\documentclass[10pt]{article} 
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} 
\usepackage[normalem]{ulem} 
\usepackage{fancybox} 
\usepackage{ulem} 
\usepackage{dcolumn} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}} 
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} 
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm} 
\setlength{\textheight}{23,5cm} 
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 
\newcommand{\D}{\mathbb{D}} 
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} 
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} 
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} 
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} 
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% 
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% 
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% 
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% 
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} 
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
\setlength{\voffset}{-1,5cm} 
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel} 
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat S septembre 1999}
\lfoot{\small Sportifs de haut-niveau}
\rfoot{\small{septembre 1999}} 
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Sportifs de haut-niveau~\decofourright \\ 
septembre 1999}} 
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Enseignement obligatoire et de spécialité}

\medskip

Une urne contient quatre boules rouges, quatre boules blanches et 
quatre boules noires.

On prélève simultanément quatre boules dans l'urne. Les 
prélèvements sont supposés équiprobables.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la probabilité d'un prélèvement unicolore. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la probabilité d'un prélèvement bicolore 
composé de boules rouges et blanches ? 
		\item Démontrer que la probabilité d'un prélèvement bicolore 
est $\dfrac{68}{165}$. 
	\end{enumerate} 
\item Déduire des résultats précédents la probabilité d'un 
prélèvement tricolore. 
\item Quelle est la probabilité d'avoir exactement deux boules 
rouges sachant que le prélèvement est bicolore ? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct 
\Ouv. On désigne par E l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z^3$ soit un nombre réel positif ou nul. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Le point A d'affixe $ a = 
\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$ appartient-il à E ? 
		\item On note B le point d'affixe $b = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$.
		
Calculer un argument de $b$ et montrer que B appartient à E. 
	\end{enumerate} 
\item On suppose $z \neq 0$ et on note $\theta$ un argument de 
$z$. 
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $\theta$ pour 
que $z^3$ soit un nombre réel positif.
\item Après avoir vérifié que le point O appartient à E, 
déduire des résultats précédents que E est la réunion de trois demi-droites que 
l'on déterminera. Placer les points A et B et représenter E sur une 
figure. 
\item À tout point $P$ d'affixe $z \neq 0$, on associe les 
points $Q$ d'affixe i$z$ et $R$ d'affixe $z^4$.
 
On note F l'ensemble des points $P$ tels que l'angle 
$(\vect{\text{O}Q},~ \vect{\text{O}R}$) ait pour 
mesure~$-~\dfrac{\pi}{2}$.
 
Montrer que F est l'ensemble E privé du point O. 
\end{enumerate} 

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct 
\Ouv{} (unité graphique : 1 cm).

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item On note A, B et C les points d'affixes respectives 2i, $-1 
+ 4\text{i}$ et $5 + 2\text{i}$. 

On considère la translation $t$ de vecteur 
$\vect{\text{BC}}$, la symétrie S d'axe (AB) et la 
transformation $f = t \circ~$ S.

On désigne par A$'$ et B$'$ les images respectives de A et B par $f$. 
Calculer les affixes de A$'$ et B$'$ et placer les points A, B, C, 
A$'$ et B$'$ sur une figure. 
\item On rappelle que l'écriture complexe d'un antidéplacement 
est de la forme $z' = a\overline{z} + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres 
complexes et $|a| = 1$.

À tout point $M$ d'affixe $z$,~ $f$ associe le point $M'$ d'affixe 
$z'$.

Justifier que $f$ est un antidéplacement et démontrer que :
 
\[z' = \dfrac{-3 - 4\text{i}}{5}\overline{z} + \dfrac{38 - 
6\text{i}}{5}.\] 

\item Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$. La 
transformation $f$ est-elle une symétrie ?
\item On appelle D le point d'affixe 3 + 6i,~$\Delta$ la 
médiatrice de [BD] et S$'$ la symétrie d'axe $\Delta$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que les droites $\Delta$ et (AB) sont parallèles. 
Déterminer S ~$\circ$~ S$'$. 
		\item Montrer que $f \circ \text{S}'$ est la translation, notée 
$t'$, de vecteur $\vect{\text{DC}}$. En déduire que $f = t'  \circ \text{S}'$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Ce problème comporte trois parties \textbf{A, B} et \textbf{C}. Les 
parties \textbf{B} et \textbf{C} sont indépendantes.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal 
\Oij, unité graphique : 4~cm).
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = \ln \left(1 + \text{e}^{-~x}\right).\]
 
On note $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le 
repère \Oij. 

\bigskip 

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ puis la limite 
de $f$ en  $+ \infty$. 
\item Étudier le sens de variation de $f$.
\item Démontrer que, pour tout nombre réel $x,\: f(x) = - x + \ln \left(1 + 
\text{e}^x \right)$.

En déduire que la courbe $\Gamma$ admet, en $- \infty$, une 
asymptote, notée $(\Delta)$. 
\item Tracer $(\Delta)$ et $\Gamma$. 
\end{enumerate} 

\bigskip 

\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x,\:f'(x) = 
\dfrac{- 1}{1 + \text{e}^x}$. 
\item On note A, B et C les points de $\Gamma$ d'abscisses 
respectives 0, 1 et $- 1$.
 
On appelle T$_{0}$,\: T$_{1}$ et T$_{-1}$ les tangentes respectives à 
la courbe $\Gamma$ aux points A, B et C. 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que la droite (BC) est parallèle à la droite 
T$_{0}$.
		\item Déterminer l'abscisse du point d'intersection de T$_{1}$ 
et T$_{-1}$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\bigskip 

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soient $u$ et $v$ les fonctions définies sur $[0~;~+~\infty$[ par : 

\[u(t) = \ln(1 + t) - t \quad \text{et} \quad v(t) = \ln (1 + t) - t 
+ \dfrac{1}{2}t^2.\]
 
Étudier les variations de $u$ et $v$. En déduire que, pour tout 
nombre réel  $t$ positif, on a : 

\[t- \dfrac{1}{2}t^2 \leqslant \ln(1 + t) \leqslant t.\] 

\item Soit $n$ un entier naturel ($n \geqslant 1$). On considère le 
nombre 

$S_{n} = f(1) + f(2) + \ldots + f(n)$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que :
		 
\[ \dfrac{1 - \text{e}^{-n}}{\text{e} - 1} - \dfrac{1}{2} . \dfrac{1 
- \text{e}^{-2n}}{\text{e}^2 - 1} \leqslant S_{n} \leqslant \dfrac{1 - 
\text{e}^{-n}}{\text{e} - 1}.\]
 
		\item On admet que la suite $(S_{n})$ a une limite réelle $\ell$.
		
Montrer que $\left|\ell - \dfrac{1}{\text{e} - 1}\right| \leqslant 
\dfrac{1}{2\left(\text{e}^2 - 1\right)}$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\end{document}