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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Sportifs de haut-niveau}}
\rfoot{\small   septembre 1996}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Sportifs de haut-niveau  septembre 1996~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On a mesuré entre 1989 et 19941 l'effet de la pollution sur la population piscicole d'une rivière. 

Les résultats présentés dans le tableau suivant donnent une estimation du nombre $y_{i}$ de poissons, exprimé en milliers, correspondant à l'année dont le rang est $x_{i}$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &1989 &1990 &1991 &1992 &1993 &1994\\ \hline 
$x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 \\ \hline
$y_{i}$& 951,3 &106,7 &96,5 &63,2 &21 &9,4\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item On considère la série statistique double $(x~;~y)$. Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$. Expliquer pourquoi un ajustement linéaire ne paraît pas bien adapté. 
\item On pose $z_{i} = \ln y_{i}$ pour $i \in  \{1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6\}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les nombres $z_{i}$ ; (on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près par défaut).
		\item Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points de la série 
		$\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$. 
		\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de cette série. 
Justifier l'utilisation d'un ajustement affine pour la série $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$. 
		\item Déterminer l'équation de la droite de régression de $z$ en $x$. 
Tracer cette droite sur le graphique de la question b. 
	\end{enumerate}
\item On suppose que l'évolution de cette population se poursuit sur le même modèle. 
	\begin{enumerate}
		\item À partir de quelle année cette population sera-t-elle strictement inférieure à \np{1000} ? 
		\item Donner une estimation de la population de cette rivière en l'an 2000 ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip 

Une entreprise de bateaux propose chaque jour une croisière sur le Rhône. Les relevés météorologiques permettent d'affirmer que, dans la région, l'évènement, noté $B$, \og le temps est au beau fixe \fg{} se réalise $180$~jours par an ; l'évènement, noté $N$, \og le temps est nuageux sans pluie \fg{} se réalise $120$~jours par an ; l'évènement, noté $P$, \og le temps est pluvieux \fg{} se réalise $65$~jours par an. On suppose qu'une année compte $365$~jours.
 
On note $p_{F}(E)$ la probabilité d'un évènement $E$ sachant qu'un évènement $F$ est réalisé. [Cette probabilité se note aussi $p(E/F)$]. 

On donnera les valeurs exactes des probabilités demandées.

Un jour est choisi au hasard.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités $p(B), p(N), p(P)$ pour que, ce jour-là, le temps 	soit respectivement beau, nuageux sans pluie, pluvieux. 
\item Soit $V$ le nombre de billets vendus ce jour-là.
 
On considère les évènements :
 
\[A_{1} : \og 0 \leqslant  V \leqslant 15 \fg{} \quad  	A_{2} : \og 15 < V \leqslant 30 \fg{}  \quad 	A_{3} : \og 30 < V \leqslant 50 \fg{} \]
 
On dispose des renseignements suivants: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&$i = 1$ &$i = 2$ &$i = 3$\\ \hline 
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}Probabilité de $A_{i}$ sachant $B$ &$\dfrac{1}{8}$&$\dfrac{3}{8}$&$\dfrac{4}{8}$\\ \hline 
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}Probabilité de $A_{i}$ sachant $N$ &$\dfrac{2}{8}$&$\dfrac{3}{8}$&$\dfrac{3}{8}$\\ \hline  
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}Probabilité de $A_{i}$ sachant $P$ &$\dfrac{5}{8}$&$\dfrac{2}{8}$&$\dfrac{1}{8}$\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\emph{Exemple de lecture : la probabilité pour que \og $15 < V \leqslant 30$ sachant que $B$ est réalisé \fg{} est égale \`a $\dfrac{3}{8}$} 

Calculer $p\left(A_{1} \cap B\right)$ puis $p\left(A_{1}\right)$. 

De manière analogue, on trouverait $p\left(A_{2}\right) = \dfrac{206}{584}$ et $p\left(A_{3}\right) = \dfrac{229}{584}$, résultat que l'on admettra.
\item On considère que le bilan quotidien de l'entreprise est positif si elle a vendu au moins seize billets.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité pour que le bilan soit positif.
		\item Si le bilan est positif, quelle est la probabilité pour que le temps ait été nuageux ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip  

Une entreprise produit une pièce en grande série. Parmi les pièces produites, 5\,\% sont défectueuses.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité pour qu'une pièce, prélevée au hasard dans le stock, soit défectueuse. 
\item On prélève, au hasard, des échantillons de dix pièces dans le stock. Le nombre de pièces est suffisamment grand pour que la probabilité d'obtenir une pièce défectueuse soit la même à chacun des dix prélèvements. 

Déterminer la probabilité des évènements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item \og il y a exactement 3 pièces défectueuses dans un échantillon \fg{} ; 
		\item \og il n'y a pas de pièce défectueuse dans un échantillon \fg{} ;
		\item \og il y a au moins une pièce défectueuse dans un échantillon \fg.
	\end{enumerate} 
\item On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de pièces défectueuses dans un échantillon de $10$~pièces.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'ensemble des valeurs prises par $X$.
		\item Soit $k$ une de ces valeurs. Exprimer, en fonction de $k$, la probabilité pour  qu'un échantillon contienne exactement $k$ pièces défectueuses. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}		
\end{enumerate}
 
\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère les fonctions $g$ et $h$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[g(x) = x \quad \text{et} \quad  h(x) = x - \dfrac{1}{2} x^2.\] 

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} [unités graphiques
$2$~cm].
 
On note $P$ la courbe représentative de $h$ dans ce repère. 
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $h$. 
\item Déterminer une équation cartésienne de la tangente $D$ à la courbe $P$ au point d'abscisse $0$ et préciser la position relative de $P$ et de $D$.
\item Tracer sur une même figure la courbe $P$ et la droite $D$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \ln ( 1 + x).\]
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère précédent.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
		\item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 
		\item Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$. 
	\end{enumerate}
\item On se propose d'étudier la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $D$. 

Pour cela on considère la fonction $\varphi$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[\varphi(x) = x - \ln (1 + x). \]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $\varphi'$ de $\varphi$. En déduire le sens des variations de $\varphi$.
		\item Calculer $\varphi(0)$. Déterminer enfin le signe de $\varphi$ et interpréter graphiquement le résultat obtenu.
	\end{enumerate} 
\item On se propose d'étudier la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $P$.

Pour cela on considère la fonction $\psi$, définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[\psi(x) = \ln (1 + x) - x + \dfrac{1}{2}x^2.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $\psi'$ de $\psi$. En déduire le sens des variation de $\psi$. 
		\item Calculer $\psi(0)$. Déterminer enfin le signe de $\psi$ et interpréter graphiquement le résultat obtenu.
	\end{enumerate}
\item Placer la courbe $\mathcal{C}_{f}$ dans le repère précédent. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $I = \displaystyle\int_{0}^1  x\:\text{d}x$ et $J = \displaystyle\int_{0}^1 \left(x - \dfrac{1}{2}x^2\right)\:\text{d}x$. 
		\item Soit $A$ l'aire de la partie du plan comprise entre $\mathcal{C}_{f}$ l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$. 

Montrer que : $\dfrac{1}{3} \leqslant  A \leqslant \dfrac{1}{2}$.
	\end{enumerate} 
\item Parmi les fonctions $k$ définies sur $[0~;~+ \infty[$, vérifiant, pour tout $x$ positif, 

$h(x) \leqslant k(x) \leqslant g(x)$, peut-on trouver une fonction strictement décroissante sur $[0~;~+ \infty[$ ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\end{document}