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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} 
\lhead{\small Baccalauréat TL spécialité}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small 27 mai 2011}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat TL spécialité Amérique du Nord~\decofourright\\
27 mai 2011} 
\end{center} 

\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Dans un des départements français, il a été établi que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Sur les \np{350000} salariés : 80\,\% sont salariés du secteur privé et 20\,\% sont salariés du secteur public. 
\item[$\bullet~$] Parmi les salariés du secteur privé, 5\,\% sont syndiqués. 
\item[$\bullet~$] Parmi les salariés du secteur public, 15\,\% sont syndiqués.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On choisit une personne au hasard parmi les \np{350000}~salariés.
 
On note $A$ l'évènement \og la personne est salariée du secteur privé \fg, B l'évènement \og la personne est salariée du secteur public \fg, et S l'évènement \og la personne est syndiquée \fg.
 
On note $\overline{S}$ évènement contraire de S.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre pondéré figurant sur l'annexe 1 (à rendre avec la copie). 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité $P(B \cap  S)$, de l'évènement $B \cap S$ est égale à $0,03$. 
		\item  Déterminer la probabilité $p(S)$.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Un journal local annonce que dans ce département \og moins d'un syndiqué sur deux est salarié du public \fg.
 
Commenter cette affirmation. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip
 
La capacité pulmonaire d'une personne est la quantité d'air (mesurée en litres) pouvant être inspirée. 
Dans le cas d'une inspiration forcée, à partir de 10 ans, la capacité pulmonaire (en litres) d'une personne peut être modélisée en fonction de son âge $x$ (en années) par la fonction $f$ définie par 

\[f(x) = \dfrac{110 (\ln x - 2)}{x}.\] 
 
\begin{enumerate}
\item On donne en annexe 2 la courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [10~;~100] dans un repère orthogonal.
 
En utilisant la courbe $(\mathcal{C})$ : 
	\begin{enumerate}
		\item Estimer graphiquement à quel âge la capacité pulmonaire est maximale puis donner cette capacité? 
		\item Estimer graphiquement l'âge à partir duquel un adulte a une capacité pulmonaire inférieure à celle d'un enfant de 10 ans?
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [10~;~100].
		 
Vérifier que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [10 ; 100] 

$f'(x) = 110\dfrac{3 - \ln x}{x^2}$.  
		\item Montrer que si $x \in  \left[10~;~\text{e}^3\right]$ alors $3 - \ln x \geqslant  0$. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [10~;~100]. 
		\item Déterminer la valeur exacte du maximum de $f$ puis la valeur arrondie à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

$n$ désigne un nombre entier naturel.
 
\begin{enumerate}
\item On considère la suite arithmétique $\left(a_{n}\right)$ de premier terme $a_{0} = - 1$  et de raison $\dfrac{5}{11}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $a_{1}$ sous forme de fraction irréductible. 
		\item Exprimer $a_{n}$ en fonction du nombre entier naturel $n$. 
		\item Calculer puis donner l'écriture décimale périodique de $a_{25}$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(b_{n}\right)$ définie par $b_{0} = 0,36$ et pour tout nombre entier naturel $n,~b_{n+1} = 0,01 b_{n}$.
 
Pour tout entier naturel $n$ on pose $S_{n} = b_{0} + b_{1} + \cdots + b_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(b_{n}\right)$ ? 
		\item Justifier que $S_{2} = \np{0,363636}$. 
		\item Montrer que pour tout nombre entier naturel $n,\, S_{n} = \dfrac{4}{11}\left[(1 - (0,01)^{n+1}\right]$.  
		\item En déduire la limite $S$ de la suite $\left(S_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. 
		\item Le nombre $10 + S$ est-il un terme de la suite $\left(a_{n}\right)$ ? Justifier. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip

ABCD est un quadrilatère du plan horizontal dont les diagonales se coupent en P.

G désigne le milieu du segment [CD].
 
Sur la figure donnée en annexe (à rendre avec la copie) le quadrilatère ABCD est représenté en perspective centrale par le quadrilatère \texttt{abcd}.
 
Les points \texttt{a, b, c, d, g} et \texttt{p} représentent respectivement les points A, B, C, D, G et P.
 
La droite $d_{h}$ représente la ligne d'horizon. Les droites (\texttt{ab}) et (\texttt{cd}) coupent la ligne d'horizon au point $f_{2}$ et les droites (\texttt{ad}) et (\texttt{bc}) coupent la ligne d'horizon en $f_{1}$.
 
On laissera apparents les traits de construction. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Que peut-on dire des droites (AB) et (CD) ? Justifier votre réponse. 
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
	\end{enumerate} 
\item Justifier que le point g sur l'annexe 3 (à rendre avec la copie) représente le milieu G du segment 
[CD]. 
\item On considère les points K et L tels que ABKL soit un parallélogramme de centre G. Construire les points \texttt{k} et \texttt{l} qui représentent respectivement les points K et L. 
\end{enumerate} 

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 (Exercice 1)}
 
(à compléter et à rendre avec la copie)

\vspace{2cm}

\psset{unit=2cm,nodesep=2pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$S$}
\TR{}~[tnpos=r]{$\overline{S}$}
 		}
	\pstree{\TR{$B$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$S$}
 \TR{}~[tnpos=r]{$\overline{S}$}
 		}
}
 
\end{center}
\newpage
\begin{landscape}

\begin{center}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(100,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=0.5]{->}(0,0)(100,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=6](0,0)(100,6)
\uput[u](95,0){Âge (en années)}
\uput[r](0,5.75){Capacité pulmonaire (en litres)}
\uput[ur](40,4.2){$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{10}{100}{x ln 2 sub 110 mul x div}
\multido{\n=0+5}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,6)}
\multido{\n=0.0+0.5}{13}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(100,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}
%\end{landscape} 

%\begin{landscape}
\vspace{-2cm}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(25,15)
\psline(0.5,12)(24,12)
\psdots(3.6,12)(15.3,12)(10.75,8)(7.9,9.6)(12.6,9.6)(10.22,9.6)(10,10.3)(11.9,9)%f_{1}f_{2}dacbg
\pspolygon(3.6,12)(10.75,8)(15.3,12)(7.9,9.6)(12.6,9.6)
\psline(10.75,8)(10,10.3)
\uput[d](0.5,12){$d_{h}$} \uput[u](3.6,12){$f_{1}$} \uput[u](15.3,12){$f_{2}$} \uput[d](10.75,8){\texttt{d}} 
\uput[dl](7.95,9.6){\texttt{a}} \uput[dr](12.6,9.6){\texttt{c}} \uput[u](10.1,10.4){\texttt{b}} \uput[dl](10.22,9.6){\texttt{p}} 
\uput[dr](11.86,9){\texttt{g}} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape} 
\end{document}