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\usepackage{delarray} % pour les tableaux, charge automatiquement le module array
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% Tapuscrit : Jean-Luc Poncin

%-------- DÉBUT En tête et pied de page ---------

\usepackage{fancyhdr,lastpage} % Latex Companion page 228
\pagestyle{fancy}

\lhead{
{\small
Académie de la Réunion --  Bac STG M-CFE-GSI -- juin 2011 --
Corrigé de l'épreuve de mathématiques
}} % en haut à gauche
% \chead{} % en haut au milieu
\rhead{\thepage} % en haut à droite
% \lfoot{} % en bas à gauche
\cfoot{} % en bas au milieu
% \rfoot{} % en bas à droite

%-------- FIN   En tête et pied de page ---------

\begin{document}

\begin{center}
{ \textbf{Bac STG M-CFE-GSI -- juin 2011 -- Corrigé de l'épreuve de mathématiques
}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} (3 points)}

\begin{enumerate}
\item $f(x)=-x+10+2 \ln x$ \qquad
  $f(1)=-1+10 + 2 \times \ln 1 = 9$ \hfill \fbox{Réponse b}
\item 
  $f'(x)
  =-1+0+2 \times \dfrac{1}{x}
  =-\dfrac{x}{x}+ \times \dfrac{2}{x}
  =\dfrac{-x+2}{x}$ 
  \hfill \fbox{Réponse b}
\item $g(x)=\dfrac{-x+10}{e^x}$ \par
  Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse 0 est égal à $g'(0)$. \par
  On sait que $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$ \par
  Posons : \quad $u(x)=-x+10$ et $v(x)=e^x$ \quad
  alors \quad $u'(x)=-1$ et $v'(x)=e^x$ \par
        $g'(x)
       =\dfrac{(-1) \times e^x - e^x \times (-x+10)}{(e^x)^2}
       =\dfrac{ e^x \times (-1-(-x+10))}{e^{2x}}
       =\dfrac{ e^x \times (-1+x-10))}{e^{2x}}
       =\dfrac{-11+x}{e^x}
       $ \par
  $g'(0)= -11$  \hfill \fbox{Réponse c}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} (5 points)}

\begin{enumerate}
\item L'évènement $\overline{A}$ est défini par : \quad
  \fbox{<< La fiche est celle d'un salarié âgé de plus de 34 ans >>} \par
  et sa probabilité est : \quad $p(\overline{A})=1-p(A) = 1 - 0,3 = \fbox{0,7}$.
\item Arbre de probabilité.

%\bigskip

  \begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{\small $0,3$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\taput{\small $0,48$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{F}$}\tbput{\small $0,52$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{A}$}\tbput{\small $0,7$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\taput{\small $0,23$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{F}$}\tbput{\small $0,77$}
}
}
\end{center}




\item La probabilité demandée est : \quad
  $p(A \cap F)= p(A) \times p_A(F)=0,3 \times 0,48=$ \fbox{0,144}
\item $p(F)=p(A \cap F)+ p(\overline{A} \cap F)
  = 0,144 + p(\overline{A}) \times p_{\overline{A}}(F)
  = 0,144 + 0,7 \times 0,23
  =
  $
  \fbox{0,305}
\item La probabilité demandée est $p_F(\overline{A})$ \par
  $p_F(\overline{A})
  = \dfrac{p(\overline{A} \cap F)}{p(F)}
  = \dfrac{p(\overline{A}) \times p_{\overline{A}}(F)}{p(F)}
  = \dfrac{0,7 \times 0,23}{0,305}
  \approx
  $ 
  \fbox{0,528}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} (6 points)}

\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item Indice des ventes de cigarettes pour l'année 2002 : \quad
  $\dfrac{80529}{82514} \times 100 \approx 97,59434763 \approx$ \fbox{98} \par
  Ventes de cigarettes en 2004. L'indice des ventes est proportionnel aux ventes, donc on effectue ce calcul : \quad
  $\dfrac{82514 \times 67}{100} = 55284,38 \approx$ 
  \fbox{55284 millions d'unités}

  Puisqu'il y a proportionnalité entre les colonnes C et D, on pouvait normalement effectuer des produits en croix sur les lignes 5 et 6 avec l'indice 84 ou sur les lignes 6 et 7 avec l'indice 66, mais les indices 66 et 84 sont arrondis, et cela donne les calculs suivants dont les résultats sont faux : \quad
  $\dfrac{54801 \times 67}{66} \approx 55631$
  $\dfrac{69648 \times 67}{84} \approx 55553$ 


\item Une formule à saisir en D2 à recopier vers le bas est : \par
  \fbox{\textsf{=C3*\$D\$2/\$C\$2}} \hfill ou \hfill 
  \fbox{\textsf{=C3*D\$2/C\$2}}     \hfill ou \hfill 
  \fbox{\textsf{=C3*100/\$C\$2}} \hfill ou \hfill 
  \fbox{\textsf{=C3*100/C\$2}}

  Si, avant de recopier vers le bas on utilise le résultat de la question précédente et que l'on complète la cellule C6 par 55284,38, on peut alors recopier vers le bas la formule suivante : \fbox{\textsf{=C3*D2/C2}}

\item Taux d'évolution du prix des cigarettes entre 2000 et 2009 :
  $\dfrac{5,35-3,20}{3,20} =   0,671875 \approx $ \fbox{67 \%} 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item Puisque le prix des cigarettes augmente de 10 \% par an,
  $u_{n+1} = u_n \times (1 + 0,1) = 1,1 u_n$ \par
  Donc \fbox{la suite $(u_n)$ est géométrique de raison 1,1}
\item $u_n$ en fonction de $n$ : 
  $u_n= u_0 \times b^n$ \quad donc \quad \fbox{$u_n= 5,60 \times 1,1^n$} \par
  Prix d'un paquet de cigarettes en 2020 : l'année 2020 correspond au rang 10, donc on calcule ce qui suit. \qquad $u_{10} = 5,6 \times 1,1^{10} \approx $ \fbox{14,52 \euro{}}.
\item Une formule à saisir en D3 à recopier vers le bas est : \quad
  \fbox{\textsf{=D2*0,96}} \quad ou \quad \fbox{\textsf{=D\$2*0,96$\wedge$B3}}
\item La suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0,96 donc : 
  $v_n=5000\times 0,96^n$ \par
  On cherche le rang $n$ à partir duquel $v_n$ soit inférieur à la moitié de 5000, c'est à dire 2500. On peut faire plusieurs essais ou utiliser la fonction \textit{table} de la calculatrice et on constate que :
  $v_{16} \approx 2602$ et   $v_{17} \approx 2497,9$ \par
  Donc, le nombre de fumeurs aura diminué de moitié à partir du rang 17, c'est à dire \par \fbox{à partir de l'année 2027}. \par
  Le prix d'un paquet de cigarettes sera alors : \quad 
  $u_{17}=5,6\times1,1^{17} \approx $ \fbox{28,31 \euro{}}

\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} (6 points)}

\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item On obtient l'équation : \quad \fbox{$y=9,218x + 66,018$}
\item $\mathcal{D} \ : \ y = 9,2 x + 66$
  \begin{enumerate}
  \item Tracé de la droite $\mathcal{D}$ : voir annexe 2.
  \item Estimation du prix au 1\up{er} janvier 2011 : 
    $9,2 \times 11 + 66 =167,20 \approx$ \fbox{167 \euro{}}. On pouvait aussi obtenir ce résultat graphiquement.
  \item On cherche le rang $x$ tel que $9,2x + 66 > 200$. 
    On peut résoudre cette inéquation graphiquement ou par le calcul, voir ci-dessous. \par
    $9,2x + 66 > 200$ \par
    $9,2x > 200-66$ \par
    $9,2x > 134$ \par
    $x > \dfrac{134}{9,2}$ \par
    Or : $\dfrac{134}{9,2} \approx 14,6$ \quad
    Donc le prix de l'article dépassera 200 \euro{} à partir du rang 15, c'est à dire \fbox{au cours de l'année 2015}.
  \end{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item $\dfrac{153-72}{72} = 1,125 =$ \fbox{112,5 \%}
  \item D'après la réponse précédente, le taux global T est égal à 112,5 \% et il y a 9 évolutions de 2000 à 2009. \par
    Or, le taux moyen $t$ est donné par : \quad $t=(1+T)^{\frac{1}{n}}-1$ \par
    Donc : \quad $t=(1+1,125)^{\frac{1}{9}}-1 \approx 0,087$ \qquad
    Taux moyen : \fbox{8,7 \%}



  \end{enumerate}
\end{enumerate}


\medskip

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item Au 1er janvier 2011 le rang $x$ est égal à 11 et au 1er juillet 2011, le rang $x$ est égal à 11,5. \par
  $f(11) = 72 \times 1,087^{11} \approx 180$ \quad et \quad
  $f(11,5) = 72 \times 1,087^{11,5} \approx 188$ \par
  Donc, selon ce modèle, le prix arrondi à l'unité est, au 1er janvier 2011
  \fbox{180 \euro{}}, et, au 1er juillet 2011 \fbox{188 \euro{}}.
\item Avec la fonction \textit{table} de la calculatrice, 
  on peut constater que : \par
  $f(12,2) \approx 199,2$ \quad et que \quad 
  $f(12,3) \approx 200,9$ \quad et que \quad  
  $f(12,25) \approx 200,05$ \par
  Or : \quad 0,2 an = 0,2 $\times$ 12 mois = 2,4 mois, \qquad
  et \quad 0,25 ans = 0,25 $\times$ 12 mois = 3 mois \par
  donc 12,2 ans correspond à une date du mois de mars 2012 et 12,25 ans correspond au 1er avril 2012.  
  Donc, d'après ce modèle, l'article dépassera pour la 1\up{re} fois 200 \euro{} \par
  \fbox{au cours du mois de mars 2012}.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

Le prix réel au 1\up{er} janvier 2011 est : $153 \times 1,15 = 175,95$

Or, le prix estimé dans la partie A est 167,20 \euro{} et 180 \euro{} dans la partie B. \par
Donc le meilleur modèle est \fbox{celui de la partie B}.

\bigskip

\begin{center}

\textbf{Annexe 2 de l'exercice 4}
\nopagebreak
\medskip

\psset{xunit=8mm,yunit=1mm}
\begin{pspicture}(-2.3,40)(16.5,224)
  \psframe(-2.3,40)(16.5,224) % cadre
  \psgrid[yunit=2mm,gridlabels=0,subgriddiv=1](0,30)(16,110) % grille
  \psset{linewidth=1.5pt}
  \psaxes[Oy=60,Dy=10]{->}(0,60)(16,220)
  % le nuage de points ci-dessous
  \psdots(0,72)(1,79)(2,85)(3,88)(4,97)(5,106)(6,119)(7,132)(8,144)(9,153)
  % la droite d'équation réduite $y=9,218x + 66,018$
  \psplot{0}{16}{9.2 x mul 66 add}
  % deux lignes de rappel pour les questions A-2-b et A-2-c
  \psset{linewidth=2pt,linestyle=dashed}
  \psline(11,60)(11,168)(0,168)
  \psline(14.6,60)(14.6,200)(0,200)
  \rput[t](7.25,50){\textbf{Rang de l'année}}
  \rput[b]{90}(-1.5,140){\textbf{Prix en euros}}
\end{pspicture}
\end{center}


\end{document}