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%Tapuscrit : Denis Vergès et François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Baccalauréat Spécialité : l'intégrale 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat spécialité 
~\decofourright\\ \vspace{1cm} L'intégrale de mai à septembre
 2024}}

\vspace{1cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large 
\textcolor{blue}{bleus}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\phantomsection
\hypertarget{Sommaire}{}
\index{sommaire@\emph{sommaire}}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} 
\Large 

\hyperlink{AmeriqueNord1}{Amérique du Nord J1 -- 21 mai 2024} \dotfill \pageref{AmeriqueNord1}\\
\hyperlink{AmeriqueNord2}{Amérique du Nord J2 -- 22 mai 2024} \dotfill \pageref{AmeriqueNord2}\\
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\hyperlink{Polynesie2}{Polynésie J2 -- 20 juin 2024} \dotfill \pageref{Polynesie2}\\
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%
%\hyperlink{Reunion1}{La Réunion J1 -- 28 mars 2023} \dotfill \pageref{Reunion1}\\
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%\hyperlink{AmeriSud2}{Amérique du Sud J2 -- 27 septembre 2023}\dotfill \pageref{AmeriSud2}\\

\end{tabularx}
\vspace{1cm}

\hyperlink{Index}{À la fin index des notions abordées}

%À la fin de chaque exercice cliquer sur {\blue *} pour aller à l'index
\newpage ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%% Amerique du Nord Jour 1 21 mai 2024
\phantomsection
\hypertarget{AmeriqueNord1}{}
\label{AmeriqueNord1}
%\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
%\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Amérique du Nord - sujet 1}}
\rfoot{\small{21 mai 2024}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

%-dALLOWPSTRANSPARENCY
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Amérique du Nord 21 mai 2024~\decofourright\\[7pt]  Jour 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large \textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Un jeu vidéo récompense par un objet tiré au sort les joueurs ayant remporté un défi. L'objet tiré peut être \og commun \fg{} ou \og rare \fg. Deux types d'objets communs ou rares sont disponibles, des épées et des boucliers.

Les concepteurs du jeu vidéo ont prévu que :\index{probabilités}

\begin{itemize}
\item la probabilité de tirer un objet rare est de 7\,\% ;
\item si on tire un objet rare, la probabilité que ce soit une épée est de 80\,\% ;
\item si on tire un objet commun, la probabilité que ce soit une épée est de 40\,\%.
\end{itemize}

\emph{Les parties \textbf{\rm A} et \textbf{\rm B} sont indépendantes.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un joueur vient de remporter un défi et tire au sort un objet. On note :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $R$ l'évènement \og le joueur tire un objet rare\fg{} ;
\item $E$ l'évènement \og le joueur tire une épée \fg{} ;
\item $\overline{R}$ et $\overline{E}$ les évènements contraires des évènements $R$ et $E$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dresser un arbre pondéré modélisant la situation, puis calculer $P(R \cap E)$.\index{arbre pondéré}
\item Calculer la probabilité de tirer une épée.
\item Le joueur a tiré une épée. Déterminer la probabilité que ce soit un objet rare. Arrondir
le résultat au millième.\index{probabilité conditionnelle}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un joueur remporte $30$ défis.

On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre d'objets rares que le joueur obtient après avoir remporté $30$ défis. Les tirages successifs sont considérés comme indépendants.\index{variable aléatoire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres, ainsi que son espérance.\index{espérance}\index{loi binomiale}
\item Déterminer $P(X < 6)$. Arrondir le résultat au millième.
\item Déterminer la plus grande valeur de $k$ telle que $P(X \geqslant k) \geqslant 0,5$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Les développeurs du jeu vidéo veulent proposer aux joueurs d'acheter un \og ticket
d'or \fg{} qui permet de tirer $N$ objets. La probabilité de tirer un objet rare reste de 7\,\%.

Les développeurs aimeraient qu'en achetant un ticket d'or, la probabilité qu'un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces $N$ tirages soit supérieure ou égale à $0,95$.

Déterminer le nombre minimum d'objets à tirer pour atteindre cet objectif. On veillera à détailler la démarche mise en œuvre.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large \textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.\\\index{QCM}
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est demandée. \\
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.}

\emph{Les quatre questions sont indépendantes.}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.\index{géométrie dans l'espace}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les points A(1~;~0~;~3) et B(4~;~1~;~0).

Une représentation paramétrique de la droite (AB) est:\index{représentation paramétrique de droite}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& \phantom{-}3 + t \\
y &=& \phantom{-}1\\
z &=& - 3 +3t
\end{array}\right.$ avec $t \in \R$&\textbf{b.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1+4t\\
y &=&\phantom{1 + 4}t\\
z &=& 3\end{array}\right.$ avec $t \in \R$\\
\textbf{c.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1 + 3t\\
y &=&\phantom{1 + 3}t\\
z&=&3 - 3t
\end{array}\right.$ avec $t \in \R$&\textbf{d.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&4 + t\\
y&=&1\\
z&=&3 - 3t
\end{array}\right.$ avec $t \in \R$
\end{tabularx}
\end{center}

On considère la droite $(d)$ de représentation paramétrique 

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&3 + 4t\\
y&=&\phantom{3 + }6t\\
z&=&4 - 2t
\end{array}\right.$ avec $t \in \R$

\item Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $(d)$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} M(7~;~6~;~6) &\textbf{b.~} N(3~;~6~;~4) &\textbf{c.~}P$(4~;~6~;~-2)$&\textbf{d.~} R$(-3~;~-9~;~7)$
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère la droite $(d')$ de représentation paramétrique 

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- 2 + 3k\\y&=&- 1 - 2k\\
z&=&\phantom{-}1 + k
\end{array}\right.$ avec $k \in \R$

Les droites $(d)$ et $(d')$ sont:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} sécantes &\textbf{b.~} non coplanaires&\textbf{c.~}  parallèles&\textbf{d.~} confondues
\end{tabularx}
\end{center}
\item On considère le plan $(P)$ passant par le point I(2~;~1~;~0) et perpendiculaire à la droite $(d)$.

Une équation du plan $(P)$ est:\index{equation de plan@équation de plan}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $2x + 3y - z - 7=0$	&\textbf{b.~} $- x + y - 4z + 1 = 0$\\
\textbf{c.~} $4x + 6y - 2z + 9 = 0$	&\textbf{d.~} $2x + y + 1 = 0$
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large \textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Le but de cet exercice est d'étudier la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : \index{fonction logarithme népérien}

\[f(x) = x\ln \left(x^2\right) -\dfrac 1x.\]

\smallskip

\textbf{Partie A : lectures graphiques}\index{lecture graphique}

\medskip

On a tracé ci-dessous la courbe représentative $(\mathcal{C}_f)$ de la fonction $f$, ainsi que la droite $(T)$, tangente à la courbe $(\mathcal{C}_f)$ au point A de coordonnées $(1~;~-1)$.

Cette tangente passe également par le point B$(0~;~-4)$.

\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm,yunit=0.6cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.4,-7.05)(4,7)
\multido{\n=1+1}{4}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](\n,-7)(\n,7)}
\multido{\n=-7+1}{15}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](0,\n,)(4,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false]{->}(0,0)(-0.4,-7)(4,7)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.1}{4}{x dup mul ln x mul 1 x div sub}
\psplotTangent{1}{3}{x dup mul ln x mul 1 x div sub}
\uput[ul](2.7,5){\red $\mathcal{C}_f$} \uput[dr](3,5){$T$}
\uput[dr](1,-1){A}\uput[dr](0,-4){B}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,-4)
\psdots[dotstyle=+,dotscale=2](1,-1)(0,-4)
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Lire graphiquement $f'(1)$ et donner l'équation réduite de la tangente $(T)$.
\item Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.

Que semble représenter le point A pour la courbe $(\mathcal{C}_f)$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude analytique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant, la limite de $f$ en $+\infty$, puis sa limite en $0$.\index{limite de fonction}
\item On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
		\item Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$,

\[f''(x) = \dfrac{2(x + 1)(x - 1)}{x^3}.\]
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.\index{convexité}
		\item Étudier les variations de la fonction $f'$, puis le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$.\index{variations de fonction}
		
En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.\index{résolution d'équation}
		\item Donner la valeur arrondie au centième de $\alpha$ et montrer que $\alpha$ vérifie :
		
\[\alpha^2 = \text{exp} \left(\dfrac{1}{\alpha^2}\right).\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large \textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on considère les intégrales suivantes :\index{intégrale}\index{sinus}\index{cosinus}

\[I_n = \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\sin (x)\:\text{d}x, \quad  J_n = \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{-nx}\cos (x)\:\text{d}x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $I_0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , on a $I_n \geqslant 0$.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a $I_{n+1} - I_n \leqslant 0$.
		\item Déduire des deux questions précédentes que la suite $\left(I_n\right)$ converge.\index{suite}
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a : 
		\[I_n \leqslant \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\:\text{d}x.\]
		

		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : 
		\[\displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\:\text{d}x = \dfrac{1 - \e^{-n \pi}}{n}.\]
		
		\item Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite $\left(I_n\right)$.\index{limite de suite}
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item En intégrant par parties l'intégrale $I_n$ de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :

\begin{center}$I_n = 1 + \e^{-n\pi} - nJ_n$ \quad et\quad  $I_n = \dfrac 1n J_n$\end{center}

		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a 
		\[I_n = \dfrac{1 + \e^{-n \pi}}{n^2 + 1}\]
	\end{enumerate}
\item On souhaite obtenir le rang $n$ à partir duquel la suite $\left(I_n\right)$ devient inférieure à 0,1.

Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la
commande appropriée.\index{Python}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
1 &\textbf{from} math \textbf{import *}\\
2 &\textbf{def} seuil() :\\
3 &\quad n = 0\\
4 &\quad I = 2\\
5 &\quad \ldots\\
6 &\quad \qquad n = n+1\\
7 &\quad \qquad I = (1+exp(-n*pi))/(n*n+1) \hspace*{1cm}\\
8 & \quad \textbf{return} n\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%  fin Amérique du Nord 1 21 mai 2024
\newpage
%%%%%%%%%%  Amérique du Nord 2 22 mai 2024
\phantomsection
\hypertarget{AmeriqueNord2}{}
\label{AmeriqueNord2}

\lfoot{\small{Amérique du Nord - sujet 2}}
\rfoot{\small{22 mai 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large\bf\decofourleft~Baccalauréat Amérique du Nord
- 22 mai 2024~\decofourright\\[7pt]  Sujet 2\\[7pt]
ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large{}Exercice 1 \hfill 5 points}
\index{probabilités}

\medskip

Les données publiées le 1\up{er } mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes :

	\begin{itemize}
		\item $22,86\,\%$ des véhicules étaient des véhicules neufs ;
		\item $8,08\,\%$ des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables;
		\item $1,27\,\%$ des véhicules d'occasion (c'est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.
	\end{itemize}

\emph{Dans tout l'exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022.

On note :

\begin{itemize}
	\item $N$ l'évènement \og le véhicule est neuf \fg{};
	\item $R$ l'évènement \og le véhicule est hybride rechargeable\fg{};
	\item $\overline{N}$ et $\overline{R}$ les évènements contraires des évènements contraires de $N$ et $R$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.\index{arbre pondéré}
\item Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.
\item Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est \np{0,0283}.

\item Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu'il est hybride rechargeable.\index{probabilité conditionnelle}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on choisit $500$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022.

Dans la suite, on admettra que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.

On assimile le choix de ces 500 véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les $500$ véhicules choisis.\index{variable aléatoire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.\index{loi binomiale}
\item Déterminer la probabilité qu'exactement $325$ de ces véhicules soient neufs.
\item Déterminer la probabilité $p(X \geqslant 325)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On choisit désormais $n$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.

On rappelle que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.

On assimile le choix de ces $n$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_{n}$ que tous ces véhicules soient d'occasion.
\item On note $q_{n}$ la probabilité qu'au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $q_{n} \geqslant \np{0,9999}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

On considère le pavé droit ABCDEFGH tel que AB $= 3$ et AD = AE $= 1$ représenté ci-dessous.\index{géométrie dans l'espace}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.4,6.3)
\psframe(0.3,0.6)(7.8,4.3)%ABFE
\psline(7.8,0.6)(8.6,2.2)(8.6,5.9)(7.8,4.3)%BCGF
\psline(8.6,5.9)(1.1,5.9)(0.3,4.3)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.6)(1.1,2.2)(8.6,2.2)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1.1,2.2)(1.1,5.9)%DH
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.9](2.8,0.6)(4.85,2.2)\uput[d](2.8,0.6){I}
\uput[dl](0.3,0.6){A} \uput[dr](7.8,0.6){B} \uput[r](8.6,2.2){C} \uput[ul](1.1,2.2){D}
\uput[l](0.3,4.3){E} \uput[r](7.8,4.3){F} \uput[ur](8.6,5.9){G} \uput[ul](1.1,5.9){H}
\uput[u](4.85,2.2){M}
\end{pspicture}
\end{center}

On considère le point I du segment [AB] tel que $\vect{\text{AB}}= 3 \vect{\text{AI}}$ et on appelle $M$ le milieu du segment [CD].

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AI}}, \vect{\text{AD}}, \vect{\text{AE}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sans justifier, donner les coordonnées des points F{}, H et M.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}2\\6\\ 3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (HMF).\index{vecteur normal}
		\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan (HMF) est :\index{equation de plan@équation de plan}

\[2x + 6y + 3z - 9 = 0.\]

		\item Le plan $\mathcal{P}$ dont une équation cartésienne est $5x + 15y - 3z + 7 = 0$ est-il parallèle au plan (HMF) ? Justifier la réponse.\index{plans parallèles}
	\end{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (DG).\index{représentation paramétrique de droite}
\item On appelle $N$ le point d'intersection de la droite (DG) avec le plan (HMF).

Déterminer les coordonnées du point N.
\item Le point R de coordonnées $\left(3~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$ est-il le projeté orthogonal du point G sur le plan (HMF) ? Justifier la réponse.\index{projeté orthogonal}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par 

\[g(x) = 2x - x^{2}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~1]$ et préciser les valeurs de $g(0)$ et de $g(1)$.%\index{fonction croissante}
\end{enumerate}

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $\left\{\begin{array}{l c l}u_{0}&=&\dfrac{1}{2}\\ u_{n+1}&=&g\left(u_{n}\right)\end{array}\right.$ pour tout entier naturel $n$.\index{suite}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.

\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0 < u_{n} < u_{n+1}< 1$.\index{démonstration par récurrence}
\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.\index{suite convergente}
\item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_{n}\right)$.\index{limite de suite}
\end{enumerate}

On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\ln \left(1 - u_{n}\right)$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{5}
\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 2 et préciser son premier terme.\index{suite géométrique}
\item En déduire une expression de $v_{n}$ en fonction de $n$.
\item En déduire une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ et retrouver la limite déterminée à la question 5.
\item Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci renvoie le rang $n$ à partir duquel la suite dépasse 0,95.\index{Python}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\texttt} l|}\hline
%\begin{verbatim}
\textbf{def} seuil():\\
\qquad n = 0\\
\qquad u = 0.5\\
\qquad \textbf{while} u < 0.95 : \hspace*{1cm}\\
\qquad \qquad n = ...\\
\qquad \qquad u = ...\\
\qquad \textbf{return} n\\ \hline
\end{tabular}
%\end{verbatim}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 4 \hfill 4 points}

\medskip

Soit $a$ un réel strictement positif.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = a \ln (x).\]\index{fonction logarithme népérien}

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Soit $x_{0}$ un réel strictement supérieur à 1.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses.
\item Vérifier que la fonction $F$ définie par $F(x) =a [x \ln (x) - x]$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.\index{primitive}
\item En déduire l'aire du domaine bleuté en fonction de $a$ et de $x_{0}$.

\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(4.5,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-1,-1)(4.5,2)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue!20]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{1.8}{x ln 1.3 mul}\psline(1.8,0.764)(1.8,0)(1,0)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{4.5}{x ln 1.3 mul}
\uput[dr](1,0){1}\uput[d](1.8,0){$x_0$}\uput[ul](1.8,0.764){$M$}
\uput[dr](4,1.6){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](4.4,0){$x$}\uput[l](0,1.9){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M$ d'abscisse $x_{0}$.

On appelle A le point d'intersection de la tangente $T$ avec l'axe des ordonnées et B le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des ordonnées.

\begin{center}
\psset{unit=2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(4.5,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-1,-1)(4.5,2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{4.5}{x ln 1.3 mul}
\uput[dr](1,0){1}\uput[d](1.8,0){$x_0$}\uput[ul](1.8,0.764){$M$}
\uput[dr](4,1.6){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\psline[linestyle=dashed](1.8,0.764)(1.8,0)
\uput[d](4.4,0){$x$}\uput[l](0,1.9){$y$}
\psplotTangent{1.8}{4}{x ln 1.3 mul}
\psline(-1,0.764)(4.5,0.764)\uput[ul](0,0.764){B}\uput[ul](0, -0.5){A}
\psframe(0,0.764)(0.1,0.664)\uput[ul](3.1,1.8){$T$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item Démontrer que la longueur AB est égale à une constante (c'est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de $x_{0}$) que l'on déterminera.

\emph{Le candidat prendra soin d'expliciter sa démarche}.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord J2 22 mai 2024

\newpage

%%%%%%%%%%  Centres étrangers J1 5 juin 2024
\phantomsection
\hypertarget{Centresetrangers1}{}
\label{Centresetrangers1}

%\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Centres étrangers - sujet 1}}
\rfoot{\small{5 juin 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Centres étrangers\footnote{Europe} 5 juin 2024~\decofourright\\[7pt]  Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On définit la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~1] par :
\[f(x) = \dfrac{0,96x}{0,93x + 0,03}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~1], 
\[f'(x) = \dfrac{\np{0,0288}}{(0,93x + 0,03)^2}.\]

\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~1].\index{variations de fonction}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

La lutte contre le dopage passe notamment par la réalisation de contrôles antidopage qui visent à déterminer si un sportif a fait usage de substances interdites.

Lors d'une compétition rassemblant \np{1000} sportifs, une équipe médicale teste tous les concurrents. On propose d'étudier la fiabilité de ce test.

On appelle $x$ le réel compris entre 0 et 1 qui désigne la proportion de sportifs dopés.

Lors de l'élaboration de ce test, on a pu déterminer que :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item la probabilité qu'un sportif soit déclaré positif sachant qu'il est dopé est égale
à 0,96 ;\index{probabilités}
\item la probabilité qu'un sportif soit déclaré positif sachant qu'il n'est pas dopé est égale à 0,03.
\end{itemize}

On note :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $D$ l'évènement : \og le sportif est dopé \fg.
\item $T$ l'évènement : \og le test est positif \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous :\index{arbre pondéré}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$D~$}\taput{$x$}}
	{\TR{$T$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{T}$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{D}~$}\tbput{$1 - x$}}
	{\TR{$T$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{T}$} \tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}

\item Déterminer, en fonction de $x$, la probabilité qu'un sportif soit dopé et ait un test positif.
\item Démontrer que la probabilité de l'évènement $T$ est égale à $0,93x + 0,03$.
\item Pour cette question uniquement, on suppose qu'il y a $50$ sportifs dopés parmi les \np{1000} testés.

La fonction $f$ désigne la fonction définie à la partie A.

Démontrer que la probabilité qu'un sportif soit dopé sachant que son test est positif est égale à $f(0,05)$. \emph{En donner une valeur arrondie au centième}.\index{probabilité conditionnelle}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{enumerate}[resume]
\item On appelle valeur prédictive positive d'un test la probabilité que le sportif soit réellement dopé lorsque le résultat du test est positif.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer à partir de quelle valeur de $x$ la valeur prédictive positive du test étudié sera supérieure ou égale à $0,9$. Arrondir le résultat au centième.
		\item Un responsable de la compétition décide de ne plus tester l'ensemble des sportifs, mais de cibler les sportifs les plus performants supposés être plus fréquemment dopés.

Quelle est la conséquence de cette décision sur la valeur prédictive positive du test ?

\emph{Argumenter en utilisant un résultat de la partie }A.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par \index{fonction exponentielle}
\[f(x) = 2x\e^{-x}.\]

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~1]. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre sur l'intervalle [0~;~1] l'équation $f(x) = x$.\index{résolution d'équation}
		\item Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~1], 
		\[f'(x) = 2(1 - x)\e^{-x}.\]
		
		\item Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~1].\index{variations de fonction}
		
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0,1$ et pour tout entier naturel $n$,\index{suite}

\[u_{n+1} = f\left(u_n\right).\]
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel,\index{démonstration par récurrence}
		\[0 \leqslant u_n < u_{n+1} \leqslant 1.\]
		
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.\index{suite convergente}
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est $\ln (2)$.\index{limite de suite}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n,\: \ln (2) - u_n$ est positif.
		\item On souhaite écrire un script Python qui renvoie une valeur approchée de $\ln(2)$ par défaut à $10^{-4}$ près, ainsi que le nombre d'étapes pour y parvenir.
		
Recopier et compléter le script ci-dessous afin qu'il réponde au problème posé.\index{Python}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{def} seuil() :\\
\qquad n = 0\\
\qquad u = 0.1\\
\qquad \textbf{while} ln (2) $-$ u \ldots 0.0001 : \hspace*{1cm}\\
\qquad \qquad n = n+1\\
\qquad \qquad u = \ldots\\
\qquad \textbf{return} (u,~n)\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

		\item Donner la valeur de la variable $n$ renvoyée par la fonction seuil ().
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

On considère l'équation différentielle 
\[\left(E_0\right) :\quad  y' = y\]
où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.\index{equation différentielle@équation différentielle}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'unique fonction constante solution de l'équation différentielle 
$\left(E_0\right)$ est la fonction nulle.
\item Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle $\left(E_0\right)$.

On considère l'équation différentielle 
\[(E) :\quad  y' = y - \cos (x) - 3\sin (x)\]
où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

\item La fonction $h$ est définie sur $\R$ par $h(x) = 2 \cos (x) + \sin (x)$.\index{sinus}\index{cosinus}

On admet qu'elle est dérivable sur $\R$.

Démontrer que la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
\item On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

Démontrer que : \og $f$ est solution de $(E)$ \fg{} est équivalent à \og $f - h$ est solution de $\left(E_0\right)$ \fg.
\item En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer l'unique solution $g$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $g(0) = 0$.
\item Calculer:
\[\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[-2\e^x + \sin (x) + 2\cos (x)\right]\:\text{d}x.\]\index{intégrale}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.\index{géométrie dans l'espace}

On considère :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item les points A$(-2~;~0~;~2)$,\: B$(-1~;~3~;~0)$,\: C$(1~;~-1~;~2)$ et D(0~;~0~;~3).
\item la droite $\mathcal{D}_1$ dont une représentation paramétrique est $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t\\
y &=& 3t\\
z &=& 3 + 5t
\end{array}\right.$ avec $t \in \R$.\index{représentation paramétrique de droite}
\item la droite $\mathcal{D}_2$ dont une représentation paramétrique est $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&1 + 3s\\ y &=& -1 - 5s\\z &=& 2 - 6s
\end{array}\right.$ avec $s \in~\R$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.\index{points alignés}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan (ABC).\index{vecteur normal}
		\item  Justifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est :
\[x + 3y + 5z - 8 = 0.\]\index{equation de plan@équation de plan}

		\item En déduire que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.\index{points coplanaires}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la droite $\mathcal{D}_1$ est la hauteur du tétraèdre ABCD issue de D.

On admet que la droite $\mathcal{D}_2$ est la hauteur du tétraèdre ABCD issue de C.
		\item Démontrer que les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.\index{droites sécantes}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H du point D sur le plan (ABC).\index{projeté orthogonal}
		\item Calculer la distance du point D au plan (ABC).\index{distance d'un point à un plan}

\emph{Arrondir le résultat au centième}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%   fin Centres étrangers J1 5 juin 2024

\newpage

%%%%%%%%%%%   Centres étrangers J2 6 juin 2024

\hypertarget{Centresetrangers2}{}
\label{Centresetrangers2}
%\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2}
\lfoot{\small{Centres étrangers - sujet 2}}
\rfoot{\small{6 juin 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Centres étrangers\footnote{Europe} 6 juin 2024~\decofourright\\[7pt]  Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Un sac opaque contient huit jetons numérotés de 1 à 8, indiscernables au toucher.

À trois reprises, un joueur pioche un jeton dans ce sac, note son numéro, puis le remet dans le sac.

Dans ce contexte, on appelle \og tirage \fg{} la liste ordonnée des trois numéros obtenus.

Par exemple, si le joueur pioche le jeton numéro 4, puis le jeton numéro 5, puis le jeton numéro 1, alors le tirage correspondant est (4~;~5~;~1).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de tirages possibles.\index{probabilités}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de tirages sans répétition de numéro.\index{dénombrement}
		\item En déduire le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
On note $X_1$ la variable aléatoire égale au numéro du premier jeton pioché, $X_2$ celle égale au numéro du deuxième jeton pioché et $X_3$ celle égale au numéro du troisième jeton pioché.\index{variable aléatoire}

Puisqu'il s'agit d'un tirage avec remise, les variables aléatoires $X_1, X_2$, et $X_3$ sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité.

\begin{enumerate}[resume]
\item Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_1$
\item Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X_1$\index{loi binomiale}
\end{enumerate}

On note $S = X_1 + X_2 + X_3$ la variable aléatoire égale à la somme des numéros des trois jetons piochés.\index{variable aléatoire!somme}

\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $S$.\index{espérance}
\item Déterminer $P(S = 24)$.
\item Si un joueur obtient une somme supérieure ou égale à $22$, alors il gagne un lot.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il existe exactement $10$ tirages permettant de gagner un lot.
		\item En déduire la probabilité de gagner un lot.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-\infty~;~1[$ par 

\[f(x) = \dfrac{\e^x}{x - 1}.\]\index{fonction exponentielle}

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]-\infty~;~1[$ .

On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en 1.\index{limite de fonction}
		\item En déduire une interprétation graphique.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]-\infty~;~1[$ , on a%\index{dérivée}
		\[f'(x) = \dfrac{(x - 2)\e^x}{(x - 1)^2}.\]
		
		\item Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-\infty~;~1[$.\index{tableau de variations}

	\end{enumerate}
\item On admet que pour tout réel $x$ de l'intervalle ]$]-\infty~;~1[$, on a 

\[f''(x) = \dfrac{\left(x^2 -4x + 5\right)\e^x}{(x - 1)^3}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-\infty~;~1[$.\index{convexité}
		\item Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.\index{equation de tangente@équation de tangente}
		\item En déduire que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]-\infty~;~1[$, on a :
		
\[\e^x \geqslant  (-2x - 1)(x-1).\]

	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(x) = -2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]-\infty~;~1[$.\index{résolution d'équation}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Le cube ABCDEFGH a pour arête 1 cm.\index{géométrie dans l'espace}

Le point I est le milieu du segment [AB] et le point J est le milieu du segment [CG].

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,7)
\psframe(0.3,0.3)(4.3,4.3)%ABFE
\psline(4.3,0.3)(5.3,2.3)(5.3,6.3)(4.3,4.3)%BCGF
\psline(5.3,6.3)(1.3,6.3)(0.3,4.3)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(1.3,2.3)(5.3,2.3)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1.3,2.3)(1.3,6.3)%DH
\uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[dr](4.3,0.3){B} \uput[r](5.3,2.3){C} \uput[dr](1.3,2.3){D}
\uput[l](0.3,4.3){E} \uput[ul](4.3,4.3){F} \uput[ur](5.3,6.3){G} \uput[u](1.3,6.3){H}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.7](2.3,0.3)(5.3,4.3)
\uput[d](2.3,0.3){I}\uput[r](5.3,4.3){J}
\end{pspicture}
\end{center}

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~~\vect{\text{AE}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des points I et J.%\index{coordonnées}
\item Montrer que le vecteur $\vect{\text{EJ}}$ est normal au plan (FHI).\index{vecteur normal}
\item Montrer qu'une équation cartésienne du plan (FHI) est $- 2x - 2y + z + 1 = 0$.\index{equation de plan@équation de plan}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EJ).\index{représentation paramétrique de droite}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note K le projeté orthogonal du point E sur le plan (FHI). Calculer ses coordonnées.\index{projeté orthogonal}
		\item  Montrer que le volume de la pyramide EFHI est $\dfrac16$~cm$^3$.\index{volume de pyramide}
		
\emph{On pourra utiliser le point {\rm L}, milieu du segment {\rm [EF]}. On admet que ce point est le projeté orthogonal du point {\rm I} sur le plan} (EFH).
		\item Déduire des deux questions précédentes l'aire du triangle FHI.\index{aire de triangle}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par \index{fonction racine carrée}
\[f(x) = \sqrt{x + 1}.\]

On admet que cette fonction est dérivable sur ce même intervalle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.\index{fonction croissante}
\item Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$ :

\[f(x) - x = \dfrac{-x^2 + x + 1}{\sqrt{x + 1} + x}.\]

\item En déduire que sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ l'équation $f(x) = x$ admet pour unique solution :\index{résolution d'équation}

\[\ell = \dfrac{1 +\sqrt 5}{2}.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 5$ et pour tout entier naturel $n$, par 

$u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ où $f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}.

On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie pour tout entier naturel $n$.\index{suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a \index{démonstration par récurrence}

\[1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n.\]

\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.\index{suite convergente}
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\ell = \dfrac{1 +\sqrt 5}{2}$.
\item On considère le script Python ci-dessous :\index{Python}

\begin{center}
{\sffamily
%\begin{tabular}{|>{\ttfamily}l >{\ttfamily}l|}\hline
\begin{tabular}{| l l |}\hline
1 &\textbf{from} math \textbf{import} *\\
2 &\textbf{def} seuil(n):\\
3 &\qquad u = 5\\
4 &\qquad i = $0$\\
5 &\qquad $\ell$ = (1 + \textbf{sqrt}(5))/2 \hspace*{1cm}\\
6 &\qquad \textbf{while abs}(u-$\ell$) >= 10**(-n):\\
7 &\qquad \qquad u = \textbf{sqrt}(u+1)\\
8 &\qquad \qquad i = i+1\\
9 &\qquad \textbf{return}(i)\\ \hline
\end{tabular}
}
\end{center}

\emph{On rappelle que la commande} \textbf{abs(x)} \emph{renvoie la valeur absolue de $x$}.

	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur renvoyée par {\ttfamily seuil} (2).
		\item La valeur renvoyée par {\ttfamily seuil} (4) est 9.
		
Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Centres étrangers J2 6 juin 2024

\newpage

%%%%%%%%%%   Asie J1 10 juin 2024
\phantomsection
\hypertarget{Asie1}{}
\label{Asie1}

\lfoot{\small{Asie - sujet 1}}
\rfoot{\small{10 juin 2024}}
\pagestyle{fancy}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Asie 10 juin 2024~\decofourright\\[7pt]  Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$, représentée par la courbe
$\mathcal{C}$ ci-dessous.

La droite $T$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $\dfrac52$.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,arrowsize=2pt 3,comma}
\begin{pspicture}(-0.5,-5.5)(5.5,5.5)
\multido{\n=0.0+0.5}{12}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](\n,-5.5)(\n,5.5)}
\multido{\n=0.0+0.1}{56}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=gray](\n,-5.5)(\n,5.5)}
\multido{\n=-5+1}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](0,\n)(5.5,\n)}
\multido{\n=-5.4+0.2}{55}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=gray](0,\n)(5.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(0,-5.5)(5.5,5.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{5.5}{4 x mul 2 sub 2.71828 x 1 sub exp div}
\psplotTangent{2.5}{2.5}{4 x mul 2 sub 2.71828 x 1 sub exp div}
\uput[r](0.25,-3){\cyan $\mathcal{C}$}\uput[u](0.25,3.8){$T$}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=2.2](2.5,1.785)\uput[ur](2.5,1.785){A}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~5].\index{lecture graphique}
\item Que semble présenter la courbe $\mathcal{C}$ au point A ?
\item La dérivée $f'$ et la dérivée seconde $f''$ de la fonction $f$ sont représentées par les courbes ci-dessous.

Associer à chacune de ces deux fonctions la courbe qui la représente.

Ce choix sera justifié.

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.2cm,arrowsize=2pt 3,comma}
\begin{pspicture}(-0.5,-26)(5.5,0.5)
\multido{\n=0.0+0.5}{12}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](\n,-26)(\n,0.5)}
\multido{\n=-26+2}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](0,\n)(5.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.5,-26)(5.5,0.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5.5}{4 x mul 10 sub 2.71828 x 1 sub exp div}
\uput[r](0.25,-20){\blue $\mathcal{C}_1$}
\end{pspicture}&
\psset{xunit=1cm,yunit=0.28cm,arrowsize=2pt 3,comma}
\begin{pspicture}(-0.5,-2)(5.5,17)
\multido{\n=0.0+0.5}{12}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](\n,-2)(\n,16)}
\multido{\n=-2+2}{10}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](0,\n)(5.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.5,-2)(5.5,17)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{5.5}{6 4 x mul sub 2.71828 x 1 sub exp div}
\uput[r](0.5,7){\red $\mathcal{C}_2$}
\end{pspicture}\\
Courbe $\mathcal{C}_1$	&Courbe $\mathcal{C}_2$\\
\end{tabularx}

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\item  La courbe $\mathcal{C}_3$ ci-contre peut-elle être la
représentation graphique sur $[0~;~+\infty[$ d'une primitive de la fonction $f$ ? \\
Justifier.\index{primitive}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm,arrowsize=2pt 3,comma}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.4)(5.5,7.5)
\multido{\n=0.0+0.5}{12}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](\n,-0.5)(\n,7.5)}
\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](0,\n)(5.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,-0.5)(5.5,7.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{5.5}{4 x mul 2 add 2.71828 x 1 sub exp div }
\uput[ur](1.5,5){\cyan $\mathcal{C}_3$}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on considère que la fonction $f$, définie et deux fois dérivable sur
$[0~; ~+\infty[$,
est définie par
\[f(x)  = (4x - 2)\e^{-x+1}.\]

On notera respectivement $f'$ et $f''$ la dérivée et la dérivée seconde de la fonction $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude de la fonction $f$
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f'(x) = (-4x + 6)\e^{-x+1}$.%\index{dérivée}
		\item Utiliser ce résultat pour déterminer le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur $[0~; ~+\infty[$. On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 0$.\index{tableau de variations}
		\item Étudier la convexité de la fonction $f$  et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de $f$.\index{convexité}
	\end{enumerate}
\item On considère une fonction $F$ définie sur $[0~; ~+\infty[$ par $F(x) = (ax + b)\e^{-x+1}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs des réels $a$ et $b$ telles que la fonction $F$ soit une primitive de la fonction $f$ sur $[0~; ~+\infty[$.\index{primitive}
		\item On admet que $F(x) = (-4x - 2)\e^{-x + 1}$ est une primitive de la fonction $f$ sur
	$[0~; ~+\infty[$.

En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près, de l'intégrale

\[I = \displaystyle\int_{\frac32}^8 f(x)\:\text{d}x.\]\index{intégrale}
	\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\item  Une municipalité a décidé de construire une piste de trottinette freestyle.

Le profil de cette piste est donné par la courbe représentative de la fonction $f$
sur l'intervalle $\left[\frac32~;~ 8\right]$.

L'unité de longueur est le mètre.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\psset{xunit=1.1cm,yunit=1.5cm,arrowsize=2pt 3,comma}
\begin{pspicture}(1.5,-0.5)(8,2.45)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=3,labelFontSize=\scriptstyle](1.5,0)(1.5,0)(8,2.45)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{1.5}{8}{4 x mul 2 sub 2.71828 x 1 sub exp div}
\multido{\n=1.5+0.5,\na=1.5+0.5}{14}{\uput[d](\n,0){\footnotesize \np{\n}}}
\uput[ur](1.5,2.45){D}
\end{pspicture}
\end{minipage}

	\begin{enumerate}
		\item  Donner une valeur approchée au cm près de la hauteur du point de départ D.
		\item  La municipalité a organisé un concours de graffiti pour orner le mur de profil de la piste. L'artiste retenue prévoit de couvrir environ 75\,\% de la surface du mur.

Sachant qu'une bombe aérosol de $150$~mL permet de couvrir une surface de $0,8$ m$^2$, déterminer le nombre de bombes qu'elle devra utiliser pour réaliser cette œuvre.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\medskip

\begin{minipage}{0.63\linewidth}\index{géométrie dans l'espace}
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk{} d'unité 1 cm, on considère les points : A$(3~;~-1~;~1)$ ; B$(4~;~-1~;~0)$ ;
 C$(0 ~;~3~;~2)$ ; D$(4~;~3~;~-2)$ et S$(2~;~1~;~4)$.

Dans cet exercice on souhaite montrer que SABDC est une pyramide à base ABDC trapézoïdale de sommet S, afin de calculer son volume.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.7,5)
\pspolygon(2.4,4.5)(0.2,1.5)(1.3,0.2)(4.3,2.7)(2.4,4.5)(1.3,0.2)%SBDCSD
\psline[linestyle=dashed](2.4,4.5)(1.4,2.6)(0.2,1.5)%SAB
\psline[linestyle=dashed](1.4,2.6)(4.3,2.7)%AC
\uput[d](1.4,2.6){A} \uput[ul](0.2,1.5){B} \uput[dr](4.3,2.7){C} \uput[d](1.3,0.2){D} \uput[u](2.4,4.5){S}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.\index{points alignés}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A, B, C et D sont coplanaires.\index{points coplanaires}
		\item Montrer que le quadrilatère ABDC est un trapèze de bases [AB] et [CD].\index{trapèze}

\emph{On rappelle qu'un trapèze est un quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles appelés bases}.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}(2~;~1~;~2)$ est un vecteur normal au plan (ABC).\index{vecteur normal}
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).\index{equation de plan@équation de plan}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par le point S et orthogonale au plan (ABC).\index{représentation paramétrique de droite}
		\item On note I le point d'intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC).

Montrer que le point I a pour coordonnées $\left(\dfrac23~;~\dfrac13~;~\dfrac83~\right)$, puis montrer que $\mathrm{SI} = \np[cm]{2}$.
		\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le projeté orthogonal H du point B sur la droite (CD) a pour coordonnées H$(3~;~3~;~-1)$ et montrer que HB $= 3\sqrt 2$~cm.\index{projeté orthogonal}
		\item Calculer la valeur exacte de l'aire du trapèze ABDC.\index{aire de trapèze}

On rappelle que l'aire d'un trapèze est donnée par la formule
\[\mathcal{A} = \dfrac{b + B}{2} \times h\]

où $b$ et $B$ sont les longueurs des bases du trapèze et $h$ sa hauteur.
		\end{enumerate}
\item Déterminer le volume de la pyramide SABDC.\index{volume de pyramide}

On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule

\begin{center}$V = \dfrac13 \times$  aire de la base $\times$ hauteur\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\medskip

Dans la revue \emph{Lancet Public Health}, les chercheurs affirment qu'au 11 mai 2020, 5,7\,\% des adultes français avaient déjà été infectés par la COVID 19.

{\small \emph{Source : https://www.thelancet.com/journals/lanpub/article/PIIS2468-2667 (21) 00064-5/fulltext}}

On se servira de cette donnée pour les parties A et B de cet exercice.\index{probabilités}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On prélève un individu dans la population française adulte au 11 mai 2020.

On note $I$ l'évènement : \og l'adulte a déjà été infecté par la COVID 19 \fg

Quelle est la probabilité que cet individu prélevé ait déjà été infecté par la COVID 19 ?
\item On prélève un échantillon de $100$ personnes de la population supposées choisies de façon indépendante les unes des autres.

On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes ayant déjà été infectées.
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.\index{loi binomiale}
		\item Calculer son espérance mathématique. Interpréter ce résultat dans le cadre de
l'exercice.\index{espérance}
		\item Quelle est la probabilité qu'il n'y ait aucune personne infectée dans l'échantillon ?

On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat.
		\item Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins $2$ personnes infectées dans l'échantillon ?

On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat.
		\item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $P(X \leqslant n) > 0,9$.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un test a été mis en place : celui-ci permet de déterminer (même longtemps après l'infection), si une personne a ou non déjà été infectée par la COVID 19.

Si le test est positif, cela signifie que la personne a déjà été infectée par la COVID 19.

Deux paramètres permettent de caractériser ce test: sa sensibilité et sa spécificité.

La \textbf{sensibilité} d'un test est la probabilité qu'il soit positif sachant que la personne a été infectée par la maladie. (II s'agit donc d'un vrai positif).

La \textbf{spécificité} d'un test est la probabilité que le test soit négatif sachant que la personne n'a pas été infectée par la maladie. (II s'agit donc d'un vrai négatif).

Le fabricant du test fournit les caractéristiques suivantes:

\begin{itemize}
\item Sa sensibilité est de 0,8.
\item Sa spécificité est de 0,99.
\end{itemize}

On prélève un individu soumis au test dans la population française adulte au 11 mai 2020.

On note $T$ l'évènement \og le test réalisé est positif \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre des probabilités ci-dessous avec les données de l'énoncé :

\begin{center}\index{arbre pondéré}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$I~~$}}
	{\TR{$T$}
	\TR{$\overline{T}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{I}~~$}}
	{\TR{$T$}
	\TR{$\overline{T}$}
	}
}
\end{center}

\item Montrer que $p(T) = \np{0,05503}$.
\item Quelle est la probabilité qu'un individu ait été infecté sachant que son test est positif ?\index{probabilité conditionnelle}

On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère un groupe d'une population d'un autre pays soumis au même test de sensibilité $0,8$ et de spécificité $0,99$.

Dans ce groupe la proportion d'individus ayant un test positif est de $29,44\,\%$.

On choisit au hasard un individu de ce groupe; quelle est la probabilité qu'il ait été infecté ?

\bigskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\medskip

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier
la réponse donnée.\index{Vrai-Faux}

Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation 1 }: Toute suite décroissante et minorée par 0 converge vers 0.\index{suite}
\item On considère une suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ telle que, pour tout entier $n$,on a \linebreak $u_n \leqslant  \dfrac{-9^n + 3^n}{7^n}$.\index{suite}

\textbf{Affirmation 2} : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n =- \infty$.

\item On considère la fonction suivante écrite en langage Python: \index{Python}

\begin{center}
\begin{tabular}{l l}
1 & \textbf{def} terme(N):\\
2&\qquad  U =1\\
3 &\qquad \textbf{for} i \textbf{in} range(N) : \hspace*{1cm}\\
4&\qquad \qquad  U = U+i\\
5&\qquad  \textbf{return} U\\
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Affirmation 3} : terme(4) renvoie la valeur 7.\index{algorithme}
\item Lors d'un concours, le gagnant a le choix entre deux prix :

\begin{itemize}
\item Prix A : il reçoit \np{1000} euros par jour pendant 15 jours ;
\item Prix B : il reçoit 1 euro le 1\up{er} jour, 2 euros le 2\up{e} jour, 4 euros le 3\up{e} jour et pendant 15 jours la somme reçue double chaque jour.
\end{itemize}

\textbf{Affirmation 4 }: La valeur du prix A est plus élevée que la valeur du prix B.\index{suite géométrique}

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier $n \geqslant 1$ par
\[v_n = \displaystyle\int_1^n \ln x\:\text{d}x.\]

\textbf{Affirmation 5 }: La suite $\left(v_n\right)$ est croissante.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%   fin Asie J1 10 juin 202
\newpage
%%%%%%%%%%   Asie J2 11 juin 2024
\phantomsection
\hypertarget{Asie2}{}
\label{Asie2}

%\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2}
\lfoot{\small{Asie - sujet 2}}
\rfoot{\small{11 juin 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Asie 11 juin 2024~\decofourright\\[7pt]  Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 1} \hfill 5,5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = x^2 - x \ln (x).\]\index{fonction logarithme népérien}

On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $]0 ~;~+ \infty[$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la fonction dérivée de la fonction $f'$.

\medskip

\textbf{Partie A :} Étude de la fonction $f$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.\index{limite de fonction}
\item Pour tout réel $x$ strictement positif, calculer $f'(x)$.%\index{dérivée}
\item Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif:

\[f''(x) = \dfrac{2x - 1}{x}.\]

\item Étudier les variations de la fonction $f'$ sur $]0 ~;~+ \infty[$, puis dresser le tableau des variations de la fonction $f'$ sur $]0 ~;~+ \infty[$.

On veillera à faire apparaître la valeur exacte de l'extremum de la fonction $f'$ sur $]0 ~;~+ \infty[$.\index{extremum}

Les limites de la fonction $f'$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.
\item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0 ~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :} Étude d'une fonction auxiliaire pour la résolution de l'équation $f(x) = x $

\medskip

On considère dans cette partie la fonction $g$ définie sur $]0 ~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = x - \ln (x).\]

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0 ~;~+ \infty[$, on note $g'$ sa dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel strictement positif, calculer $g'(x)$, puis dresser le tableau des variations de la fonction $g$.\index{variations de fonction}

Les limites de la fonction $g$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.
\item On admet que 1 est l'unique solution de l'équation $g(x) = 1$.\index{valeurs intermédiaires}

Résoudre, sur l'intervalle $]0 ~;~+ \infty[$, l'équation $f(x) = x$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C :} Étude d'une suite récurrente\index{suite récurrente}

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = \dfrac12$ et pour tout entier naturel $n$,

\[u_{n+1} = f\left(u_n\right) = u_n^2  - u_n \ln \left(u_n\right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$:\index{démonstration par récurrence}
\[\dfrac12  \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1.\]

\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ converge.\index{suite convergente}

On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et on admet que $\ell$ vérifie l'égalité $f(\ell) = \ell$.
\item Déterminer la valeur de $\ell$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 2} \hfill 5,5 points}

\medskip

\emph{Léa passe une bonne partie de ses journées à jouer à un jeu vidéo et s'intéresse aux chances de victoire de ses prochaines parties.}

\medskip

\emph{Elle estime que si elle vient de gagner une partie, elle gagne la suivante dans 70\,\% des cas.}

\medskip

\emph{Mais si elle vient de subir une défaite, d'après elle, la probabilité qu'elle gagne la suivante est de $0,2$.}

\emph{De plus, elle pense avoir autant de chance de gagner la première partie que de la perdre.}

\emph{On s'appuiera sur les affirmations de Léa pour répondre aux questions de cet exercice.}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit les évènements suivants: 

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $G_n$ : \og Léa gagne la $n$-ième partie de la journée \fg{} ;
\item $D_n$ : \og Léa perd la $n$-ième partie de la journée \fg.
\end{itemize}

\smallskip

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $g_n$ la probabilité de l'évènement $G_n$.

On a donc $g_1 = 0,5$.\index{probabilités}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la valeur de la probabilité conditionnelle $p_{G_1}\left(D_2\right)$ ?\index{probabilité conditionnelle}
\item Recopier et compléter l'arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour
les deux premières parties de la journée :\index{arbre pondéré}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3.25cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$G_1~$}\taput{\ldots}}
	{\TR{$G_2~$}\taput{\ldots}
	\TR{$D_2~$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$D_1~$}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$G_2~$}\taput{\ldots}
	\TR{$D_2~$}\tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}

\item Calculer $g_2$.
\item Soit $n$ un entier naturel non nul.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les $n$-ième et $(n + 1)$-ième parties de la journée.\index{arbre pondéré}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3.25cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$G_n~$}\taput{$g_n$}}
	{\TR{$G_{n+1}~$}\taput{\ldots}
	\TR{$D_{n+1}~$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$D_n~$}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$G_{n+1}~$}\taput{\ldots}
	\TR{$D_{n+1}~$}\tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul,
		\[g_{n+1} = 0,5g_n + 0,2.\]

	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $v_n = g_n - 0,4$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.
		
On précisera son premier terme et sa raison.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : 
		\[g_n = 0,1 \times  0,5^{n-1} + 0,4.\]
		
	\end{enumerate}
\item Étudier les variations de la suite $\left(g_n\right)$.
\item Donner, en justifiant, la limite de la suite $\left(g_n\right)$.\index{limite de suite}

Interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé.
\item Déterminer, par le calcul, le plus petit entier $n$ tel que $g_n - 0,4 \leqslant 0,001$.
\item Recopier et compléter les lignes 4, 5 et 6 de la fonction suivante, écrite en langage Python, afin qu'elle renvoie le plus petit rang à partir duquel les termes de la suite $\left(g_n\right)$ sont tous inférieurs ou égaux à $0,4 + e$, où $e$ est un nombre réel strictement positif.\index{algorithme}\index{Python}

\begin{center}
\fbox{
\sffamily
\begin{tabular}{l}
1 \quad \textbf{def} seuil(e) :\\
2 \quad \qquad g = 0.5\\
3 \quad \qquad n = 1\\
4 \quad \qquad \textbf{while} \ldots  :\\
5 \quad \qquad \qquad g = 0.5 * g + 0.2 \hspace*{1cm}\\
6 \quad \qquad \qquad n = \dots\\
7 \quad \qquad \textbf{return} (n)\\
\end{tabular}
}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}\index{Vrai-Faux}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\left(u_n\right)$ une suite définie pour tout entier naturel $n$ et vérifiant la relation suivante:

\begin{center}pour tout entier naturel $n,\: \dfrac12  < u_n \leqslant \dfrac{3n^2 + 4n + 7}{6n^2 + 1}$.\end{center}\index{suite convergente}

\textbf{Affirmation 1} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n =\dfrac12$.
\item Soit $h$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [-4~;~4].

La représentation graphique $\mathcal{C}_{h'}$ de sa fonction dérivée $h'$ est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.4cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-4,-5)(4.5,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2](0,0)(-4,-5)(4.5,10)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{4}{x  4 add  x 3 add mul x 1 add  mul x 3 sub mul  3 x sub mul x 3.85 sub  mul 90 div}
\uput[r](-3.2,2){\blue $\mathcal{C}_{h'}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Affirmation 2 :} La fonction $h$ est convexe sur $[-1~;~3]$.\index{convexité}
\item Le code d'un immeuble est composé de 4 chiffres (qui peuvent être identiques) suivis de deux lettres distinctes parmi A, B et C (exemple: 1232BA).\index{dénombrement}

\textbf{Affirmation 3 :} Il existe 20 634 codes qui contiennent au moins un 0.`

\item On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = x \ln x$.

\textbf{Affirmation 4 :}  La fonction $f$ est une solution sur $]0~;~ +\infty[$ de l'équation différentielle\index{equation différentielle@équation différentielle}

\[xy' - y = x.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

Dans un repère orthonormé \Oijk{} de l'espace, on considère le plan $(P)$ d'équation: 
\[(P) :\quad 2x + 2y - 3z + 1 = 0.\]\index{géométrie dans l'espace}

On considère les trois points A, B et C de coordonnées:
\begin{center}A(1~;~0~;~1) , B$(2~;~- 1~;~1)$ et C$( - 4~;~- 6~;~5)$ .\end{center}

Le but de cet exercice est d'étudier le rapport des aires entre un triangle et son projeté orthogonal dans un plan.

\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item Pour chacun des points A, B et C, vérifier s'il appartient au plan $(P)$.
\item Montrer que le point C$'(0~;~- 2~;~- 1)$ est le projeté orthogonal du point C sur le plan $(P)$.\index{projeté orthogonal}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).\index{représentation paramétrique de droite}
\item On admet l'existence d'un unique point H vérifiant les deux conditions 

$\left\{\begin{array}{l}
\text{H} \in \text{(AB)}\\
\text{(AB) et (HC) sont orthogonales}.
\end{array}\right.$

Déterminer les coordonnées du point H.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.8,3.3)
\pspolygon(0,0)(5.5,0)(7.8,3.2)(2.3,3.2)%parallélo
\pspolygon(2.3,0.6)(4.7,1.8)(2.6,2.8)%ABC
\uput[d](2.3,0.6){A} \uput[r](4.7,1.8){B} \uput[ur](2.6,2.8){C}
\psline[linestyle=dashed](2.3,0.6)(2.6,1.8)(2.6,2.8)%AC'C
\psline[linestyle=dashed](2.6,1.8)(4.7,1.8)%C'B
\uput[ur](2.6,1.8){C$'$}\rput(5.4,0.2){$(P)$}\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que les coordonnées du vecteur $\vect{\text{HC}}$ sont : $\vect{\text{HC}}\begin{pmatrix}- \frac{11}{2}\\[4pt]- \frac{11}{2}\\[4pt]4\end{pmatrix}$.%\index{coordonnées}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de $\left\|\vect{\text{HC}}\right\|$.\index{norme de vecteur}
\item Soit $S$ l'aire du triangle ABC. Déterminer la valeur exacte de $S$.\index{aire de triangle}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On admet que HC$'= \sqrt{\dfrac{17}{2}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\alpha = \widehat{\text{CHC}'}$. Déterminer la valeur de $\cos(\alpha)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les droites (C$'$H) et (AB) sont perpendiculaires.\index{droites perpendiculaires}
		\item Calculer $S'$ l'aire du triangle ABC$'$, on donnera la valeur exacte.\index{aire de triangle}
		\item Donner une relation entre $S,\: S'$ et $\cos (\alpha)$.\index{cosinus}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%   fin Asie J2 11 juin 2024

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%% début de Métropole jour 1 19 juin 2024 %%%%%
\phantomsection
\hypertarget{Metropole1}{}
\label{Metropole1}

\lfoot{\small{Métropole - sujet 1}}
\rfoot{\small{19 juin 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}


\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole 19 juin 2024~\decofourright\\[7pt] Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 1} \hfill 4points}
\index{Vrai-Faux}

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
}
\begin{enumerate}
	\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :\quad $f(x)=5 x \e^{-x}$.\\
	On note $C_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.\index{fonction exponentielle}

	\smallskip

	\textbf{Affirmation 1 :}\\
	L'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe $C_{f}$.

	\smallskip

	\textbf{Affirmation 2 :}\\
	La fonction $f$ est solution sur $\R$ de l'équation différentielle $(E)$ : $y'+y=5 \e^{-x}$.\index{equation différentielle@équation différentielle}

	\smallskip

	\item On considère les suites $\left(u_{n}\right)$, $\left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$, telles que, pour tout entier naturel $n$ :\index{suite}
	
		\[	u_{n} \leqslant v_{n} \leqslant w_{n}.\]

	De plus, la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $-1$ et la suite $\left(w_{n}\right)$ converge vers 1.\index{suite convergente}

	\smallskip
	
	\textbf{Affirmation 3 :}\\
	La suite $\left(v_{n}\right)$ converge vers un nombre réel $\ell$ appartenant à l'intervalle $[-1 ; 1]$.

	\smallskip
	
	On suppose de plus que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante et que la suite $\left(w_{n}\right)$ est décroissante.

	\textbf{Affirmation 4 :}\\
	Pour tout entier naturel $n$, on a alors : \quad $u_{0} \leqslant v_{n} \leqslant w_{0}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Une agence de marketing a étudié la satisfaction des clients concernant le service clientèle à l'occasion de l'achat d'un téléviseur. Ces achats ont été réalisés soit sur internet, soit dans une chaîne de magasins d'électroménager, soit dans une enseigne de grandes surfaces.\index{probabilités}

Les achats sur internet représentent $60 \%$ des ventes, les achats en magasin d'électroménager $30 \%$ des ventes et ceux en grandes surfaces $10 \%$ des ventes.

Une enquête montre que la proportion des clients satisfaits du service clientèle est de :
\begin{itemize}
	\item $75 \%$ pour les clients sur internet ;
	\item $90 \%$ pour les clients en magasin d'électroménager ;
	\item $80 \%$ pour les clients en grande surface.
\end{itemize}

On choisit au hasard un client ayant acheté le modèle de téléviseur concerné.\\

On définit les événements suivants :

\begin{itemize}
	\item $I$ : \og le client a effectué son achat sur internet\fg{};
	\item $M$ : \og le client a effectué son achat en magasin d'électroménager\fg{};
	\item $G$ : \og le client a effectué son achat en grande surface\fg{};
	\item $S$ : \og le client est satisfait du service clientèle\fg{}.
\end{itemize}

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
Si $A$ est un événement quelconque, on notera $\overline{A}$ son événement contraire et $P(A)$ sa probabilité.

\begin{enumerate}
	\item Reproduire et compléter l'arbre ci-contre.\index{arbre pondéré}

	\item Calculer la probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle.

	\item Démontrer que $P(S)=0,8$.

	\item Un client est satisfait du service clientèle. Quelle est la probabilité qu'il ait effectué son achat sur internet ? On donnera un résultat arrondi à $10^{-3}$ près.\index{probabilité conditionnelle}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{flushright}
%\bigskip
{%\small
\psset{levelsep=2cm,nodesepB=4pt, treesep=8mm}%,nrot=:U
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$I$}\naput{$\ldots$}}
	                        {
	                        \TR{$S$}\naput{$\ldots$}
			                \TR{$\overline S$}\nbput{$\ldots$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$M$}\naput{$\ldots$}}
	                        {
	                        \TR{$S$}\naput{$\ldots$}
			                \TR{$\overline S$}\nbput{$\ldots$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$G$}\nbput{$\ldots$}}
	                        {
	                        \TR{$S$}\naput{$\ldots$}
			                \TR{$\overline S$}\nbput{$\ldots$}
	                        }	                        
      }
}% fin du \small
%\bigskip
\end{flushright}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{4}

	\item Pour réaliser l'étude, l'agence doit contacter chaque jour 30 clients parmi les acheteurs du téléviseur. On suppose que le nombre de clients est suffisamment important pour assimiler le choix des 30 clients à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 30 clients, associe le nombre de clients satisfaits du service clientèle.\index{variable aléatoire}

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.\index{loi binomiale}
		\item Déterminer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu'au moins 25 clients soient satisfaits dans un échantillon de 30 clients contactés sur une même journée.
	\end{enumerate}

	\item En résolvant une inéquation, déterminer la taille minimale de l'échantillon de clients à contacter pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux ne soit pas satisfait soit supérieure à $0,99$.

	\item Dans les deux questions \textbf{a.} et \textbf{b.} qui suivent, on ne s'intéresse qu'aux seuls achats sur internet.\\
	Lorsqu'une commande de téléviseur est passée par un client, on considère que le temps de livraison du téléviseur est modélisé par une variable aléatoire $T$ égale à la somme de deux variables aléatoires $T_{1}$ et $T_{2}$.\index{variable aléatoire!somme}\index{variable aléatoire}

	La variable aléatoire $T_{1}$ modélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis un entrepôt de stockage vers une plateforme de distribution. La variable aléatoire $T_{2}$ modélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis cette plateforme jusqu'au domicile du client.

	On admet que les variables aléatoires $T_{1}$ et $T_{2}$ sont indépendantes, et on donne :
	\begin{itemize}
		\item L'espérance $E\left(T_{1}\right)=4$ et la variance $V\left(T_{1}\right)=2$;
		\item L'espérance $E\left(T_{2}\right)=3$ et la variance $V\left(T_{2}\right)=1$.
	\end{itemize}

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'espérance $E(T)$ et la variance $V(T)$ de la variable aléatoire $T$.\index{espérance}\index{variance}
		\item Un client passe une commande de téléviseur sur internet. Justifier que la probabilité qu'il reçoive son téléviseur entre 5 et 9 jours après sa commande est supérieure ou égale à $\dfrac{2}{3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{minipage}{0.57\linewidth}
L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk{}.\index{géométrie dans l'espace}

On considère les points A$(5~;~5~;~0)$, B$(0~;~5~;~0)$, C$(0~;~0~;~10)$ et D$\left(0~;~0 ~;~-\dfrac{5}{2}\right)$.

\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item Montrer que $\vect{n_{1}}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (CAD).\index{vecteur normal}

		\item En déduire que le plan (CAD) a pour équation cartésienne : \quad $x-y=0$.\index{equation de plan@équation de plan}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{flushright}
\scalebox{0.8}{
\psset{unit=0.6cm,radius=2pt}
\def\xmin {-1}   \def\xmax {9} \def\ymin {-3}   \def\ymax {11}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none,ticksize=0pt 0pt](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1) 
\uput[d](1,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,1){$\vect{k}$} 
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(0.75,0.6) \uput[u](0.75,0.6){$\vect{\jmath}$}
\Cnode*(7.5,2){A} \Cnode*(2.5,2){B} \Cnode*(0,10){C} 
\Cnode*(0,-2.5){D} \Cnode*(4,1){H} \Cnode*(0,0){O}
\uput[ur](A){A} \uput[170](B){B} \uput[l](C){C} 
\uput[l](D){D} \uput[d](H){H} \uput[dr](O){O}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!50](A)(C)(H)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!50](C)(H)(B)
\psline[linestyle = dashed](A)(B)
\ncline[linewidth=1.25pt,nodesepA=-1cm]{O}{B}
\Cnode*[radius=0pt](5.375,4.3){M}
\Cnode*[radius=0pt](6.25,5){N}
\ncline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{B}{M}
\ncline[linewidth=1.25pt]{M}{N}
\end{pspicture}
}
\end{flushright}
\end{minipage}

\begin{enumerate}%[resume]
\setcounter{enumi}{1}
	\item On considère la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\begin{cases}x=\dfrac{5}{2} t \\ y=5-\dfrac{5}{2} t \\ z=0\end{cases}$ où $t \in \R$.\index{représentation paramétrique de droite}

	\begin{enumerate}
		\item On admet que la droite $\mathcal{D}$ et le plan (CAD) sont sécants en un point H. Justifier que les coordonnées de H sont $\left(\dfrac{5}{2}~;~\dfrac{5}{2}~;~0\right)$.

		\item Démontrer que le point H est le projeté orthogonal de B sur le plan (CAD).\index{projeté orthogonal}
	\end{enumerate}

	\item \begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle ABH est rectangle en H.

		\item En déduire que l'aire du triangle ABH est égale à $\dfrac{25}{4}$.\index{aire de triangle}
	\end{enumerate}

	\item \begin{enumerate}
		\item Démontrer que (CO) est la hauteur du tétraèdre ABCH issue de C.

		\item En déduire le volume du tétraèdre ABCH.\index{volume de tétraèdre}

		\emph{On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par : $V=\dfrac{1}{3} \mathcal{B }h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.}
	\end{enumerate}

	\item On admet que le triangle ABC est rectangle en B. Déduire des questions précédentes la distance du point H au plan (ABC).\index{distance d'un point à un plan}
\end{enumerate}

\bigskip


\textbf{\large\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A : étude de la fonction $f$}

\medskip

La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0 ~;~+\infty[$ par : $f(x)=x-2+\dfrac{1}{2} \ln x$, où ln désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $] 0 ~;~ +\infty[$, on note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.\index{fonction logarithme népérien}

\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item Déterminer, en justifiant, les limites de $f$ en 0 et en $+\infty$.\index{limite de fonction}

		\item Montrer que pour tout $x$ appartenant à $] 0 ~;~+\infty[$, on a :\quad $f'(x)=\dfrac{2 x+1}{2 x}$.

		\item Étudier le sens de variation de $f$ sur $] 0 ~;~+\infty[$.\index{variations de fonction}

		\item Étudier la convexité de $f$ sur $] 0~;~ +\infty[$.\index{convexité}
	\end{enumerate}

	\item \begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet dans $] 0 ~;~ +\infty[$ une solution unique qu'on notera $\alpha$ et justifier que $\alpha$ appartient à l'intervalle $[1~;~2]$.\index{résolution d'équation}

		\item Déterminer le signe de $f(x)$ pour $x \in] 0 ~;~ +\infty[$.

		\item Montrer que $\ln (\alpha)=2(2-\alpha)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : étude de la fonction $g$.}

	\smallskip

La fonction $g$ est définie sur $] 0~;~1]$ par : \quad $g(x)=-\dfrac{7}{8} x^{2}+x-\dfrac{1}{4} x^{2} \ln x$.\index{fonction logarithme népérien}

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $] 0~;~1]$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
	\item Calculer $g'(x)$ pour $x \in ] 0~;~1]$ puis vérifier que $g'(x)=x f\left(\dfrac{1}{x}\right)$.

	\item \begin{enumerate}
		\item Justifier que pour $x$ appartenant à l'intervalle $\left] 0~;~\dfrac{1}{\alpha}\right[$, on a $f\left(\dfrac{1}{x}\right)>0$.

		\item On admet le tableau de signes suivant :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.7}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
$\begin{array}{|c | l *{4}{c} |} 
\hline
x  & 0 & \esp &  \frac{1}{\alpha} & \esp  & 1 \\
\hline
\text{Signe de }f\left (\frac{1}{x}\right ) & \vline\;\vline  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &    \\
\hline
\end{array}$
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}

		En déduire le tableau de variations de $g$ sur l'intervalle $] 0~;~1]$. Les images et les limites ne sont pas demandées.\index{variations de fonction}
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : un calcul d'aire.}

\smallskip

On a représenté sur le graphique ci-dessous :

\begin{itemize}
\item La courbe $\mathcal{C}_{g}$ de la fonction $g$;

\item La parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=-\dfrac{7}{8} x^{2}+x$ sur l'intervalle $]0~;~1]$.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=10cm}
\def\xmin {-0.1}   \def\xmax {1.1}
\def\ymin {-0.1}   \def\ymax {0.5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1,gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(11,5)
\psaxes[arrowsize=3pt 3,ticksize=-2pt 0pt,Dx=0.1,Dy=0.1, labels=none]{->}(0,0)(0,0)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){O}
\def\f{x -7 x mul 8 div 1 add mul}% définition de la fonction f
\def\g{x -7 x mul 8 div 1 add x x ln mul 4 div sub mul}% définition de la fonction g
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchcolor=red]
{\psplot[plotpoints=4000]{0.579}{1}{\g}
\psplot[plotpoints=4000]{1}{0.579}{\f}
\closepath
}
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue]{0}{1}{\f} \uput[d](0.75,0.258){\blue $\mathcal{P}$}
\psplot[plotpoints=4000]{0.01}{1}{\g} \uput[u](0.75,0.298){$\mathcal{C}_g$} 
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.125) \uput[d](0.1,0){$0,1$} 
\uput[d](1,0){$1$} \uput[l](0,0.1){$0,1$} 
\psline[linestyle=dashed](0.579,0)(0.579,0.3315) \uput[d](0.578,0){$\dfrac{1}{\alpha}$}
\end{pspicture}
\end{center}

On souhaite calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine hachuré compris entre les courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{P}$, et les droites d'équations $x=\dfrac{1}{\alpha}$ et $x=1$.\index{calcul d'aire}

On rappelle que $\ln (\alpha)=2(2-\alpha)$.

\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item Justifier la position relative des courbes $C_{g}$ et $\mathcal{P}$ sur l'intervalle $\left.] 0~;~1\right]$.

		\item Démontrer l'égalité :\index{intégrale}

\[\int_{\frac{1}{\alpha}}^{1} x^{2} \ln x \mathrm{d} x=\dfrac{-\alpha^{3}-6 \alpha+13}{9 \alpha^{3}}\]
	\end{enumerate}

	\item En déduire l'expression en fonction de $\alpha$ de l'aire $\mathcal{A}$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%% fin de Métropole jour 1 19 juin 2024 %%%%%

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%% début de Métropole jour 2 20 juin 2024 %%%%%
\phantomsection
\hypertarget{Metropole2}{}
\label{Metropole2}

\lfoot{\small{Métropole - sujet 2}}
\rfoot{\small{20 juin 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}


\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole 20 juin 2024~\decofourright\\[7pt] Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
\index{probabilités}

\medskip

La directrice d'une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l'examen de fin d'étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen.

\smallskip

Pour cette étude, on demande aux étudiants à l'issue de l'examen de répondre individuellement à la question : \og Pensez-vous avoir réussi l'examen ? \fg. Seules les réponses \og oui \fg{} ou \og non \fg{} sont possibles, et on observe que $91,7\,\%$ des étudiants interrogés ont répondu \og oui \fg.

Suite à la publication des résultats à l'examen, on découvre que :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item 65\,\% des étudiants ayant échoué ont répondu \og non \fg{} ;
\item 98\,\% des étudiants ayant réussi ont répondu \og oui \fg.
\end{itemize}

On interroge au hasard un étudiant qui a passé l'examen.

\smallskip

On note $R$ l'évènement \og l'étudiant a réussi l'examen\fg{} et $Q$ l'évènement \og l'étudiant a répondu \og oui \fg{} à la question \fg.

Pour un évènement $A$ quelconque, on note $P(A)$ sa probabilité et $\overline{A}$ son évènement contraire.

Dans tout l'exercice, les probabilités sont, si besoin, arrondies à $10^{-3}$ près.

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Préciser les valeurs des probabilités $P(Q)$ et $P_{\overline{R}}\left(\overline{Q}\right)$.
\item On note $x$ la probabilité que l'étudiant interrogé ait réussi l'examen.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre.\index{arbre pondéré}
		\item Montrer que $x = 0,9$.
	\end{enumerate}	
\item L'étudiant interrogé a répondu \og oui\fg à la question.

Quelle est la probabilité qu'il ait réussi l'examen ?\index{probabilité conditionnelle}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\begin{center}
\psset{levelsep=2cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm}%,nrot=:U
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
       {\TR{}}
       { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$R$}\naput{$x$}}
	                        {\TR{$Q$}\naput{$\ldots$}
			                \TR{$\overline Q$}\nbput{$\ldots$}}
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{R}$}\nbput{$\ldots$}}
	                        {\TR{$Q$}\naput{$\ldots$}
			                \TR{$\overline Q$}\nbput{$\ldots$}}}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item La note obtenue par un étudiant interrogé au hasard est un nombre entier entre 0 et 20. On suppose qu'elle est modélisée par une variable aléatoire $N$ qui suit la loi binomiale de paramètres $(20~;~0,615)$.\index{variable aléatoire} \index{loi binomiale}

La directrice souhaite attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu les meilleurs résultats.

À partir de quelle note doit-elle attribuer les récompenses pour que 65\,\% des étudiants soient récompensés ?
\item On interroge au hasard dix étudiants.

Les variables aléatoires $N_1,\:N_2,\: \ldots ,\: N_{10}$ modélisent la note sur 20 obtenue à l'examen par chacun d'entre eux. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale de paramètres $(20~;~0,615)$.

Soit $S$ la variable définie par $S = N_1 + N_2 + \ldots + N_{10}$.\index{variable aléatoire!somme}

Calculer l'espérance $E(S)$ et la variance $V(S)$ de la variable aléatoire $S$. \index{espérance} \index{variance}
\item On considère la variable aléatoire $M = \dfrac{S}{10}$.
	\begin{enumerate}
		\item Que modélise cette variable aléatoire $M$ dans le contexte de l'exercice ? 
		\item Justifier que $E(M) =12,3$ et $V(M) = \np{0,47355}$.
		\item À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, justifier l'affirmation ci-dessous.\index{inégalité de Bienaymé-Tchebychev}
		
\og La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement
comprise entre $10,3$ et $14,3$ est d'au moins $80\,\%$ \fg.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes}

\smallskip

Alain possède une piscine qui contient 50 m$^3$ d'eau. On rappelle que 1m$^3 = \np{1000}~$L.

Pour désinfecter l'eau, il doit ajouter du chlore.

Le taux de chlore dans l'eau, exprimé en mg. L$^{-1}$, est défini comme la masse de chlore par unité de volume d'eau. Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre 1 et 3 mg.L$^{-1}$.

Sous l'action du milieu ambiant, notamment des ultraviolets, le chlore se décompose et disparaît peu à peu.

Alain réalise certains jours, à heure fixe, des mesures avec un appareil qui permet une précision à 0,01 mg.L$^{-1}$.

Le mercredi 19 juin, il mesure un taux de chlore de $0,70$ mg. L$^{-1}$.

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'un modèle discret}

\medskip

Pour maintenir le taux de chlore dans sa piscine, Alain décide, à partir du jeudi 20 juin, d'ajouter chaque jour une quantité de 15 g de chlore. On admet que ce chlore se mélange uniformément dans l'eau de la piscine.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que cet ajout de chlore fait augmenter le taux de 0,3 mg. L$^{-1}$.
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ le taux de chlore, en mg. L$^{-1}$, obtenu avec ce nouveau protocole $n$ jours après le mercredi 19 juin. Ainsi $v_0 = 0,7$.\index{suite}

On admet que pour tout entier naturel $n$,
\[v_{n+1} = 0,92v_n + 0,3.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n,\: v_n \leqslant  v_{n+1} \leqslant 4$.\index{démonstration par récurrence}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente et calculer sa limite.\index{suite convergente}
	\end{enumerate}
\item À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation des piscinistes ? Justifier la réponse,
\end{enumerate}

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item Reproduire et compléter l'algorithme ci-contre écrit en langage Python pour que la fonction \texttt{alerte\_chlore} renvoie, lorsqu'il existe, le plus petit entier $n$ tel que $v_n > s$.\index{Python}
\item Quelle valeur obtient-on en saisissant l'instruction \texttt{alerte\_chlore(3)} ?

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.32\linewidth}
{\ttfamily
\begin{tabular}{|l|}\hline
\pmb{def} alerte\_chlore(s) :\\
\quad n=0\\
\quad v=0.7\\
\quad \pmb{while} \makebox[2cm]{\hrulefill} :\\
\quad \qquad n= \makebox[1cm]{\hrulefill}\\
\quad \qquad v= \makebox[1cm]{\hrulefill}\\
\quad \pmb{return} n\\ \hline
\end{tabular}
}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'un modèle continu}

\medskip

Alain décide de faire appel à un bureau d'études spécialisées. Celui-ci utilise un modèle continu pour décrire le taux de chlore dans la piscine.

Dans ce modèle, pour une durée $x$ (en jours écoulés à compter du mercredi 19 juin), $f(x)$ représente le taux de chlore, en mg. L$^{-1}$, dans la piscine.

On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle \index{equation différentielle@équation différentielle}

\[(E): \quad y'= - 0,08y + \dfrac{q}{50}\]
où $q$ est la quantité de chlore, en gramme, rajoutée dans la piscine chaque jour.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $f$ est de la forme $f(x) = C\e-^{0,08x} + \dfrac{q}{4}$ où $C$ est une constante réelle.\index{fonction exponentielle}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $q$ la limite de $f$ en $+\infty$.
		\item On rappelle que le taux de chlore observé le mercredi 19 juin est égal à 0,7 mg.L$^{-1}$.
		
On souhaite que le taux de chlore se stabilise à long terme autour de 2 mg.L$^{-1}$.

Déterminer les valeurs de $C$ et $q$ afin que ces deux conditions soient respectées.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $]-2~;~+\infty[$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ et sa tangente $T$ au point B d'abscisse $-1$.

On précise que la droite $T$ passe par le point A$(0~;~-1)$.

\begin{center}
\psset{xunit=4cm,yunit=2cm}
\def\xmin {-1.9}   \def\xmax {1.3}
\def\ymin {-3.4}   \def\ymax {1.3}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[xunit=0.8cm,yunit=1cm,subgriddiv=1,gridlabels=0, gridcolor=lightgray](-10,-7)(7,3)
\psaxes[arrowsize=3pt 3,ticksize=-2pt 2pt,Dx=0.2,Dy=0.5, labels=none]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psdots(-1,-2)(0,-1) 
\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](-1,-2){B} \uput[dr](0,-1){A} 
\uput[d](0.2,0){$0,2$} \uput[d](1,0){$1$} 
\uput[l](0,0.5){$0,5$} \uput[l](0,1){$1$} 
\def\f{x x 2 add mul 1 sub x 2 add ln add}% définition de la fonction f
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f}
\psplot[plotpoints=4000]{\xmin}{\xmax}{x 1 sub}
\rput(0.3,0.8){\blue $\mathcal{C}_f$}
\rput(1.1,0.3){$T$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A : exploitation du graphique}\end{center}

 À l'aide du graphique, répondre aux questions ci-dessous.\index{lecture graphique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser $f(-1)$ et $f'(-1)$.
\item La fonction $f$ est-elle convexe sur son ensemble de définition ? Justifier.\index{convexité}
\item Conjecturer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ et donner une valeur arrondie à $10^{-1}$ près d'une solution.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B : étude de la fonction }$\boldsymbol{f}$
\end{center}

On considère que la fonction $f$ est définie sur $]-2~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = x^2 + 2x - 1 + \ln (x + 2),\]
 où ln désigne la fonction logarithme népérien.\index{fonction logarithme népérien}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer par le calcul la limite de la fonction $f$ en $-2$.\index{limite de fonction}

Interpréter graphiquement ce résultat.

On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$.
\item Montrer que pour tout $x > -2,\: f'(x) = \dfrac{2x^2 + 6x + 5}{x + 2}$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $]-2~;~ +\infty[$ puis dresser son tableau de variations complet.\index{variations de fonction}
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-2~;~ +\infty[$ et donner une valeur arrondie de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. \index{résolution d'équation}
\item En déduire le signe de $f(x)$ sur $]-2~;~ +\infty[$.
\item  Montrer que $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d'inflexion et déterminer son abscisse.\index{point d'inflexion}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie C : une distance minimale}\end{center}

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
Soit $g$ la fonction définie sur $]-2~;~ +\infty[$ par
\[g(x) = \ln (x + 2).\]

On note $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un
repère orthonormé \Oij, représentée ci- contre.

Soit $M$ un point de $\mathcal{C}_g$ d'abscisse $x$.

Le but de cette partie est de déterminer pour quelle valeur de $x$ la distance J$M$ est minimale.

On considère la fonction $h$ définie sur 

$]-2~;~ +\infty[$ par $h(x) = \text{J}M^2$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\psset{unit=4cm,comma, arrowsize=3pt 3}
\def\xmin{-0.39}   \def\xmax{1.19} \def\ymin{-0.19}   \def\ymax{1.19}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=0.8cm,subgriddiv=1,gridlabels=0, gridcolor=lightgray](-2,-1)(6,6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,ticksize=-2pt 2pt,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psdots(0,1)(0.3,0.833)(1,0)(0.3,0)
 \psline(0,1)(0.3,0.833)
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.833)(0.3,0)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](0,1){J} \uput[ur](1,0){I} 
\uput[u](0.3,0.833){$M$} \uput[d](0.3,0){$x$}
\def\f{x 2 add ln}% définition de la fonction g
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f}
\uput[ul](-0.2,0.6){\blue $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout $x > - 2$, on a : $h(x) = x^2  + [\ln(x + 2)- 1]^2$.
\item On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $]-2~;~ +\infty[$ et on note $h'$ sa fonction dérivée.

On admet également que pour tout réel $x > -2$, 

\[h'(x) = \dfrac{2f(x)}{x + 2}\]
où $f$ est la fonction étudiée en partie B.
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variations de $h$ sur $]-2~;~ +\infty[$. Les limites ne sont pas demandées.\index{variations de fonction}
		\item En déduire que la valeur de $x$ pour laquelle la distance JM$ $ est minimale est $\alpha$ où $\alpha$ est le nombre réel défini à la question 4 de la partie B.
	\end{enumerate}
\item On notera $M_a$ le point de $\mathcal{C}_g$ d'abscisse $\alpha$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\ln (\alpha + 2) = 1 - 2\alpha - \alpha^2.$
		\item En déduire que la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point $M_a$ et la droite (J$M_{\alpha}$) sont perpendiculaires.\index{droites perpendiculaires}
		
		On pourra utiliser le fait que, dans un repère orthonormé, deux droites sont
perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à $- 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}
\index{Vrai-Faux}

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\
Chaque réponse doit être justifiée.\\
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points suivants: \index{géométrie dans l'espace}

\begin{center}A(2~;~0~;~0),\quad B(0~;~4~;~3),\quad C(4~;~4~;~1),\quad D(0~;~0~;~4)\quad et\quad  H$(-1~;~I~;~2)$.\end{center}

\medskip

\textbf{Affirmation 1} : les points A, C et D définissent un plan $\mathcal P$ d'équation $8x - 5y + 4z - 16 = 0$.\index{equation de plan@équation de plan}

\medskip

\textbf{Affirmation 2} : les points A, B, C et D sont coplanaires.\index{points coplanaires}

\medskip

\textbf{Affirmation 3} : les droites (AC) et (BH) sont sécantes.\index{droites sécantes}

\medskip

On admet que le plan (ABC) a pour équation cartésienne $x - y + 2z - 2 = 0$.

\medskip

\textbf{Affirmation 4} : le point H est le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).\index{projeté orthogonal}
%%%%%%%%%%%%%%%%% fin de Métropole jour 2 20 juin 2024
\newpage
%%%%%%%%%%%  Métropole jour 2 dévoilé 20 juin 2024 composé par quelques élèves
\phantomsection
\hypertarget{Metropole2d}{}
\label{Metropole2d}

\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2 (dévoilé)}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{20 juin 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole 20 juin 2024~J2 (dévoilé)\decofourright\\[7pt] Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une société de vente en ligne procède à une étude du niveau de fidélité de ses clients. Elle définit pour cela comme \og régulier\fg{} un client qui a fait des achats chaque année depuis trois ans.

Elle constate que 60\,\% de ses clients sont des clients réguliers, et que parmi eux, 47\,\% ont acheté la carte de fidélité.

Par ailleurs, parmi l'ensemble de tous les clients de la société, 38\,\% ont acheté la carte de fidélité.

\begin{list}{\textbullet}{On interroge au hasard un client et on considère les évènements suivants:}
\item $R$ : \og le client est un client régulier\fg{} ;
\item $F$ : \og le client a acheté la carte de fidélité \fg.
\end{list}
\index{probabilités}
%\smallskip

Pour un évènement $E$ quelconque, on note $\overline{E}$ son évènement contraire et $P(E)$ sa probabilité.

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~\\[-25pt]

\begin{minipage}{0,65\linewidth}
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire l'arbre ci-contre et compléter les pointillés.\index{arbre pondéré}
		\item Calculer la probabilité que le client interrogé soit un  client régulier et qu'il ait acheté la carte de fidélité.
		\item Déterminer la probabilité que le client ait acheté la carte de fidélité sachant que ce n'est pas un client régulier.\index{probabilité conditionnelle}
		\item Le directeur du service des ventes affirme que parmi les clients qui ont acheté la carte de fidélité, plus de 80\,\% sont des clients réguliers. 
		
Cette affirmation est-elle exacte?
Justifier.
\end{enumerate}\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=1.8cm,treesep=1cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$R~$}\taput{\ldots}}
	{
	\TR{$F$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{F}$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{R~}$}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$F$}
	\TR{$\overline{F}$} 
	}
}
\end{center}
\end{minipage}

\item On choisit un échantillon de $20$ clients de la société sélectionnés de manière indépendante. On suppose que ce choix s'assimile à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de $20$ clients associe le nombre de clients ayant acheté la carte de fidélité parmi eux. On rappelle que $P(F) = 0,38$.

Les valeurs des probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$ près.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire $X$ ? Justifier.\index{loi binomiale}
		\item Déterminer la probabilité qu'au moins 5 clients aient acheté la carte de fidélité dans un échantillon de $20$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La société demande à un institut de sondage de faire une enquête sur le profil de ses clients réguliers. L'institut a élaboré un questionnaire en ligne constitué d'un nombre variable de questions.

On choisit au hasard un échantillon de \np{1000} clients réguliers, à qui le questionnaire est proposé. On considère que ces \np{1000} clients répondent.

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item Pour les remercier, la société offre un bon d'achat à chacun des clients de l'échantillon. Le montant de ce bon d'achat dépend du nombre de questions posées au client.
\item La société souhaite récompenser particulièrement les clients de l'échantillon qui ont acheté une carte de fidélité et, en plus du bon d'achat, offre à chacun d'eux une prime d'un montant de $50$ euros versée sur la carte de fidélité.
\end{itemize}

On note $Y_1$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de \np{1000} clients réguliers, associe le total, en euros, des montants du bon d'achat des \np{1000}~clients.

On admet que son espérance $E\left(Y_1\right)$ est égale à \np{30000} et que sa variance $V\left(Y_1\right)$ est égale à \np{100000}.

On note $X_2$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de \np{1000} clients réguliers, associe le nombre de clients ayant acheté la carte de fidélité parmi eux, et on note $Y_2$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de \np{1000} clients, associe le total, en euros, des montants de la prime de fidélité versée.

On admet que $X_2$ suit la loi binomiale de paramètres \np{1000} et 0,47 et que $Y_2 = 50X_2$.

\medskip


\begin{enumerate}
\item Calculer l'espérance $E\left(X_2\right)$ de la variable $X_2$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

On note $Y = Y_1 + Y_2$ la variable aléatoire égale au total général, en euros, des montants offerts (bon d'achat et prime de fidélité) aux \np{1000} clients. On admet que les variables aléatoires $Y_1$ et $Y_2$ sont indépendantes.

On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{Y}{\np{1000}}$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Préciser ce que modélise la variable $Z$ dans le contexte de l'exercice.

Vérifier que son espérance $E(Z)$ est égale à $53,5$ et que sa variance $V(Z)$ est égale à \np{0,72275}.
\item À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, vérifier que la probabilité que $Z$ soit strictement compris entre $51,7$ euros et $55,3$ euros est supérieure à $0,75$.\index{inégalité de Bienaymé-Tchebychev}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.\index{Vrai-Faux}
Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère les points 
\begin{center}A$(0~;~ 4~;~-1)$, \quad B(6~;~1~;~5) \quad et \quad C$(6~;~-2~;~-1)$.\end{center} 

On admet que les points A, B et C ne sont pas alignés.\index{géométrie dans l'espace}

\medskip

\textbf{Affirmation 1 :} Le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC).\index{vecteur normal}

\medskip

\textbf{Affirmation 2 :} Une représentation paramétrique de la droite (AB) est \index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite}

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 2 + 2t\\
y &=& 3 - t\\
z &=& 1 + 2t
\end{array}\right. \:\text{où } t \in \R.\]

\medskip

\textbf{Affirmation 3 :} Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par le point C et orthogonal à la droite(AB) est
\[2x + 2y - z- 9 = 0.\]\index{equation de plan@équation de plan}

\bigskip

On considère les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ dont on donne ci-dessous une représentation paramétrique :

\[\mathcal{D}\quad \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&3+t\\
y&=&1+t\\
z&=&2+t
\end{array}\right. \:\text{où } t \in \R \:\:;\quad
\mathcal{D}'\quad \left\{\begin{array}{l c l}
x&= &2t'\\
y&=&4 - t'\\
z&=&-1 + 2t'
\end{array}\right. \:\text{où } t' \in \R.\]

\textbf{Affirmation 4 :} $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ne sont pas coplanaires.\index{droites coplanaires}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Soit $a$ un nombre réel strictement supérieur à 1.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = a$ et, pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+1} = u_n^2 - 2u_n + 2.\]\index{suite}

On admet que pour tout entier naturel $n$,\: $u_n > 1$.

L'objectif de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_n\right)$ pour différentes valeurs du nombre réel $a$.

\bigskip

\textbf{Partie A : étude de la suite \boldmath $\left(u_n\right)$ \unboldmath dans le cas }\boldmath$1 < a < 2$\unboldmath 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} - 2 = u_n\left(u_n - 2\right)$.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} - u_n = \left(u_n - 1\right)\left(u_n - 2\right)$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on pourra utiliser les égalités établies dans la question précédente.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant un raisonnement par récurrence démontrer que, pour tout entier naturel $n : u_n < 2$.\index{démonstration par récurrence}
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite.\index{suite convergente}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\newpage
	
\textbf{Partie B : étude dans le cas particulier }\boldmath $a = 2$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~\\[-25pt]

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
On donne ci-contre la fonction \texttt{u} écrite en langage Python.\index{Python}

Déterminer les valeurs renvoyées par le programme lorsque l'on saisit \texttt{u(2,1)} et \texttt{u(2,2)} dans la console Python.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
{\ttfamily
\begin{tabular}{|l|}\hline
\pmb{def} u(a,n) : \\
\qquad u=a\\
\qquad \pmb{for} k \pmb{in} range(n) :\\
\qquad \quad  u=u**2-2*u+2\\
\qquad \pmb{return} u\\ \hline
\end{tabular}
}
\end{minipage}

\item Quelle conjecture peut-on formuler concernant la suite $\left(u_n\right)$ dans le cas où $a = 2$ ?

On admettra ce résultat sans démonstration.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : étude dans le cas général}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \ln \left(u_n - 1\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 2 dont on précisera le premier terme en fonction de $a$.\index{suite géométrique}
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: u_n = 1 + \e^{2^n \times \ln (a-1)}$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer, suivant les valeurs du réel $a$ strictement supérieur à 1, la limite de la suite $\left(u_n\right)$.\index{limite de suite}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $\R$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

\begin{list}{\textbullet}{Dans le repère orthonormé ci-dessous ont été représentés :}
\item la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ ;
\item la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ en son point N(0~;~2);
\item le point M$(-2~;~0)$ appartenant à $\mathcal{C}_f$ et P(2~;~0) appartenant à la tangente $T$.
\end{list}

On précise que la fonction $f$ est strictement positive sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et qu'elle est strictement croissante sur l'intervalle $]- \infty~;~-1]$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2.5,-1.5)(5.5,3.5)
\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.5,-1.5)(5.5,3.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2.5}{5.5}{x 2 add 2.71828 x exp div}
\psplotTangent{0}{4.5}{x 2 add 2.71828 x exp div}
\psdots(-2,0)(0,2)(2,0)
\uput[ul](-2,0){M} \uput[ur](0,2){N} \uput[ur](2,0){P}\uput[d](3,-1){$T$}
\end{pspicture*}
\end{center}

%\newpage

\begin{center}\textbf{Partie A : étude graphique}\end{center}\index{lecture graphique}

On répondra aux questions suivantes en utilisant le graphique.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner $f(0)$.
		\item Déterminer $f'(0)$.\index{nombre dérivé}
	\end{enumerate}
\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
\item La fonction $f$ est-elle convexe sur $\R$ ? Justifier.\index{fonction convexe}
\item Parmi les courbes suivantes, indiquer laquelle peut représenter une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. Justifier.\index{primitive}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Courbe 1&Courbe 2&Courbe 3\\ \hline
\psset{unit=0.4cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2.5,-8)(8,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.5,-8)(8,3)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2.5}{5.5}{x 1 add 2.71828 x exp div neg}
\end{pspicture*}&
\psset{unit=0.4cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-4,-8)(6,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-8)(6,3)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4}{5.5}{x 3 add 2.71828 x exp div neg}
\end{pspicture*}
&\psset{unit=0.4cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2.5,-8)(8,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.5,-8)(8,3)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2.5}{5.5}{x 1 sub 2.71828 x exp div neg}
\end{pspicture*}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie B :  recherche d'une expression algébrique}\end{center}

On admet que la fonction $f$ est de la forme 
\[f(x)= (ax + b)\e^{\lambda x},\]\index{fonction exponentielle}
où $a, b$ et $\lambda$ sont des constantes réelles.

Pour répondre aux questions suivantes, on utilisera les résultats de la partie A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $b = 2$.
\item Justifier que $-2a + b = 0$ puis en déduire la valeur de $a$.
\item Déterminer une expression algébrique de $f$. Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie C : étude algébrique}\end{center}

On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par 
\[f(x) = (x + 2)\e^{-x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.\index{limite de fonction}
\item On admet que $f'(x) =(- x - 1)\e^{-x}$. Dresser le tableau de variations complet de $f$.\index{tableau de variations}

Justifier.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la convexité de $f$.\index{fonction convexe}
		\item Préciser les coordonnées des éventuels points d'inflexion de la courbe $\index{point d'inflexion}\mathcal{C}_f$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout nombre réel $t \geqslant 0$, on pose:
\[I(t) = \displaystyle\int_{-2}^t f(x)\:\text{d}x.\]\index{intégrale}

	\begin{enumerate}
		\item En utilisant une intégration par parties, montrer que:
\[I(t) = (- t - 3)\e^{-t} + \e^2.\]\index{intégration par parties}

		\item En déduire un exemple de surface non limitée dont l'aire est finie.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%   fin Metropole Jour 2 dévoilé
\newpage
%%%%%%%%%%% Polynésie 19 juin 2024 Jour 1
\phantomsection
\hypertarget{Polynesie1}{}
\label{Polynesie1}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{19 juin 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}


\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Polynésie 19 juin 2024~\decofourright\\[7pt] Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}

\medskip

\textbf{Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée}
\end{center}

\medskip

\section*{Exercice 1\hfill 4 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.\\
Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.}\index{Vrai-Faux}

\medskip

Les quatre affirmations se placent dans la situation suivante:

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk, on considère les points: 
\begin{center}A$(2~;~1~;~-1)$, \quad B$(-1~;~2~;~1)$ et \quad C$(5~;~0~;~-3)$.\end{center}

On note $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne:\index{equation de plan@équation de plan}
\[x + 5y - 2z + 3 = 0.\]

On note $\mathcal{D}$ la droite de représentation paramétrique :\index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite}

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&-t + 3\\
y&=&t + 2\\
z &=& 2t + 1
\end{array}\right., \: t \in \R.\]

\medskip

\textbf{Affirmation 1 :}

Le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$ est normal au plan (OAC).\index{vecteur normal}

\medskip

\textbf{Affirmation 2 :}

Les droites $\mathcal{D}$ et (AB) sont sécantes au point C.

\medskip

\textbf{Affirmation 3 :}

La droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$.

\medskip

\textbf{Affirmation 4 :}

Le plan médiateur du segment [BC], noté $Q$, a pour équation cartésienne :

\[3x - y - 2z - 7 = 0.\]

\emph{On rappelle que le plan médiateur d'un segment est le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.}\index{plan médiateur}

\bigskip

\section*{Exercice 2\hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des objets en plastique en injectant dans un moule de la matière fondue à $210$~\degres C. On cherche à modéliser le refroidissement du matériau à l'aide d'une fonction $f$ donnant la température du matériau injecté en fonction du temps $t$.

Le temps est exprimé en seconde et la température est exprimée en degré Celsius.

On admet que la fonction $f$ cherchée est solution d'une équation différentielle de la forme suivante où $m$ est une constante réelle que l'on cherche à déterminer:

\[(E) : \quad y' +0,02y = m\]\index{equation différentielle@équation différentielle}

\newpage

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier l'affichage suivant d'un logiciel de calcul formel:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
Entrée :& RésoudreEquationDifférentielle $(y' + 0,02y = m)$\\ \hline
Sortie :& \fbox{$\to$}\: $y = k *\text{exp}(-0.02 * t) + 50 * m$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item  La température de l'atelier est de 30~\degres C. On admet que la température $f(t)$ tend vers 30~\degres C lorsque $t$ tend vers l'infini.

Démontrer que $m = 0,6$.
\item Déterminer l'expression de la fonction $f$ cherchée en tenant compte de la condition
initiale $f(0) = 210.$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet ici que la température (exprimée en degré Celsius) du matériau injecté en fonction du temps (exprimé en seconde) est donnée par la fonction dont l'expression et une représentation graphique sont données ci-dessous:

\[f(t) =180 \e^{-0,02t} + 30.\]\index{fonction exponentielle}

\begin{center}
\psset{unit=0.05cm,yunit=0.02cm,arrowsize =2pt 3}
\begin{pspicture}(-20,-15)(220,230)
\multido{\n=0+20}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,230)}
\multido{\n=0+50}{5}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(220,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=20,Dy=50]{->}(0,0)(0,0)(220,230)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{220}{180 2.71828 0.02 x mul exp div 30 add}
\uput[u](190,0){temps (en s)}\uput[r](0,220){température (en \degres C)}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item L'objet peut être démoulé lorsque sa température devient inférieure à 50\degres C. 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, donner une valeur approchée du nombre $T$ de
secondes à attendre avant de démouler l'objet.\index{lecture graphique}
		\item Déterminer par le calcul la valeur exacte de ce temps $T$.
	\end{enumerate}	
\item À l'aide d'une intégrale, calculer la valeur moyenne de la température sur les $100$~premières secondes.\index{valeur moyenne}\index{intégrale}
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 3\hfill 5 points}

\medskip

\emph{Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles}\index{probabilités}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On lance trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois, sur les trois lancers, où la pièce est retombée du côté \og Face \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.\index{loi binomiale}
\item Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$.\index{loi de probabilité}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$k$			& 0 & 1 & 2	& 3 \\ \hline
$P(X = k)$	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Voici les règles d'un jeu où le but est d'obtenir trois pièces du côté \og Face \fg{} en un ou deux essais :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item On lance trois pièces équilibrées :
	\begin{itemize}[label=$\circ~$]
	\item Si les trois pièces sont tombées du côté \og Face \fg, la partie est gagnée ;
	\item Sinon, les pièces tombées du côté \og Face\fg{} sont conservées et on relance
celles tombées du côté \og Pile \fg.
	\end{itemize}
\item La partie est gagnée si on obtient trois pièces du côté \og Face \fg, sinon elle est
perdue.
\end{itemize}

On considère les évènements suivants :
\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $G$ : \og la partie est gagnée \fg.

Et pour tout entier $k$ compris entre 0 et 3, les évènements:
\item $A_k$ : \og $k$ pièces sont tombées du côté \og Face\fg{} au premier lancer \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $P_{A_1}(G) = \dfrac14$.
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous:\index{arbre pondéré}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A_0~~$}\taput{$\frac18$}}
	{\TR{$G$}
	\TR{$\overline{G}$}
	}
	\pstree{\TR{$A_1~~$}\taput{$\frac38$}}
	{\TR{$G$}
	\TR{$\overline{G}$}
	}
	\pstree{\TR{$A_2~~$}\taput{$\frac38$}}
	{\TR{$G$}
	\TR{$\overline{G}$}
	}
	\pstree{\TR{$A_3~~$}\tbput{$\frac18$}}
	{\TR{$G$}	
	}
}
\end{center}

\item Démontrer que la probabilité $p$ de gagner à ce jeu est $p = \dfrac{27}{64}$
\item La partie a été gagnée. Quelle est la probabilité qu'exactement une pièce soit tombée du côté \og Face \fg{} à la première tentative ?\index{probabilité conditionnelle}
\item Combien de fois faut-il jouer à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse $0,95$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 4\hfill 6 points}

\medskip

L'objectif de cet exercice est de conjecturer en partie A puis de démontrer en partie B le comportement d'une suite.\index{suite}

Les deux parties peuvent cependant être traitées de manière indépendante.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \N$ :

\[u_{n+1} = \dfrac{4}{5 - u_n}.\]\index{suite}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter la fonction Python suivante \texttt{suite(n)} qui prend comme
paramètre le rang $n$ et renvoie la valeur du terme $u_n$.\index{Python}

\begin{center}
{\ttfamily
\begin{tabular}{|l|}\hline
\pmb{def} suite(n):\\
\qquad u = \ldots\\
\qquad \pmb{for} i \pmb{in} range(n) : \quad \\
\qquad \qquad \ldots\\ 
\qquad \pmb{return} u \\ \hline
\end{tabular}
}
\end{center}

\item L'exécution de \texttt{suite(2)} renvoie 1.3333333333333333.

Effectuer un calcul pour vérifier et expliquer cet affichage.
\item À l'aide des affichages ci-dessous, émettre une conjecture sur le sens de variation et une conjecture sur la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.\index{suite convergente}

\begin{center}
{\ttfamily
\begin{tabular}{|l|}\hline
>> suite(2) \\
1.3333333333333333\\
>>  suite(5)\\
1.0058479532163742\\
>>  suite(10)\\
1.0000057220349845\\
>>  suite(20)\\
1.000000000005457\\ \hline
\end{tabular}
}
\end{center}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $] -\infty~;~5[$ par:

\[f(x) = \dfrac{4}{5 - x}.\]

Ainsi, la suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \N,\:\: u_{n+1}  = f\left(u_n\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]-\infty~;~5[$.\index{fonction croissante}
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a :\index{démonstration par récurrence}
\[1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 4.\]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $x$ un réel de l'intervalle $]-\infty~;~5[$.

Prouver l'équivalence suivante: 

\[f(x) = x \iff x^2 - 5x + 4 = 0.\]
		
		\item Résoudre $f(x) = x$ dans l'intervalle $]-\infty~;~5[$.
	\end{enumerate}	
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.\index{suite convergente}

Déterminer sa limite.
\item Le comportement de la suite serait-il identique en choisissant comme terme initial $u_0 = 4$ au lieu de $u_0 = 3$ ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%   fin Polynésie Jour 1 19 juin 2024
\newpage
%%%%%%%%%%% Polynésie  Jour 2 20 juin 2024
\phantomsection
\hypertarget{Polynesie2}{}
\label{Polynesie2}

\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{20 juin 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}


\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Polynésie 21 juin 2024~\decofourright\\[7pt] Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\section*{Exercice 1\hfill{}4 points}

\medskip

Un sondage réalisé en France fournit les informations suivantes :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item 60\,\% des plus de 15 ans ont l'intention de regarder les Jeux olympiques et paralympiques (JOP) de Paris 2024 à la télévision ;
\item parmi ceux qui ont l'intention de regarder les JOP{}, 8 personnes sur 9 déclarent pratiquer une activité sportive régulière.\index{probabilités}
\end{itemize}

On choisit au hasard une personne de plus de 15 ans. On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $J$ : \og la personne a l'intention de regarder les JOP Paris 2024 à la télévision \fg\ ;
\item $S$ : \og la personne choisie déclare pratiquer une activité sportive régulière \fg.
\end{itemize}

On note $\overline{J}$ et $\overline{S}$ leurs évènements contraires.\index{probabilités}

\smallskip

\emph{Dans les questions $1$. et $2$., les probabilités seront données sous la forme d'une fraction irréductible.}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Démontrer que la probabilité que la personne choisie ait l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est de $\dfrac{8}{15}$.
	
\emph{On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.}\index{arbre podéré}
\end{enumerate}

Selon ce sondage, deux personnes sur trois parmi les plus de 15 ans déclarent pratiquer une activité sportive régulière.

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que la personne choisie n'ait pas l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière.
		\item En déduire la probabilité de $S$ sachant $\overline{J}$ notée $P_{\overline{J}}(S)$.\index{probabilité conditionnelle}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\emph{Dans la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis au millième.}

\begin{enumerate}[resume]
\item Dans le cadre d'une opération de promotion, $30$ personnes de plus de $15$~ans sont choisies au hasard.
	
On assimile ce choix à un tirage avec remise.
	
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi les $30$ personnes.\index{loi binomiale}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
		\item Calculer la probabilité qu'exactement $16$~personnes déclarent pratiquer une activité sportive régulière parmi les $30$~personnes.
		\item La fédération française de judo souhaite offrir une place pour la finale de l'épreuve par équipe mixte de judo à l'Arena Champ-de-Mars pour chaque personne déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi ces $30$~personnes.
		
Le prix d'une place s'élève à 380~\euro{} et on dispose d'un budget de \np{10000}~euros pour cette opération.
		
Quelle est la probabilité que ce budget soit insuffisant ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 2\hfill{}5 points}

\medskip

\textit{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui comprend cinq questions. Les cinq questions sont indépendantes.\\
Pour chacune des questions, \textbf{une seule des quatre réponses est exacte}. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse exacte.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte, ni n'enlève aucun point.}\index{QCM}

\begin{enumerate}
	\item La solution $f$ de l'équation différentielle $y'=-3y+7$ telle que $f(0)=1$ est la fonction définie sur $\R$ par :\index{equation différentielle@équation différentielle}
	
	\smallskip
	
\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.9}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A. } $f(x) = \e^{-3x}$&\textbf{B. } $f(x) = - \dfrac43 \e^{-3x} + \dfrac73$\\
\textbf{C. } $f(x) = \e^{-3x} + \dfrac73$&\textbf{D.~} $f(x) = - \dfrac{10}{3} \e^{-3x} - \dfrac73$
\end{tabularx}
\end{center}
	\item La courbe d'une fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ est donnée ci-dessous.
	
\begin{center}
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(6.25,4.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(6.25,4.25)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{6.25}{0.00196  x 5 exp mul 0.05764 x  4 exp mul sub 0.62643 x  3 exp mul add 3.00524 x dup mul mul sub 5.43449  x mul add}
\end{pspicture}
\end{center}

Un encadrement de l'intégrale $I = \displaystyle\int_1^5 f(x) \:\text{d}x$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A. } $0 \leqslant I \leqslant 4$&\textbf{B. } $1 \leqslant I \leqslant 5$\\
\textbf{C. } $5 \leqslant I \leqslant 10$&\textbf{D. } $10 \leqslant I \leqslant 15$
\end{tabularx}
\end{center}\index{intégrale}

\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = x^2 \ln \left(x^2 + 4\right) $.

Alors $\displaystyle\int_0^2 g'(x)\:\text{d}x$ vaut, à $10^{-1}$ près :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A. } 4,9&\textbf{B. } $8,3$\\
\textbf{C. } $1,7$&\textbf{D. } $7,5$
\end{tabularx}
\end{center}	\index{intégrale}
	\smallskip
	
\item Une professeure enseigne la spécialité mathématiques dans une classe de $31$ élèves de terminale.
	
Elle veut former un groupe de 5 élèves. De combien de façons différentes peut-elle former 
un tel groupe de 5 élèves ?\index{combinatoire}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A. } $31^5$&\textbf{B. } $31\times30\times29\times28\times27$\\
\textbf{C. } $31+30+29+28+27$&\textbf{D. } $\dbinom{31}{5}$
\end{tabularx}
\end{center}

	\item La professeure s'intéresse maintenant à l'autre spécialité des 31 élèves de son groupe :
	
\begin{itemize}
	\item 10 élèves ont choisi la spécialité physique-chimie ;
	\item 20 élèves ont choisi la spécialité SES ;
	\item 1 élève a choisi la spécialité LLCE espagnol.
\end{itemize}
	
Elle veut former un groupe de 5 élèves comportant exactement 3 élèves ayant choisi la
	spécialité SES. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe ?
	
\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.9}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A. } $\displaystyle\binom{20}{3} \times \binom{11}{2}$&\textbf{B. } $\displaystyle\binom{20}{3} + \binom{11}{2}$\\
\textbf{C. } $\displaystyle\binom{20}{3}$&\textbf{D. } $20^3 \times 11^2$
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\pagebreak

\section*{Exercice 3\hfill{}6 points} 

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :\index{suite}

\begin{center} $u_0 = 8$ \:  et pour tout entier naturel \:\:$n,\:\:~u_{n+1} = u_n -\ln\left(\dfrac{u_n}{4}\right)$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs arrondies au centième de $u_1$ et $u_2$.
		\item On considère la fonction \texttt{mystere} définie ci-dessous en \textsf{Python}. On admet que, pour tout réel strictement positif \texttt{a}, \texttt{log(a)} renvoie la valeur du logarithme népérien de \texttt{a}.\index{Python}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
def mystere(k) :\\
\qquad u = 8\\
\qquad S = 0\\
\qquad for i in range(k) :\\
\qquad \qquad S = S + u\\
\qquad \qquad u = u $-$ log( u / 4 )\\
\qquad return S\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
	
L'exécution de \texttt{mystere(10)} renvoie \texttt{58.44045206721732}. Que représente ce résultat ?
		\item Modifier la fonction précédente afin qu'elle renvoie la moyenne des $k$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ par :

\[ f(x) = x - \ln\left(\dfrac{x}{4}\right).\]

On donne ci-dessous une représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ pour les valeurs de $x$ comprises entre 0 et 6.
	
\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(6.1,6.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(6.1,6.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(6.1,6.1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.01}{6}{x  x 4 div ln sub}
\uput[u](5.5,5.2){\red $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}\index{fonction logarithme népérien}

Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$ et dresser son tableau de variations.

\emph{On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. Les limites ne sont pas demandées.}\index{minimum}
\end{enumerate}

Dans la suite de l'exercice, on remarquera que pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a : \index{démonstration par récurrence}

		\[ 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n. \]
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers une limite réelle.

On note $\ell$ la valeur de cette limite 
		\item Résoudre l'équation $f(x) = x$.
		\item En déduire la valeur de $\ell$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 4\hfill5 points}

\medskip

Une commune décide de remplacer le traditionnel feu d'artifice du 14 juillet par un
spectacle de drones lumineux.

\smallskip

Pour le pilotage des drones, l'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk{} dont l'unité est la centaine de mètres.

\smallskip

La position de chaque drone est modélisée par un point et chaque drone est envoyé d'un point de départ D de coordonnées $(2~;~5~;~1)$.

\smallskip

On souhaite former avec des drones des figures en les positionnant dans un même plan $\mathcal{P}$.

\smallskip

Trois drones sont positionnés aux points A$(-1~;~-1~;~17)$, B$(4~;~-2~;~4)$ et C$(1~;~-3~;~7)$.

\begin{enumerate}
	\item Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.\index{points alignés}
\end{enumerate}

Dans la suite, on note $\mathcal{P}$ le plan (ABC) et on considère le vecteur $\vect{n} \begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}[resume]
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $\vect{n}$ est normal au plan (ABC).\index{vecteur normal}
		\item Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $2x - 3y + z - 18 = 0$.\index{equation de plan@équation de plan}
	\end{enumerate}
	\item Le pilote des drones décide d'envoyer un quatrième drone en prenant comme trajectoire la droite $d$ dont une représentation paramétrique est donnée par 

\[ d~:~\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&3t+2\\y&=&\phantom{3}t+5\\z&=&4t+1\end{array}\right.\text{, avec } t \in \R. \]\index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un vecteur directeur de la droite $d$.\index{vecteur directeur}
		\item Afin que ce nouveau drone soit également placé dans le plan $\mathcal{P}$, déterminer par le calcul les coordonnées du point E, intersection de la droite $d$ avec le plan $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate}
	\item Le pilote des drones décide d'envoyer un cinquième drone le long de la droite $\Delta$ qui passe par le point $D$ et qui est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$. Ce cinquième drone est placé lui aussi dans le plan $\mathcal{P}$, soit à l'intersection entre la droite $\Delta$ et le plan $\mathcal{P}$. On admet que le point F$(6~;~-1~;~3)$ correspond à cet emplacement.
	
Démontrer que la distance entre le point de départ D et le plan $\mathcal{P}$ vaut $2\sqrt{14}$ centaines de mètres.
	\item L'organisatrice du spectacle demande au pilote d'envoyer un nouveau drone dans le plan (peu importe sa position dans le plan), toujours à partir du point D.
	
Sachant qu'il reste $40$~secondes avant le début du spectacle et que le drone vole en trajectoire rectiligne à 18,6~$\text{m.s}^{-1}$, le nouveau drone peut-il arriver à temps ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   fin Polynésie Jour 2  20 juin 2024

\phantomsection
\hypertarget{Index}{}
\setlength{\columnsep}{1.5cm}
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\end{document}