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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES (A1)}
\lfoot{\small{Sportifs de haut-niveau}}
\rfoot{\small  septembre 1994}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat A1 Sportifs de haut-niveau ~\decofourright\\septembre 1994 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur $]- 2~;~+ \infty[$ par 

\[f\::\: x \longmapsto \dfrac{5 - x^2}{(x + 2)^2}.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer trois nombres réels $a, b$ et $c$ tels que pour
tout $x \in  ]- 2~;~+ \infty[$,

\[f(x) = a + \dfrac{b}{x + 2} + \dfrac{2}{(x+2)^2}.\]

\item  Calculer $\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\:\text{d}x$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip 

Le but du problème est d'étudier l'équation :
 
\[(E) \::\: (\ln x)^2 - 2\ln x + 2 - x = 0,\quad \text{où}\: x > 0\]

en utilisant une méthode d'approximation.
 
À cet effet, on considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = (\ln x)^2 - 2\ln x + 2.\]
 
On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans un plan rapporté à un 
repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm).

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\textbf{Étude de la fonction}\:\boldmath $f$ \unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 
\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$. 
\item Étudier le signe de $\ln x - 1$. En déduire le signe de $f'(x)$. 
\item Dresser le tableau de variation de $f$. 
\item Tracer la courbe $C$ en précisant la tangente T au point A d'abscisse $1$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\textbf{Étude de l'équation } \boldmath $(E)$ \unboldmath

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[g(x) = f(x) - x.\]
 
L'équation $(E)$ est donc équivalente à l'équation $g(x) = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude graphique
 
Tracer la droite D d'équation $y = x$. En déduire graphiquement que l'équation $(E)$ a une solution $\alpha$ telle que $1 < \alpha < \text{e}$. 
\item Étude de $g$ sur [1~;~\text{e}]
 
Calculer $g(1)$ et $g(e)$.
 
En utilisant A - 3, montrer que $g'(x) < 0$ sur [1~;~e].
\item Existence et approximation de $\alpha$
 
Prouver que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution $\alpha$ et une seule dans l'intervalle [1~;~e].
 
Établir que $1,42 < \alpha < 1,43$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

La courbe $C$ représentée ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction $f$, définie sur $\R$ par $f(x) = a + bx\text{e}^{-x}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
 
La droite T est la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse zéro. 

\begin{center}
\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1.5)(3.2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1.5,-1.5)(3.2,2)
\psline[linestyle=dashed](0,1)(3,1)
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1.368)
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(0.55,1.368)(1.5,1.368)
\psplot{-1.1}{0.8}{x 1 add}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-1}{3}{x 2.71828 x exp div 1 add}
\uput[d](3,0){$x$}
\uput[d](-1.5,0){$x'$}
\uput[d](0,2){$y$}
\uput[d](0,-1.5){$y'$}
\uput[u](1.6,2.6){T}\uput[dl](0,0){O}\uput[u](2.9,1.15){$C$}
\end{pspicture*}
\end{center} 

\medskip

Reproduire l'allure de la courbe $C$ sur la copie (repère orthonormal : unité graphique : 2 cm).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Lecture graphique. 
	\begin{enumerate}
		\item Lire sur le graphique proposé ci-dessus $f(0)$ et $f'(0)$. 
		\item En déduire la valeur de $a$ et celle de $b$. 
	\end{enumerate}
	
Dans toute la suite, on prend $f(x) = 1 + x\text{e}^{- x}$.
	 
\item Variations de $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$. 

Déterminer la tangente à $C$ au point d'abscisse $1$. 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ ; interpréter graphiquement le résultat obtenu. 
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item Étude du point d'intersection de $C$ avec l'axe des abscisses. 
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution $\alpha$ et une seule  telle que $- 1 < \alpha < - \frac{1}{2}$. 
		\item On pose $\alpha' = - 0,56$. Calculer $f(\alpha')$ à la précision $10^{-4}$.
		 
Prouver que $\alpha < \alpha'$ et que $\alpha' - \alpha  < 10^{- 2}$ (on pourra calculer $f(- 0,57)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}