et retrouver la limite déterminée à la question 5.
\item Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci renvoie le rang $n$ à partir duquel la suite dépasse 0,95.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\texttt} l|}\hline
%\begin{verbatim}
\textbf{def }seuil():\\
\qquad n=0\\
\qquad u=0.5\\
\qquad \textbf{while} u < 0.95 :\\
\qquad \qquad n=...\\
\qquad \qquad u=...\\
\qquad \textbf{return} n\\ \hline
\end{tabular}
%\end{verbatim}
\end{center}
\section{Exercice 4 \hfill 4 points}

Soit $a$ un réel strictement positif.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = a \ln (x).\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Soit $x_{0}$ un réel strictement supérieur à 1.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses.
\item Vérifier que la fonction $F$ définie par $F(x) =a [x \ln (x) - x]$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\item En déduire l'aire du domaine bleuté en fonction de $a$ et de $x_{0}$.

\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(4.5,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-1,-1)(4.5,2)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{1.8}{x ln 1.3 mul}\psline(1.8,0.764)(1.8,0)(1,0)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{4.5}{x ln 1.3 mul}
\uput[dr](1,0){1}\uput[d](1.8,0){$x_0$}\uput[ul](1.8,0.764){$M$}
\uput[dr](4,1.6){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](4.4,0){$x$}\uput[l](0,1.9){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M$ d'abscisse $x_{0}$.

On appelle $A$ le point d'intersection de la tangente $T$ avec l'axe des ordonnées et $B$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des ordonnées.

\begin{center}
\psset{unit=2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(4.5,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-1,-1)(4.5,2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{4.5}{x ln 1.3 mul}
\uput[dr](1,0){1}\uput[d](1.8,0){$x_0$}\uput[ul](1.8,0.764){$M$}
\uput[dr](4,1.6){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\psline[linestyle=dashed](1.8,0.764)(1.8,0)
\uput[d](4.4,0){$x$}\uput[l](0,1.9){$y$}
\psplotTangent{1.8}{4}{x ln 1.3 mul}
\psline(-1,0.764)(4.5,0.764)\uput[ul](0,0.764){B}\uput[ul](0, -0.5){A}
\psframe(0,0.764)(0.1,0.664)\uput[ul](3.1,1.8){$T$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item Démontrer que la longueur AB est égale à une constante (c'est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de $x_{0}$) que l'on déterminera.

\emph{Le candidat prendra soin d'expliciter sa démarche}.
\end{enumerate}
\end{document}