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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small Sportifs de haut--niveau}
\rfoot{\small{octobre 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}   
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Sportifs de haut--niveau octobre 1999~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le repère utilisé est orthonormal : unité 1~cm.

La figure ci-dessous est la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ 
de la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = 1 - \ln x$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(7,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(-1,-2)(7,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(7,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline{->}(0,0)(1,0) \psline{->}(0,0)(0,1)
%\psline(-1,0)(7,0) \psline(0,-2)(0,4)
\psplot[plotpoints=100,plotstyle=curve,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.05}{7}{1  x ln  sub } 
\rput(1.8,0.8){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center} 
L'une des deux fonctions représentées ci-dessous a pour fonction 
dérivée la fonction $f$ dont la représentation graphique est $\mathcal{C}_f$.
\vspace*{1cm}
\begin{center}\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(8,4)

\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(-1,-2)(8,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(8,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(-1,0)(8,0) \psline(0,-2)(0,4)
\psline{<->}(1.718,1.718)(3.718,1.718)
\psline[linestyle=dashed](0,2.718)(0.5,2.718)
\psline[linestyle=dashed](0,1.718)(1.718,1.718)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,2.718)
\psline[linestyle=dashed](2.718,0)(2.718,1.718)
\rput(0.5,-0.4){0,5} \rput(2.71,-0.4){e} \rput(-0.8,1.718){e - 1}
\rput(-0.4,2.718){e}   
\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0.3,3.2)(0.5,2.718)(1,2.2)(2,1.75)(2.718,1.718)(3,1.7)(4,1.5)(5,1)
(6,0)(7,-0.85)(8,-1)
\end{pspicture}\\
 Figure 1\end{center} 
\begin{center} 
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(7,2)

\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(-1,-1)(7,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-1)(7,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linestyle=dashed](0,1.718)(2.718,1.718)
\psline[linestyle=dashed](2.718,0)(2.718,1.718)
\psline{<->}(1.718,1.718)(3.718,1.718)
\rput(2.71,-0.4){e}  \rput(-0.8,1.718){e - 1}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.3}{7}{2 x mul 1 sub x ln x mul sub}
\end{pspicture}\\
 Figure 2\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Justifier que la courbe représentée sur la figure 1 ne peut convenir.

On note $F$ la fonction dont la courbe représentative est tracée figure 2. Que représente la fonction $F$ pour $f$ ?

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer par lecture graphique $F$(e) et $F(1)$.
		\item En déduire l'aire en cm$^2$ de l'ensemble E des points $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ tels que : $1 \leqslant x \leqslant \text{e}$ et $0 \leqslant y \leqslant f(x)$.
	\end{enumerate}

\item Montrer que la tangente à la courbe
 représentative de la fonction $F$ au point d'abscisse 1 passe par 
 l'origine.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la fonction $G$ définie
 sur $]0~;~+\infty$[ par 
 
\[G(x) = -x + \ln x + 2x + k\]

où $k$ est un  réel, a pour dérivée la fonction $f$.
		\item Déterminer le réel $k$ pour que la courbe représentative de $G$ soit celle de la figure 2.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{(obligatoire)}

\medskip

Un enquête faite auprès d'une population comprenant 51\,\% de femmes et  49\,\% d'hommes montre que 20\,\% des femmes et 15\,\% des hommes de cette 
population ne vont jamais au cinéma. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard un individu de
 cette population. Tous les choix sont équiprobables. On note :
  
$F$  l'évènement : \og l'individu choisi est une femme \fg{} ;

$C$  l'évènement : \og l'individu choisi fréquente les salles de cinéma \fg.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité de l'évènement $F \cap C$.
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $C$ est égale à 
\np{0,1755}.
\item Déterminer la probabilité que la personne choisie soit une femme, 
sachant qu'elle ne va jamais au cinéma.
 \emph{(Le résultat sera arrondi à} $10^{-4}$ \emph{près.)}
\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question les résultats
 seront arrondis à} $10^{-4}$ \emph{près}.
 
On  choisit trois individus au hasard dans cette population.

On suppose la population assez nombreuse pour pouvoir considérer que 
l'on répète alors trois fois de manière indépendante l'expérience \og 
choisir au hasard un individu dans la population \fg{} dans des 
conditions identiques. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'aucun des trois individus choisis ne fréquente les salles de cinéma ?
		\item En déduire la probabilité que l'un au moins des individus choisis fréquente les salles de cinéma.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{(spécialité)}

\medskip

Dans un lycée de 810 élèves, les effectifs par niveau sont :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 280 élèves en seconde ;
\item 240 élèves en première ;
\item 220 élèves en terminale ;
\item 70 élèves en BTS.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
  
On a décidé d'interroger chaque jour un groupe de 5 élèves choisis au 
hasard Pour connaître leur opinion concernant les menus à la 
cantine.

\begin{center} 
\textbf{A - Pour une journée}
 \end{center}
\emph{Dans cette partie on ne demande aucun calcul approché.}
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que les 5 élèves interrogés soient des élèves de seconde.
\item Calculer la probabilité que, parmi les 5 élèves interrogés, un, exactement,
soit un élève de première.
\item Calculer la probabilité $p$ pour qu'au moins un élève de BTS soit interrogé.
\end{enumerate} 

\begin{center} 
\textbf{B - On répète l'opération pendant 6 jours de manière indépendante}
\end{center}

\emph{Dans cette partie les résultats seront arrondis à $10^{- 5}$,
près.}
 
Soit $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de jours où au 
moins un élève de BTS est interrogé. Dans tous les calculs on prendra 
\np{0,3643} comme valeur de la probabilité qu'au moins un élève de BTS 
soit interrogé. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité pour que l'évènement : \og au moins un élève de BTS est interrogé \fg{} se produise 4 fois  exactement au cours de ces 6 jours.
\item Calculer la probabilité pour que, au cours de ces 6 jours, aucun élève de BTS ne soit interrogé.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center}

Dans cette partie, on pourra utiliser les fonctions statistiques de 
la calculatrice. Le détail des calculs n'est pas exigé. 

Une étude statistique portant sur la répartition des revenus d'une 
population a donné les résultats suivants : $x$ représente un revenu 
annuel, exprimé en millions de francs, $N$ représente le nombre, 
exprimé en milliers d'individus, dont le revenu est supérieur ou égal 
à $x$.
\begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l |*{6}{ >{\centering \arraybackslash}X|} }\hline 
$x_i$ en millions de F	&0,35 	&0,6 	&0,9 	&1,5 	&2 		&3\\ \hline
$N_i$ en milliers 		&4,448 	&1,359 	&0,557 	&0,181 	&0,148 	&0,039\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Après l'avoir reproduit, compléter
 le tableau suivant, où $z_i$ est l'arrondi à $10^{-2}$ près de $\ln \left(N_i\right)$. 
\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{ |*{7}{ >{\centering \arraybackslash}X|} }\hline
$x_i$&0,35 &0,6 &0,9 		&1,5 &2 		&3\\ \hline
$z_i$&1,49 &    &$-0,59$ 	&    &$-1,91$ 	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Donner le coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(x_i~;~z_i\right)$.
	\end{enumerate}
\item Donner une équation de la droite de régression de $z$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à $10^{- 1}$ près.
\end{enumerate}
 
\begin{center} \textbf{Partie B} \end{center}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~+$\infty$[ 
par :

\[f(x) = \text{e}^{-1,6x +  1,3}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty$[ et déterminer la limite de $f$ en 
 +$ \infty$.
\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal. On prendra 4~cm pour unité graphique.
 
Donner le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 et tracer cette tangente.
\item On définit la fonction $g$ sur  l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = -xf'(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $g(x) = 1,6x\text{e}^{-1,6x + 1,3}$. 
		\item Montrer que la fonction $G$ définie sur $[0~;~+\infty$[ par 

\[G(x) = \left(-x - \dfrac{5}{8}\right)\text{e}^{-1,6x +  1,3}\]

 est une primitive de la fonction $g$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie C} \end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ définie dans la \textbf{partie B} est une bonne modélisation de la situation présentée dans la \textbf{partie A}, c'est-à-dire que : pour tout $x$ de 
 $[0~;~+\infty[$, le nombre, en milliers, d'individus de la population dont le revenu annuel est supérieur ou égal à $x$ millions de francs est égal à $f(x)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre d'individus dont le revenu est supérieur ou  égal à 2 millions de francs.
		\item Déterminer le nombre d'individus dont le revenu est supérieur ou égal à 2 millions de francs et strictement inférieur à 2,5~millions de francs.	
	\end{enumerate}
\item En économie, le nombre R =  $\np{1000}\displaystyle\int_p^q g(x)\:\text{d}x$, où $g$ est la fonction 
définie dans la \textbf{partie B}, représente la somme des revenus annuels des individus dont le revenu annuel, en millions de francs, est compris 
entre $p$ et $q$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la somme des revenus annuels des 
individus dont le revenu annuel est compris entre 2 et 2,5 millions 
de francs.
		\item Calculer le revenu annuel moyen d'un individu de ce groupe.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}