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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Sportifs de haut-niveau}}
\rfoot{\small septembre 1997}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Sportifs de haut-niveau septembre 1997~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une salle de spectacle peut contenir $400$ places. Le tableau suivant donne le nombre moyen de spectateurs enregistrés sur une large période, en fonction du prix d'une place.
 
$p$ est le prix d'une place.
 
$n$ est le nombre moyen de spectateurs.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$p$	& 5 	&10 	&15 	&20 	&25 	&30 	&35 	&40 &45\\ \hline 
$n$	& 362 	&323 	&275 	&248 	&198 	&162 	&117 	&88 &34\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans cette partie, les résultats doivent être arrondis au millième près et le détail des calculs n'est pas demandé. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le coefficient de corrélation linéaire r de cette série statistique à deux variables $p$ et $n$. 
		\item écrire une équation de la droite de régression linéaire de n en p.
	\end{enumerate} 
\item Dans cette partie, on pose $n = - 8p + 400$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer la recette pour un spectacle en fonction de p. 
		\item Les frais fixes pour un spectacle s'élèvent à \np{3200}~F, exprimer le bénéfice pour un spectacle en fonction de $p$. 
		\item Dans quel intervalle le directeur doit-il fixer le prix des places pour amortir au moins les frais fixes ? 
		\item Quel prix doit-il fixer pour obtenir le bénéfice maximal? Quel est alors ce bénéfice ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Un restaurateur propose trois types de menu: le premier à 150~F, le deuxième à 90~F et le troisième à 70~F. Il constate que 30\,\% de ses clients prennent le menu à 150 F et 50\,\% celui à 90 F.
 
De plus, parmi ceux qui prennent le menu à 150 F, 85\,\% donnent un pourboire au serveur; parmi ceux qui prennent le menu à 90 F, 65\,\% donnent un pourboire au serveur et parmi ceux qui prennent le menu à 70 F, 25\,\% donnent un pourboire au serveur.
 
Pour un client, on désigne par :
 
$A$ : l'évènement\og prendre un menu à 150 F \fg.
 
$B$ : l'évènement \og prendre un menu à 90 F \fg. 

$C$ : l'évènement \og prendre un menu à 70 F \fg.
 
$S$ : l'évènement \og donner un pourboire au serveur \fg. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item À la sortie du restaurant, on interroge un client choisi au hasard. Calculer la probabilité: 
	\begin{enumerate}
		\item qu'il ait pris un menu à 70~F ; 
		\item qu'il ait pris un menu à 90~F et qu'il ait donné un pourboire au serveur ; 
		\item qu'il ait donné un pourboire au serveur ; 
		\item qu'il ait pris un menu à 150~F sachant qu'il a donné un pourboire au serveur (le résultat de cette question sera donné sous forme exacte, puis sous forme décimale approchée à $10^{-2}$ près par défaut).
	\end{enumerate} 
\item On suppose que, quand un pourboire est donné au serveur, son montant est 5\,\% du prix du menu. On appelle $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le montant en francs du pourboire donné au serveur par un client. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$ et son espérance mathématique E$(X)$. 
		\item Quelle somme le serveur peut-il espérer gagner, s'il sert 30~clients ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip
 
Dans une station de sport d'hiver, on a observé qu'un tiers des skieurs emprunte une télécabine les emmenant directement au sommet des pistes.
 
Les autres skieurs utilisent un télésiège qui les transporte dans un domaine intermédiaire.
 
Parmi ceux-ci, un quart emprunte un téléski pour se rendre au sommet des pistes, les autres skient dans ce domaine intermédiaire. 
Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère, dans cette station, une personne partant skier. Calculer la probabilité : 
	\begin{enumerate}
		\item que ce skieur aille au sommet des pistes en utilisant le télésiège, puis le téléski; 
		\item que ce skieur aille skier au sommet des pistes. 
	\end{enumerate}
\item Au sommet des pistes, on interroge un skieur choisi au hasard. Prouver que la probabilité qu'il soit arrivé en télécabine est $\dfrac{2}{3}$. 
\item Dans un moment de très grande affluence au sommet des pistes, on interroge au hasard quatre skieurs. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'au moins un d'entre eux ne soit pas venu en télécabine. 
		\item Soit $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de skieurs venus en télécabine.
		 
Déterminer la loi de probabilité de $X$.
 
Calculer son espérance E$(X)$ et sa variance $V(X)$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le but de ce problème est de déterminer une approximation du prix d'équilibre d'un produit manufacturé. (On rappelle que le prix d'équilibre est le 
prix pour lequel l'offre est égale à la demande).
 
Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 4~cm).

\bigskip
 
\textbf{Partie A : étude de la fonction d'offre}

\medskip
 
$\bullet~~$  $x$ désigne le prix d'une unité de produit, exprimé en milliers de francs.
 
$\bullet~~$  $f(x)$ désigne la quantité offerte sur le marché, exprimée en milliers d'articles.
 
On admet que la fonction d'offre $f$ est définie sur $[0~;~ +\infty[$ par : 
 
\[f(x) = x - \text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1}.\] 

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item Soit $\varphi$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $\varphi(x) = x$. Déterminer la limite de $\varphi - f$ en $+ \infty$. 
		\item Soit $D$ la droite d'équation $y = x$. Interpréter graphiquement le résultat de la question b. 
	\end{enumerate}
\item étudier le sens de variation de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. Dresser le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : étude de la fonction de demande}

\medskip
 
$x$ désigne toujours le prix d'une unité, exprimé en milliers de francs.
 
$g(x)$ désigne la quantité demandée, exprimée en milliers d'articles. 

On admet que la fonction de demande $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ est de la forme 
 
\[g(x) = \dfrac{a}{x} + b \ln x\quad  \text{avec $a$ et $b$ réels}.\] 

\begin{enumerate}
\item On note $\Gamma$ la courbe représentative de $g$ dans \Oij. 

Déterminer les nombres $a$ et $b$ sachant que $\Gamma$ passe par le point A(1~;~2) et admet en ce point une tangente $\Delta$ de coefficient directeur $- 3$. 
\item On pose dans toute la suite $g(x) = \dfrac{2}{x} - \ln x$. 
	\begin{enumerate}
		\item étudier le sens de variation de $g$ sur $]0~;~+\infty[$. 
		\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. 
		\item Construire, sur l'annexe , la courbe $\Gamma$ ainsi que sa tangente $\Delta$ en A.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Détermination du prix d'équilibre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Méthode graphique}
 
À l'aide des graphiques de $\mathcal{C}$ et de $\Gamma$, indiquer le prix d'équilibre (à 100~F près). 
\item   \textbf{étude théorique}
 
Soit la fonction $h$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par 

\[h(x) = f(x) - g(x).\]
 
	\begin{enumerate}
		\item étudier le sens de variation de $h$. 
		\item Déterminer la limite de $h$ en $0$, puis en $+ \infty$. 
		\item Prouver que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ appartenant à [1,73~;~1,74].
		 
Déduire de ce qui précède un encadrement du prix d'équilibre à 10~F près. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}