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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Sportifs de haut-niveau octobre 1998~\decofourright}} 
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Un joueur dispose d'une urne contenant 3 boules rouges, 4 boules blanches et $n$	boules vertes 

($0 \leqslant  n \leqslant 10$). Les boules sont indiscernables au toucher.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le joueur tire au hasard une boule de l'urne.
Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
	 \begin{enumerate}
		\item  $R$ : \og la boule tirée est rouge \fg{} ;	
		\item  $B$ : \og la boule tirée est blanche \fg{} ;	
		\item  $V$ : \og la boule tirée est verte \fg.	
	\end{enumerate}
\item  Le joueur décide de jouer une partie. Celle-ci se déroule de la manière indiquée ci-dessous.

Le joueur tire une boule de l'urne

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si elle est rouge, il gagne $16$~F :
\item[$\bullet~$] si elle est blanche, il perd $12$~F ;
\item[$\bullet~$] si elle est verte, il remet la boule dans l'urne, puis tire une boule de l'urne ;
	\begin{itemize}
		\item  si celle boule est rouge, il gagne $8$~F ;
		\item  si cette boule est blanche, il perd $2$~F ;
		\item  si cette boule est verte, il ne perd rien ni ne gagne rien. 
	\end{itemize}
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Les tirages sont équiprobables et deux tirages successifs sont indépendants.
 
Au début de la partie, le joueur possède $12$~F. Soit $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur la somme que le joueur possède à l'issue de la partie (un tirage ou deux tirages selon le cas).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs prises par $X$.	
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item Montrer que l'espérance mathématique de $X$ est $12 + 16\dfrac{n}{(n + 7)^2}$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $f$  définie sur l'intervalle [0 ; 10]  par
$f(x) = \dfrac{x}{(x + 7)^2}$.

Étudier les variations de $f$.
\item En déduire la valeur de $n$ pour laquelle l'espérance mathématique $X$ est maximale. Calculer celle valeur maximale (on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de pécialité}

\medskip
 
On considère les intégrales I $ = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos ^4 x\:\text{d}x$ et J $ =  \displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin ^4 x\:\text{d}x$.
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que l'intégrale I peut s'écrire :
\[\text{I} =   \int_{0}^{\pi} \cos x \left(\cos x - \cos x \sin ^2 x\right)\:\text{d}x.\]
		\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que
 \[\text{I} = \int_{0}^{\pi} \sin ^2 x \:\text{d}x - \dfrac{1}{3}\text{J}.\]
		\item  Montrer de même que J $=  \displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos ^2 x \:\text{d}x - \dfrac{1}{3}\text{I}$.
	 \end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que I + J $ = \dfrac{3\pi}{4}$.
		\item  Montrer que $\text{J} - \text{I} = 0$
		\item   En déduire les 	intégrales I et J.
	 \end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}
 
\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip
 
Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par :
\[h(x) = \left(3\text{e}^x -  x - 4\right)\text{e}^{3x}.\]

Il semblerait, d'après la représentation graphique de $h$ tracée par ordinateur et donnée ci-après, que l'équation $h(x) = 0$ admette une seule solution dans $\R$. On se propose, dans cette partie, d'étudier la fonction $h$ et d'examiner si le tracé fourni par l'ordinateur donne une information fiable.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $h$ en $- \infty$  (on pourra poser $X =  3x$).
\item  Déterminer la limite de $h$ en $+ \infty$ ;

 (on observera que 	$3\text{e}^x -  x - 4 = \left(3  - \dfrac{x}{\text{e}^x} - \dfrac{4}{\text{e}^x}\right) \text{e}^x$).
\item On note $h'$ la dérivée de $h$. Montrer que $h'(x) =  \left(12\text{e}^x - 3x - 13\right)\text{e}^{3x}$. 
\item  Étude d'une fonction auxiliaire.
 Soit $k$ la fonction définie sur $\R$ par 
 
 $k(x) = 12\text{e}^x - 3x - 13$.
	\begin{enumerate}
		\item  On note $k'$ la fonction dérivée de la fonction $k$.
Étudier le signe de $k'$ sur $\R$.
		\item  Déterminer la limite de $k$ en $+ \infty$.	
		\item  Déterminer la limite de $k$ en $- \infty$.	
		\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $k$.	
	 \end{enumerate}
\item  Étude des variations de la fonction $h$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer qu'il existe un nombre réel négatif $\alpha$ et un seul tel que $k(\alpha) = 0$ et vérifier que $- 4,3 < \alpha < - 4,2$.
		
On admet que l'on peut établir qu'il existe un nombre réel positif $\beta$ et 	un seul tel que $k(\beta)  = 0$ et que $0,1 < \beta < 0,2$.
		\item  En déduire le signe de $k$ sur $\R$ puis le sens de variations de la fonction $h$. \item  Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij{} (unité graphique 	: $1$~cm représente $0,1$ sur l'axe des abscisses et $1$~cm représente $10$ sur l'axe des
ordonnées). Représenter graphiquement la fonction $h$ sur l'intervalle
$[-5~;~-3,9]$.
	\end{enumerate}	
\item  Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $b$ 	dans l'intervalle $]- \infty~ ;~0[$.

Donner un encadrement de $b$ à $10^{- 1}$ près. 
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
	
\textbf{Partie B : Approximation de l'une des solutions de l'équation} \boldmath$h(x) = 0$ \unboldmath

\medskip

On admet qu'il existe un nombre réel $a$ et un seul dans l'intervalle I =  [0~;~1] tel que $h(a) = 0$.
\begin{enumerate}
\item  Justifier que, dans l'intervalle I, l'équation $h(x) = 0$ est équivalente à l'équation $3\text{e}^x  - x - 4 = 0$	  puis à l'équation $x = \ln \left(\dfrac{x+4}{3}\right)$.
\item On considère la fonction $\varphi$ définie sur l'intervalle I par $\varphi(x) = \ln \left(\dfrac{x+4}{3}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout $x \in  \text{I},~\varphi(x) \in  \text{I}$.	
		\item  Montrer que, pour tout $x \in  \text{I},~\left|\varphi '(x)\right| \leqslant \dfrac{1}{4}$.	
		\item  Calculer $\varphi(a)$.	
	\end{enumerate}
\item  On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ d'éléments de I définie pour tout 	$n \in  \N$ par

$u_{0} = 0$ et $u_{n+1} = \varphi\left(u_{n}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout $n \in \N,~ \left|u_{n+1} -a\right| \leqslant \dfrac{1}{4}\left|u_{n} - a\right|$. 		
		\item   Montrer que, pour tout $n \in \N,~\left|u_{n} - a\right| \leqslant \left(\dfrac{1}{4}\right)^n$. 
		\item   En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ converge. Préciser sa limite.
		\item   Déterminer un nombre entier naturel $p$ tel que $u_{p}$ soit une valeur approchée de $a$ à $10^{-4}$ près. 
		
Donner une valeur approchée de $u_{p}$ à $10^{-4}$.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}


\vspace{1cm}
\begin{center}
\psset{unit=1.6cm}
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