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%Tapuscrit : Denis Vergès, François Hache
%Compilation des Q. C. M. et Vrai-Faux : Erwan Hautot
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
%\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center}
\textbf{QCM et Vrai/Faux - Bac 2018 - TES/TL}

\vspace{0,10cm}
\hrulefill
\end{center}
\vspace{0,25cm}


\textbf{Exercice 1 \hfill Pondichéry - mai 2018}

\medskip

\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). \\
Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.}\index{Q. C. M.}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,5~;~5] par :

\[f(x) = \dfrac{5 + 5\ln x}{x}.\]\index{fonction logarithme}

Sa représentation graphique est la courbe $\mathcal{C}$ donnée ci-dessous dans un repère d'origine O. On
admet que le point A placé sur le graphique est le seul point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$ sur
l'intervalle [0,5~;~5]. On note B le point de cette courbe d'abscisse e.\index{point d’inflexion}

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur cet intervalle.

On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ sa fonction dérivée seconde.


\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(6,7)
\psgrid[unit=1cm,gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(12,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-.25,-0.5)(5.5,6.5)[$x$,-45][$y$,45]
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{0.5}{5}{5 5 x ln mul add x div}
\uput[dl](0,0){O}
\psdots[linecolor=blue](1.649,4.549)(2.718,3.679)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](2.718,3.679)(2.718,0)
\uput[dl](1.649,4.549){\blue A} \uput[dl](2.718,3.679){\blue B}
\uput[d](2.718,0){\blue e}
\uput[u](3.5,3.2){\blue \Large $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

On admet que pour tout $x$ de l'intervalle [0,5~;~5] on a :

\[f'(x) = \dfrac{- 5\ln x}{x^2} \qquad\qquad f''(x) = \dfrac{10\ln x - 5}{x^3}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f'$ est:
	\begin{enumerate}
		\item positive ou nulle sur l'intervalle [0,5~;~5]
		\item négative ou nulle sur l'intervalle [1~;~5]
		\item négative ou nulle sur l'intervalle [0,5~;~1]
	\end{enumerate}
\item  Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point B est égal à :\index{coefficient directeur}
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.~~}$- \dfrac{5}{\text{e}^2}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{10}{\text{e}}$&\textbf{c.~~}$ \dfrac{5}{\text{e}^3}$
\end{tabularx}
\newpage

\item  La fonction $f'$ est:
	\begin{enumerate}
		\item croissante sur l'intervalle [0,5~;~1]
		\item décroissante sur l'intervalle [1~;~5]
		\item croissante sur l'intervalle [2~;~5]
	\end{enumerate}
\item  La valeur exacte de l'abscisse du point A de la courbe $\mathcal{C}$ est égale à :\index{lecture graphique}
	
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.~~} 1,65 &\textbf{b.~~} 1,6 &\textbf{c.~~} $\text{e}^{0,5}$
\end{tabularx}
\medskip

\item  On note $\mathcal{A}$ l'aire, mesurée en unités d'aire, du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 4$. Cette aire vérifie :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.~~} $20 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 30$&\textbf{b.~~} $10\leqslant \mathcal{A} \leqslant 15$&\textbf{c.~~} $5 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 8$
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  Amérique du Nord - Mai 2019}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule réponse choisie.}\index{Q. C. M.}

\begin{enumerate}
\item Un pépiniériste cultive des bulbes de fleurs. La probabilité qu'un bulbe germe, c'est-à-dire qu'il donne naissance à une plante qui fleurit, est de $0,85$.

Il prélève au hasard 20 bulbes du lot. La production est assez grande pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20 bulbes.\index{probabilités}

On peut affirmer que:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad La probabilité qu'au maximum 15 bulbes germent est proche de $0,103$.\\
\hline
\textbf{B.} \quad La probabilité qu'au maximum 15 bulbes germent est proche de $0,067$.\\
\hline
\textbf{C.} \quad La probabilité qu'au minimum 15 bulbes germent est proche de $0,830$.\\
\hline
\textbf{D.} \quad La probabilité qu'au minimum 15 bulbes germent est proche de $0,933$.\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère une fonction $f$ définie sur $[0\,;\,8]$ dont $\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative dessinée ci-dessous:

\begin{center}
\bigskip
\psset{unit=1cm}
\def\xmin {-0.8}   \def\xmax {8.8}
\def\ymin {-0.8}   \def\ymax {5.8}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)[$x$,-110][$y$,200] 
\def\f{x x neg 10 add mul 16 add 8 div}% définition de la fonction
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{8}{\f}
\uput[ul](2,4){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[dl](0,0){$0$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad $8 \leqslant \displaystyle\int_2^4 f(x) \d x \leqslant 9$ \rule[-15pt]{0pt}{0pt}
&
\textbf{B.} \quad $9 \leqslant \displaystyle\int_2^4 f(x) \d x \leqslant 10$\\
\hline
\textbf{C.} \quad $\displaystyle\int_2^4 f(x) \d x =f(4)-f(2)$ \rule[-15pt]{0pt}{0pt}
&
\textbf{D.} \quad $\displaystyle\int_2^4 f(x) \d x = 9$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère la fonction $g$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $g(x)=\ln(x)$.

Une primitive de $g$ sur $]0\,;\,+\infty[$ est la fonction $G$ définie par:\index{primitive}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad $G(x)=\ln(x)$ & \textbf{B.} \quad $G(x)=x \ln(x)$\\
\hline
\textbf{C.} \quad $G(x)= x \ln(x) - x$ & \textbf{D.} \quad $G(x)= \dfrac{1}{x}$ \rule[-10pt]{0pt}{0pt}\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln(x)>0$ est:\index{inéquation}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|X|}\hline
\textbf{A.} \quad $]0\,;\,+\infty[$ & \textbf{B.} \quad $]0\,;\,1[$\\\hline
\textbf{C.} \quad $]1\,;\,+\infty[$ & \textbf{D.} \quad $]\e\,;\,+\infty[$ \\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  Liban - Mai 2018}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez \textbf{sur votre copie} le numéro de la question et indiquerez la seule bonne réponse.}

Pour les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} et \textbf{3.}, on a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ ainsi que deux de ses tangentes aux points d'abscisses respectives 2 et 4.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\def\xmin {-4.8}   \def\xmax {8.8}
\def\ymin {-3.6}   \def\ymax {6.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\def\f{x x x 6 sub mul 4 add mul 32 add 8 div}                           % définition de la fonction
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{\xmin}{\xmax}{\f}
\rput(-2.6,-2.5){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed]{\xmin}{\xmax}{x 2 div}% Tangente en x = 4
\psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed]{\xmin}{\xmax}{x neg 5 add}% Tangente en x = 2
\psdots[dotstyle=+](4,2)(2,3)
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item $f'(4)$ est égal à:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad $2$ & \textbf{B.} \quad $-1$\\
\hline
\textbf{C.} \quad $0,5$ & \textbf{D.} \quad $0$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item $f$ est convexe sur l'intervalle:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad $]-\infty\,;\,2]$ & \textbf{B.} \quad $]-\infty\,;\,0,5]$\\
\hline
\textbf{C.} \quad $[0\,;\,4]$ & \textbf{D.} \quad $[2\,;\,5]$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[0\,;\,5]$ est:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad $-0,1$ & \textbf{B.} \quad $2,5$\\
\hline
\textbf{C.} \quad $2,9$ & \textbf{D.} \quad $14,5$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative de la fonction de densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale et telle que

\[P(X \leqslant 649) \approx \np{0,1587}.\]

On note respectivement $\mu$ et $\sigma$ l'espérance et l'écart-type de cette loi normale.

\begin{center}
\psset{xunit=0.07cm, yunit=200cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {-5}   \def\xmax {165}
\def\ymin {-0.0047} \def\ymax {0.02}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psline(-5,0)(165,0)
\def\m{80}% moyenne 
\def\s{20}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\def\inf{\xmin} \def\sup{60}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue!20]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](80,0)(80,0.4)
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f}
\multido{\n=646+1,\i=0+20}{9}
{
\uput[d](\i,0){\n}
\psline(\i,0.0005)(\i,-0.0005)
}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad $P(X\leqslant 651) \approx \np{0,6587}$ & \textbf{B.} \quad $P( 649  \leqslant X\leqslant 651) \approx \np{0,683}$\\
\hline
\textbf{C.} \quad $\sigma=650$ & \textbf{D.} \quad $\mu=649$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill Centres étrangers - Juin 2018}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions
suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification
n'est demandée. \\
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni
n'enlèvent de point.\\
 Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la
question et indiquerez la seule réponse choisie.}
 
\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x) = \text{e}^{-3x} + \text{e}^2$.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} $f'(x) = - \text{e}^{-3x} + 2\text{e}$ 	&\textbf{B.~~} $f'(x) = -3\text{e}^{-3x}+ \text{e}^2$\\
\textbf{C.~~} $f'(x) = - 3\text{e}^{-3x}$ 		&\textbf{D.~~} $f'(x) = \text{e}^{-3x}$
\end{tabularx}
\medskip

\item  D'après une étude, le nombre d'objets connectés à Internet à travers le monde
est passé de $4$ milliards en 2010 à $15$ milliards en 2017. L'arrondi au dixième
du taux d'évolution annuel moyen est de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} 10,5\,\% &\textbf{B.~~} 68,8\,\%\\
\textbf{C.~~} 39,3\,\% &\textbf{D.~~} 20,8\,\%
\end{tabularx}
\medskip
\item  Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 13$ et
d'écart-type $\sigma = 2,4$. L'arrondi au centième de $P(X \geqslant 12,5)$ est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} 0,58&\textbf{B.~~} 0,42\\
\textbf{C.~~} 0,54&\textbf{D.~~} 0,63
\end{tabularx}
\medskip

\item  Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [14~;~16].
$P(X \leqslant 15,5)$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~}0,97 &\textbf{B.~~} 0,75\\
\textbf{C.~~}0,5&\textbf{D.~~}$\dfrac{1}{4}$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}


\textbf{Exercice 5 \hfill Asie - Juin 2018}

\medskip


\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions
posées, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le
numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.\\ Une réponse exacte rapporte $1$ point; une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}\index{Q. C. M.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour la recherche d'un emploi, une personne envoie sa candidature à $25$ entreprises.

La probabilité qu'une entreprise lui réponde est de $0,2$ et on suppose que ces réponses
sont indépendantes.

Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que la personne reçoive au moins $5$
réponses ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,20 &\textbf{b.~~} 0,62&
\textbf{c.~~} 0,38  &\textbf{d.~~} 0,58
\end{tabularx}
\medskip

\item Pour tout évènement $E$ on note $P(E)$ sa probabilité. $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance $30$ et d'écart type $\sigma$. Alors :\index{loi normale}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $P(X = 30) = 0,5$ &\textbf{b.~~} $P(X < 40) < 0,5$\\
\textbf{c.~~} $P(X < 20) = P(X > 40)$&\textbf{d.~~} $P(X < 20) > P(X < 30)$
\end{tabularx}
\medskip

\item En France, les ventes de tablettes numériques sont passées de $6,2$ millions d'unités en 2014 à 4,3 millions d'unités en 2016. Les ventes ont diminué, entre 2014 et 2016,
d'environ :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 65\,\%&\textbf{b.~~}31\,\% &\textbf{c.~~} 20\,\%&\textbf{d.~~}  17\,\%
\end{tabularx}
\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{Pour les questions 4 et 5, on donne ci-contre
la représentation graphique d'une
fonction $f$ définie sur $\R$.

\item Soit $f'$ la dérivée de $f$ et $F$ une
primitive de $f$ sur $\R$.\index{lecture graphique}
	\begin{enumerate}
		\item $f'$ est positive sur [2~;~4].
		\item $f'$ est négative sur [-3~;~-1]-
		\item $F$ est décroissante sur [2~;~4].
		\item $F$ est décroissante sur [-3~;~-1].
	\end{enumerate}
	
\newpage
\item Une des courbes ci-dessous
représente la fonction $f''$. Laquelle ?}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-5,-3.5)(8,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-3.5)(8,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4.5}{7.2}{x 4 exp 40 div x 3 exp 6 div sub x dup mul 5 div sub 2 x mul add}
\end{pspicture*}
}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.}&\textbf{b.}\\
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-5,-3.5)(8,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-3.5)(8,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4.5}{7.2}{x 5 exp 5 div x 4 exp 1.7 mul sub x 3 exp 2.41667 mul sub x dup mul 39.6 mul add 35 div}
\end{pspicture*}&
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-5,-3.5)(8,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-3.5)(8,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4.5}{7.2}{x 3 exp x dup mul 5 mul sub 4 x mul sub  20 add 10 div}
\end{pspicture*}\\

\textbf{c.}&\textbf{d.}\\
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-5,-3.5)(8,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-3.5)(8,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4.5}{7.2}{x x 3.4 add mul x 4.5 sub mul x 5.5 sub mul  68 neg div}
\end{pspicture*}&
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-5,-3.5)(8,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-3.5)(8,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4.5}{7.2}{x 1.8 sub 2 exp 4 sub 0.35 mul}
\end{pspicture*}\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 6 \hfill  Antilles-Guyane - Juin 2018}

\medskip

\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}\index{Q. C. M.}

\medskip

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-10~;~10]$ par $f(x) = (2x - 3)\text{e}^{-3x}$.\index{fonction exponentielle}

L'équation $f(x) = 0$ admet sur l'intervalle $[-10~;~10]$ :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~~} 0 solution&\textbf{b.~~}1 solution\\
\textbf{c.~~} 2 solutions&\textbf{d.~~}3 solutions ou plus
\end{tabularx}
\medskip

\item  Dans un repère \Oij{} on considère la courbe représentative de la fonction $x \longmapsto \ln (x)$ ; l'équation de sa tangente au point d'abscisse $1$ est :\index{equation de la tangente@équation de la tangente}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $y= 1$ &\textbf{b.~~} $y = x-1$ &\textbf{c.~~} $y = 1- x$ &\textbf{d.~~} $y = x+ 1$
\end{tabularx}
\medskip
\item  Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres $\mu = 25$ et $\sigma = 3$.\index{loi normale}

La meilleure valeur approchée du réel $t$ tel que $P(X > t) = 0,025$ est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $t \approx 0,97$ &\textbf{b.~~} $t \approx 19,12$ &\textbf{c.~~} $t \approx 28$ &\textbf{d.~~} $t \approx 30,88$
\end{tabularx}
\medskip

\newpage
\item  Anne prévoit d'appeler Benoît par téléphone à un moment choisi au hasard entre
8~h 30 et 10~h. Benoît sera dans un train à partir de 9~h pour un trajet de plusieurs
heures.

Quelle est la probabilité qu'Anne appelle Benoît alors qu'il est dans le train ?\index{loi uniforme}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$\dfrac{60}{150}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{2}{3}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{6}{13}$&\textbf{d.~~}$\dfrac{1}{3}$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 7 \hfill Métropole - Juin 2018}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.\\
Reporter sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.\\
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Aucune justification n'est demandée.\\
Les parties \emph{A} et \emph{B} sont indépendantes.}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

Dans un établissement scolaire, 30\,\% des élèves sont inscrits dans un club de sport, et parmi eux, 40\,\% sont des filles. Parmi ceux n'étant pas inscrits dans un club de sport, 50\,\% sont des garçons.

\smallskip

\emph{Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$ et $p(E)$ sa probabilité. Pour tout évènement $F$ de probabilité non nulle, on note $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.}

\medskip
\begin{list}{\textbullet}{On interroge un élève au hasard et on considère les évènements suivants:}
    \item $S$: \og l'élève est inscrit dans un club de sport \fg{}
    \item $F$: \og l'élève est une fille \fg{}  
\end{list}

\begin{minipage}{0.75\linewidth}
La situation est représentée par l'arbre pondéré ci-contre.

\begin{enumerate}
\item La probabilité $p_{\overline{F}}(S)$ est la probabilité que l'élève soit:
\begin{enumerate}
\item inscrit dans un club de sport sachant que c'est un garçon;
\item un garçon inscrit dans un club de sport;
\item inscrit dans un club de sport ou un garçon;
\item un garçon sachant qu'il est inscrit dans un club de sport.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.23\linewidth}
\scalebox{0.8}{
\psset{treesep=.75cm,levelsep=2cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right
{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$S$}\naput{$0,3$}}
	{
	\TR{$F$}\naput{$0,4$}
	\TR{$\overline{F}$}\nbput{}
	}
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{S}$}\nbput{}}
	{
	\TR{$F$}\naput{}
	\TR{$\overline{F}$}\nbput{$0,5$}
	}
}
}% fin du scalebox
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item On admet que $P(F)=0,47$. La valeur arrondie de $P_{F}(S)$ est:

\medskip

\hspace*{1cm}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{XXXX}
\textbf{a.}~~$0,141$ & \textbf{b.}~~$0,255$ & \textbf{c.}~~$0,400$ & \textbf{d.}~~$0,638$
\end{tabularx}

\medskip

\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

Soit $g$ la fonction définie sur $[-1~;~4]$ par $g(x) = - x^3 + 3x^2 - 1$ et $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère.

\begin{enumerate}
\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse 1 a pour équation:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
\textbf{a.}~~$y = - 3x^2 + 6x$ & \textbf{b.}~~$y= 3x-2$ & \textbf{c.}~~$y= 3x - 3$ & \textbf{d.}~~$y = 2x - 1$
\end{tabularx}
\end{center}

\item La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle $[-1~; a]$ est nulle pour:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
\textbf{a.}~~$a=0$ & \textbf{b.}~~$a=1$ & \textbf{c.}~~$a=2$ & \textbf{d.}~~$a=3$
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 8 \hfill  Polynésie - Juin 2018}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0~;~3] par 

\[f(x) = x^2(1 - \ln x).\]

On donne ci-dessous sa courbe représentative $\mathcal{C}$.

\begin{center}
\psset{unit=3cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.4,-1.2)(4,2)
\multido{\n=0.0+0.1}{41}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-1.2)(\n,2)}
\multido{\n=0.0+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,-1.2)(\n,2)}
\multido{\n=-1.2+0.1}{33}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(4,\n)}
\multido{\n=0.0+0.5}{5}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(4,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,-1.2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{3.1}{1 x ln sub x dup mul mul}
\uput[u](0.75,0.8){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On admet que $f$ est deux fois dérivable sur ]0~;~3], on note $f'$ sa fonction dérivée et on admet que sa dérivée seconde $f''$  est définie sur ]0~;~3] par : $f''(x) = - 1- 2 \ln x$.

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée.

Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.\index{Q. C. M.}


\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur ]0~;~3], $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} e &\textbf{b.~~} 2,72 &\textbf{c.~~} $\dfrac{1}{2}\text{e} + 1$
\end{tabularx}
\medskip

\item  $\mathcal{C}$ admet un point d'inflexion d'abscisse :\index{point d’inflexion}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} e &\textbf{b.~~} $\dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}$&\textbf{c.~~} $\sqrt{\text{e}}$
\end{tabularx}
\medskip

\item  Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle ]0~;~3] on a :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $f'(x) = x(1 - 2\ln x)$&\textbf{b.~~} $f'(x)= - \dfrac{2}{x}$
&\textbf{c.~~} $f'(x) = - 2$
\end{tabularx}
\medskip

\item  Sur l'intervalle [1~;~3] :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}$f$ est convexe &\textbf{b.~~} $f$ est décroissante &\textbf{c.~~} $f'$ est décroissante
\end{tabularx}
\medskip

\item  Une équation de la tangente à $\mathcal{C}$  au point d'abscisse e s'écrit :\index{equation de la tangente@équation de la tangente}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $y= -x+ \text{e}$&\textbf{b.~~} $y= - \text{e}x$ &\textbf{c.~~} $y = - \text{e}x + \text{e}^2$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 9 \hfill  Polynésie - Septembre 2018}

\medskip

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Une
justification est attendue.\index{Vrai-Faux}

\bigskip

\textbf{Affirmation A}

\medskip

Un objet subit trois augmentations successives de 10\,\%. Une baisse de 25\,\% suffit à ramener le prix de cet objet en dessous de son prix initial.

\bigskip

\textbf{Affirmation B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln x - \dfrac{1}{x} + 2$ et 
$\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

La tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 passe par le point de coordonnées (2~;~3).\index{equation de la tangente@équation de la tangente}

\bigskip

\textbf{Affirmation C}

\medskip

La valeur exacte de la somme des 12 premiers termes de la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme 4 et de raison $\dfrac{1}{3}$ est : $6\left[ 1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^{13}\right]$.\index{suite géométrique}

\bigskip

\textbf{Affirmation D}

\medskip

Dans un hôtel, le petit déjeuner n'est servi que jusqu'à 10 heures 15 minutes. Pierre, qui réside dans cet hôtel, se lève entre 9 heures et 11 heures.

On admet que l'heure de lever de Pierre est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[9~;~11]$. La probabilité que Pierre ne puisse pas prendre son petit déjeuner est $0,425$.\index{loi uniforme}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 10 \hfill  Antilles-Guyane - Septembre 2018}

\medskip

\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune
justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}\index{Q. C. M.}

\medskip

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\parbox{0.38\linewidth}{\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par

\[f(x) = - 7 x\text{e}^x.\]\index{fonction exponentielle}

Cette fonction admet sur $\R$ une dérivée $f'$ et
une dérivée seconde $f''$.

On donne ci-contre la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative
de la fonction $f$.}\hfill
\parbox{0.58\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-7,-4)(1,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-7,-4)(1,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-7}{0.388}{7 x mul 2.71828 x exp mul neg}
\uput[u](-3.5,0.8){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $F$ une primitive de $f$ sur $\R$, une expression de $F(x)$ peut être :\index{primitive}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $(-7 - 7x)\text{e}^x$ &\textbf{b.~~} $-7\text{e}^x$ &\textbf{c.~~} $- 7x\text{e}^x$ &\textbf{d.~~} $(- 7x + 7)\text{e}^x$
\end{tabularx}
\medskip
\item Soit $A$ l'aire, exprimée en unité d'aire, comprise entre la courbe représentative de $f$,
l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = - 3$ et $x = 0$ . On a :\index{lecture graphique}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$3 < A < 4$ &\textbf{b.~~}$5 < A < 6$ &\textbf{c.~~}$A < 0$ &\textbf{d.~~}$A > 7$
\end{tabularx}
\newpage
\item On a:
	\begin{enumerate}
		\item $f'$ est positive sur l'intervalle $[-6~;~0]$ ;
		\item $f$ est convexe sur l'intervalle $[-1~;~0]$ ;\index{convexité}
		\item $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion pour $x = - 1$ ;\index{point d’inflexion}
		\item $f''$ change de signe en $x = -2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la loi normale $X$ de paramètres $\mu = 19$ et $\sigma = 5$.
\index{loi normale}

\begin{enumerate}[resume]
\item La meilleure valeur approchée de $P(19 \leqslant X \leqslant 25)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,385 &\textbf{b.~~}0,084 &\textbf{c.~~}0,885 &\textbf{d.~~}0,5
\end{tabularx}
\medskip

\item Une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité $P(X \geqslant 25)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$p \approx 0,885$ &\textbf{b.~~} $p \approx 0,115$ &\textbf{c.~~} $p \approx 0,385$ &\textbf{d.~~} $p \approx 0,501$
\end{tabularx}
\medskip

\item  Le nombre entier $k$ tel que $P(X > k) \approx 0,42$ à $10^{-2}$ près est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $k = 19$ &\textbf{b.~~} $k = 29$ &\textbf{c.~~} $k = 20$ &\textbf{d.~~} $k = 14$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 11 \hfill Métropole - Septembre 2018}

\medskip

\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\
 Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse fausse, une réponse multiple ou
l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}\index{Q. C. M.}
 
\medskip

\parbox{0.53\linewidth}{\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme ci-contre :\index{algorithme}

On affecte 3 à la variable $N$.

Que contient la variable $S$, arrondie au dixième, à la fin de l'exécution de
l'algorithme ?
\end{enumerate}}
\hfill
\parbox{0.43\linewidth}
{\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
$v \gets 9$\\
$S \gets 9$\\
Pour $i$ allant de 1 à $N$\\
\hspace{0.5cm}$v \gets 0,75 \times v$\\
\hspace{0.5cm}$S \gets S + v$\\
Fin Pour\\\hline
\end{tabularx}
}

\bigskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 24,6 &\textbf{b.~~} $-25$ &\textbf{c.~~} 27 &\textbf{d.~~} 20,8
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Soit $a$ un réel, l'expression $\dfrac{2\text{e}^{a - 1}}{\left(\text{e}^a\right)^2}$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 1 &\textbf{b.~~} $2\text{e}^{3a - 1}$ &\textbf{c.~~}$\text{e}^{-2}$&
\textbf{d.~~}$\dfrac{2}{\text{e}^{a + 1}}$ 
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\smallskip

Pour les questions 3, 4 et 5, on considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessous.

\smallskip

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $f''$ la fonction dérivée de $f'$.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-7,-0.65)(7,0.65)
\multido{\n=-7+1}{15}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-0.65)(\n,0.65)}
\multido{\n=-0.6+0.2}{7}{\psline[linewidth=0.2pt](-7,\n)(7,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.2]{->}(0,0)(-7,-0.65)(7,0.65)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.2](0,0)(0,0)(7,0.65)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-7}{7}{x x dup mul 1 add div}
\uput[d](-4.5,-0.2){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item Le nombre de solutions dans $[-7~;~7]$ de l'équation $f'(x) = 0$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}0 &\textbf{b.~~}1 &\textbf{c.~~}2 &\textbf{d.~~}3
\end{tabularx}
\medskip

\item Une valeur approchée de la solution de l'équation $f(x) = - 0,3$ sur l'intervalle $[-1~;~6]$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $-3$ &\textbf{b.~~} $-0,3$ &\textbf{c.~~} 0,3 &\textbf{d.~~} 3
\end{tabularx}
\medskip

\item Le nombre de points d'inflexion dans $[- 7~;~7]$ de $\mathcal{C}_f$ est :\index{point d’inflexion}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$0$ &\textbf{b.~~}1 &\textbf{c.~~}2 &\textbf{d.~~} 3
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 12  \hfill Amérique du Sud - Novembre 2018}

\medskip 

\emph{Pour chacune des quatre affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Les quatre affirmations sont indépendantes.}\index{Vrai-Faux} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un caractère est présent dans une population selon une proportion $p = 0,1$.

Dans un échantillon de $400$ personnes, on observe ce caractère sur $78$ individus. 

\medskip

\textbf{Affirmation 1 :} Au seuil de 95\:\%, cet échantillon est représentatif de la population totale pour ce caractère. 

\emph{Rappel : Lorsque la proportion $p$ d'un caractère dans la population est connue, l'intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de 95\:\% d'une fréquence de ce 
caractère obtenue sur un échantillon de taille $n$ est donné par:} \index{intervalle de fluctuation asymptotique}

\[I = \left[p - 1,96 \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96 \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right].\] 

\item Dans une gare, le temps d'attente à un guichet donné, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [1~;~ 7]. 

\medskip

\textbf{Affirmation 2 :} Le temps d'attente moyen à ce guichet est de $4$ minutes. 
\item La fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(x) = x^2$. 

\medskip

\textbf{Affirmation 3 :} La valeur moyenne de $g$ sur l'intervalle $[- 2~;~2]$ est égale à $\dfrac{16}{3}$. 
\item  $x$ désigne un nombre réel négatif. 

\medskip

\textbf{Affirmation 4 :} $\ln \left(\text{e}^{x + 1}\right) - \ln \left(\text{e}^x\right)$ est un nombre positif quel que soit le nombre réel $x$.\index{fonction logarithme}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 13 \hfill Nouvelle Calédonie - Novembre 2018}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte. \\
Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Aucune justification n'est demandée.}\index{Q. C. M.}

\medskip 

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]0~;~5]$ par $f(x) = x\ln (x) + 1$. Pour tout $x \in ]0~;~5]$,\index{fonction logarithme} 
	\begin{enumerate}
		\item $f'(x) = \dfrac{1}{x}$ 
		\item $f'(x) = \dfrac{1}{x}+1 $
		\item $f'(x) = \ln (x) + 2$ 
		\item $f'(x) = \ln (x) + 1$ 
	\end{enumerate}
\item On donne ci-dessous  la courbe $C$ représentant un fonction $g$ sur $[0~;~2]$.

\begin{center}
\psset{xunit=5cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.3)(2.1,3.3)
\multido{\n=0.0+0.2}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,3.3)}
\multido{\n=0.0+1}{3}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,0)(\n,3.3)}
\multido{\n=0.0+0.5}{7}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(2.1,\n)}
\multido{\n=0+1}{2}{\psline[linewidth=0.8pt](0,\n)(2.1,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.2,Dy=0.5](0,0)(0,0)(2.1,3.3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{3 x 3 exp mul 9 x dup mul mul sub 4 div 3 add}
\uput[ur](0.7,2.2){\blue $C$}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item $g$ est concave sur l'intervalle $[0~;~2]$.\index{convexité} 
		\item $g''(x) \geqslant  0$ pour tout $x \in [0~;~2]$. 
		\item La courbe $C$ admet un point d'inflexion sur $[0~;~2]$.\index{point d’inflexion} 
		\item $g'(1) > 0$. 
	\end{enumerate}
\item Soit $I = \displaystyle\int_0^{\ln 2}  3\text{e}^x\:\text{d}x$. On a : 
	\begin{enumerate}
		\item $I = 3 $
		\item $I = 6$ 
		\item $I = - 3$ 
		\item $I = 3\ln (2)$ 
	\end{enumerate}
\item Pour tout évènement $E$, on note $P(E)$ sa probabilité. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre $n = 10$ et $p = 0,3$.\index{loi binomiale} 
	\begin{enumerate}
		\item $P(X = 3) = 120 \times  0,3^2 \times 0,78 $
		\item $P(X = 3) = 12 \times 0,3^3 \times 0,7^7$ 
		\item $P(X \geqslant 1) \approx 0,972$ 
		\item L'espérance de $X$ est $5,15$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
\textbf{Exercice 14 \hfill  Nouvelle Calédonie - Mars 2019}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. \\
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponse est exacte.\\
Une réponse exacte rapporte $0,75$ point, une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.\\
Aucune justification n'est demandée.}\index{Q. C. M.}
 
 \textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.}

\medskip


\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction continue et dérivable sur $]0~;\,+\infty[$ définie par $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$.

La valeur exacte de $f'(\text{e})$ est:\index{dérivée}

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $0$
\item $\dfrac{1}{\e}$
\item $1$
\item $\e^{2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item Entre janvier 2005 et décembre 2012, le prix hors taxe du tarif réglementé du gaz a augmenté de $80\,\%$.

Quel est le taux annuel d'augmentation du prix du gaz sur la même période arrondi à $0,01\,\%$?

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $10\,\%$
\item $7,62\,\%$
\item $6,75\,\%$
\item $8,76\,\%$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite géométrique de raison $q = 1,05$ et de premier terme $u_1=3$.\index{suite géométrique}

La valeur exacte de $S=u_1+u_2+u_3+\cdots+u_{49}$ est égale à:

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $S=\dfrac{1-1,05^{49}}{1-1,05}$
\item $S=3\times \dfrac{1+1,05^{49}}{1+1,05}$

\columnbreak

\item $S=595,280$
\item $S=3\times \dfrac{1-1,05^{49}}{1-1,05}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item Lors du passage en caisse dans un supermarché, on considère que le temps d'attente d'un client, exprimé en minute, suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0~;\,12]$.\index{loi uniforme}

Quelle est la probabilité que le temps d'attente d'un client soit compris entre 2 et 5 minutes?

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{4}$
\item $\dfrac{7}{12}$
\item $\dfrac{1}{12}$
\item $\dfrac{1}{3}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{enumerate}


\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier.\\
Une réponse exacte justifiée rapporte 1 point, une réponse fausse, non justifiée ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}\index{Vrai-Faux}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Lors d'une élection, un candidat sollicite un institut de sondage pour qu'il détermine un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion des intentions de vote en sa faveur.\index{intervalle de confiance}

\medskip

\textbf{Affirmation 1}: Afin que cet intervalle ait une amplitude inférieure ou égale à $0,02$, l'institut de sondage doit interroger au minimum \np{10000} personnes. 

\medskip

\item On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale de moyenne 6.\index{loi normale}

On donne ci-dessous la courbe qui représente la densité $f$ associée à la variable aléatoire $X$.
La partie grisée vaut $0,95$ unité d'aire.

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=50cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-3,-0.01)(16,0.15)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,mue=6,sigma=3]{0}{12}
\psline(12,0)(0,0)
}
\multido{\n=-2+2}{10}{\psline[linestyle=dashed](\n,0)(\n,0.15)}
\multido{\n=0.00+0.02}{8}{\psline[linestyle=dashed](-3,\n)(16,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=0.02]{->}(0,0)(-3,0)(16,0.15)
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,mue=6,sigma=3]{-3}{16}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Affirmation 2}: L'écart type de $X$ est égal à 6.\index{ecart type@écart type}
\end{enumerate}


%\vspace{0,5cm}
\end{document}