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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Le baccalauréat de 1997}
\lfoot{\small{Sportifs de haut-niveau}}
\rfoot{\small{septembre 1997}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Sportifs de haut-niveau septembre 1997~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1  \hfill 4 points}}

\medskip

On considère les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par :

\[\left\{\begin{array}{l c l} 
u_{0}&=& 0\\ 
u_{n+1}&=&\dfrac{3u_{n} + 1}{4}
\end{array}\right. \quad \text{et} \quad  
\left\{\begin{array}{l c l} 
v_{0}&=& 2\\ 
v_{n+1}&=&\dfrac{3v_{n} + 1}{4}
\end{array}\right.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1},\:u_{2},\:u_{3}$ d'une part et $v_{1},\:v_{2},\:v_{3}$ d'autre part.
\item Dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 5~cm), tracer 
les droites $D$ et $\Delta$ d'équations respectives $y = \dfrac{3x + 1}{4}$ et $y = x$.
 
Utiliser $D$ et $\Delta$ pour construire sur l'axe des abscisses, les points A$_{1}$, A$_{2}$, A$_{3}$ d'abscisses respectives $u_{1},\:u_{2},\:u_{3}$, ainsi que les points B$_{1}$, B$_{2}$, B$_{3}$ d'abscisses respectives $v_{1},\:v_{2},\:v_{3}$. 
\item On considère la suite $\left(s_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 
$sn = u_{n} + v_{n}$ 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $s_{0},\:s_{1},\: s_{2},\: s_{3}$. À partir de ces résultats, que peut-on conjecturer pour la suite $\left(s_{n}\right)$ ? 
		\item À l'aide d'un raisonnement par récurrence, montrer que la suite $\left(s_{n}\right)$ est une suite constante.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(d_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 
$d_{n} = v_{n}- u_{n}$.
 
Montrer que la suite $\left(d_{n}\right)$ est une suite géométrique.
 
Donner l'expression de $d_{n}$ en fonction de $n$. 
\item En utilisant les résultats des questions 3. b. et 4. b., donner l'expression de $u_{n}$ et $v_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ convergent. Préciser leurs limites. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2  \hfill 4 points}}

\medskip

Le plan est rapporté \`a un rep\`ere orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 4~cm).
 
On considère les points A et C d'affixes respectives $a$ et $c$. On suppose que les points O, A, C ne sont pas alignés.
 
On note B le point image de A par la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ et  
D le point image de C par la rotation de centre O et d' angle $\dfrac{\pi}{2}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que $a = 3 + \dfrac{1}{4}\text{i}$ et $c = \dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Placer sur une figure les points O, A, B, C, D (on justifiera la construction du point C).
 
\emph{Dans les questions suivantes, on revient au cas général} 

On suppose que les points B et C sont distincts. 

\item Calculer les affixes des vecteurs $\vect{\text{AD}}$ et $\vect{\text{BC}}$.
 
Comparer les longueurs AD et BC et démontrer que les droites (AD) et (BC) sont perpendiculaires. 
\item On désigne par I le milieu du segment [AC]. En utilisant les affixes de deux vecteurs que l'on précisera, démontrer que la médiane (OI) du triangle OAC est une hauteur du triangle ODB et que BD = 2OI.
\item La médiane issue de O dans le triangle ODB est-elle une hauteur du triangle OAC ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2  \hfill 4 points}}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan orienté, on considère quatre points E, F, G, H non alignés, tels que EFGH soit un parallélogramme de centre O.
 
On désigne par A l'image de G par la rotation $r$ de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$. 

On désigne par B l'image de H par la rotation $r'$ de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. 

On note I le milieu du segment [GH].

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Placer ces différents éléments sur une figure. 

L'objet de cet exercice est de démontrer que la médiane (OI) du triangle OGH est une hauteur du triangle OAB. À cet effet, on propose deux méthodes.

\medskip
 
\item \textbf{Emploi des nombres complexes}

\medskip 

On rapporte le plan complexe à un repère orthonormal direct d'origine O, tel que l'affixe du point G est égale à 1. On note $z$ l'affixe du point H. 

Calculer les affixes des points I, A et B en fonction de $z$. 

Prouver que les points O et I sont distincts ainsi que les points A et B.

Montrer que la droite (OI) est perpendiculaire à la droite (AB). 
\item \textbf{Emploi de transformations}

\medskip 
 
On désigne par $h$ l'homothétie de centre G et de rapport 2. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les images par $h$ des points O et I. 
		\item Déterminer l'image par $r'$ du point E. 
		\item Conclure.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème  \hfill 11 points}}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : 

\[f(x) = x \ln \left( 1 + \dfrac{1}{x^2}\right)\quad  \text{si}\quad  x > 
0 \quad  \text{et} \quad
f(0) = 0.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal
 \Oij{} (unité graphique : 5~cm).
 
Le but du problème est d'étudier certaines propriétés de la fonction $f$.

\begin{center} \textbf{A. Étude d'une fonction auxiliaire} \end{center}

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[g(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right) - \dfrac{2}{x^2 + 1}\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la dérivée $g'$ de $g$.

Montrer que pour tout $x \in ]0~;~+\infty[,\:g^{\prime}(x)  = \dfrac{2\left(x^2 - 1\right)}{x\left(x^2 + 1\right)^2}$.
		\item Étudier le signe de $g^{\prime}(x)$ selon les valeurs de $x$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$.
\item Déterminer la limite de $g$ en 0.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Dresser le tableau des variations de $g$.
		\item En déduire qu'il existe un unique nombre réel $\alpha> 0$ tel que $g(\alpha)
 = 0$. Vérifier que $0,5 < \alpha< 0,6.$\\
	\end{enumerate} 
\item Déduire des questions précédentes le signe de $g(x)$ sur l'intervalle 
$]0~;~+ \infty[$.

On ne demande pas de construire la courbe représentative de la fonction 
$g$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{B. Étude de la fonction}~ \boldmath $f$ \unboldmath \end{center}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item  Montrer que pour tout $x \in ]0~;~+\infty[$, on a $f'(x) = g(x)$. En déduire les variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la limite quand $x$ tend vers $+ 
\infty$  de $xf(x)$.

(On pourra poser $h = \dfrac{1}{x^2}$).
		\item En déduire que $f(x)$ tend vers 0 quand $x$ tend vers $+ \infty$.\\
	\end{enumerate}
\item Étude de $f$ en 0.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en 0. (On pourra écrire $f(x)$ sous la forme
$f(x) = x \ln (x^2 + 1) -  2 x \ln x$ et on utilisera le résultat suivant :
$\displaystyle\lim_{x \to 0} x\ln x = 0$.)
		\item Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$. Préciser la tangente à la courbe 
$\mathcal{C}$ au point $0$.
	\end{enumerate}
\item Encadrement de $f(\alpha)$.
	\begin{enumerate} 
		\item Prouver que, pour tout élément $x$ de $[0,5~;~\alpha],\:0 < f'(x) < 
f'(0,5)$.
		\item En déduire que, pour tout élément $x$ de $[0,5~;~\alpha],\:
0 < f(\alpha) - f(0,5) < (\alpha - 0,5) f^{\prime}(0,5),$\:
puis que $0 < f (\alpha) - f(0,5) < \dfrac{1}{10} f^{\prime}(0,5).$	
		\item En déduire une valeur décimale approchée de $f(\alpha)$ à $10^{- 3}$ 
près.
	\end{enumerate}
\item Dresser le tableau des variations de $f$. Donner l'allure de la courbe 
$\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{C. Calcul d'une aire} \end{center}

Soit $\lambda$, un nombre réel appartenant à l'intervalle $]0~;~1]$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale 
$J_{\lambda} = \displaystyle\int_{\lambda}^1 f(x)\:\text{d}x.$

Donner une interprétation géométrique de cette intégrale.
\item Calculer $\displaystyle\lim_{\lambda \to 0} J_{\lambda}.$
	
On admet que cette limite est l'aire de la partie du plan constituée des points
dont les coordonnées $(x~;~y)$ vérifient : $\left\{ 
\begin{array}{@{0} @{~\leqslant~ } c  @{~\leqslant~} c}
x & 1\\
y & f(x)
    \end{array}\right.$
    
En déduire la valeur de cette aire exprimée en cm$^2$. 
\end{enumerate}
\end{document}