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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat L juin 2004}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L Amérique du Nord  juin 2004~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

Les exercices 1 et 2 sont obligatoires. Le troisième exercice est à choisir parmi les exercices 3 et 4.
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\textbf{Partie I}

\vspace{0,2cm}

\parbox[l]{0.5\textwidth}{Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle [1 ; 8], strictement décroissante, dont la représentation graphique $\mathcal{C}$ dans un repère orthonormal est donnée ci-contre. La courbe
$\mathcal{C}$ contient les points A(1 ; 2) , B(2 ; 0) et C$(4~;~- 1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  En utilisant la représentation graphique, donner, suivant
les valeurs de $x$, le signe de $f(x)$.

\item  On suppose que, pour tout $x$ de l'intervalle $[1~;~8]$~  $f(x) = - 2 + \dfrac{4}{x}$.

Retrouver par le calcul, le résultat du \textbf{1.}.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox[r]{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.65cm}\begin{pspicture}(0,-3)(8,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(0,-3)(8,3)
\psaxes[Dx=2,Dy=2](0,0)(0,-3)(8,3)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[dl](0,0){$0$} \uput[ur](2,0){B} \uput[dl](4,-1){A}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{8}{4 x div 2 sub}
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle [1~;~8] par : 

\[F(x) = 5 - 2x + 4\ln (x).\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $F$ a pour dérivée la fonction $f$ de la \textbf{partie I}.

\item Étudier les variations de la fonction $F$ sur I'intervalle [1 ; 8], puis dresser son tableau de variations.
\item $\mathcal{C}_{F}$ désigne la courbe représentative de la fonction $F$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques : en abscisses 1 cm, en ordonnées 2~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Soit la droite $\Delta$, tangente à la courbe $\mathcal{C}_{F}$ en son point d'abscisse 1.

Montrer que le coefficient directeur de la droite $\Delta$ est égal à 2.
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_{F}$ et la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Formulaire :}  La dérivée de la fonction $\ln$ sur I'intervalle $] 0~ ;~ + \infty [$ est la fonction qui, à $x$, associe $\dfrac{1}{x}$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip

Un directeur de société engage un jeune technicien et lui propose deux types de rémunération a partir du $1\up{er}$ janvier 2000.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Premier type de rémunération

Pour cette première année 2000, il percevra \np{22400}~euros, puis une augmentation annuelle constante de 750\,euros.

On note $u_{0}$ le salaire en euros pour l'année 2000, $u_{1}$, le salaire en euros pour l'année 2001, et d'une manière générale $u_{n}$ le salaire en euros pour l'année $2000 + n$ (pour $n$ entier naturel).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les salaires annuels $u_{1}$, pour l'année 2001 et $u_{2}$ pour l'année 2002.
		\item Préciser la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ en indiquant sa raison.
		\item Montrer que $u_{n} = \np{22400} + 750 n$.
	\end{enumerate}
\item Deuxième type de rémunération

Pour l'année 2000, il percevra aussi \np{22400} euros, mais ensuite chaque année une augmentation de $3\,\%$ par rapport à l'année précédente. Dans ce cas, on note $v_{n }$ le montant en euros de la rémunération pour l'année $2000 + n$  (pour $n$ entier naturel).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les salaires annuels $v_{1}$, pour l'année 2001 et $v_{2}$ pour l'année 2002.
		\item Montrer que $v_{n+1}  = 1,03 v_{n}$  pour tout $n$. En déduire la nature de la suite $(v_{n })$.
		\item En déduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item Comparaison
	\begin{enumerate}
		\item Calculer dans chacun des deux cas Ie salaire annuel pour l'année 2008.
		\item Pour cette année 2008, préciser Ie type de rémunération Ie plus avantageux.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 au choix } \hfill 6 points}

\medskip

Une urne contient cinq boules bleues, numérotées de 1 à 5, quatre boules vertes numérotées de 1 à 4 et une boule rouge portant le numéro 1.

Ces boules étant indiscernables au toucher, dans chacune des deux parties, les différentes éventualités sont équiprobables.

\textsl{Note : Les probabilités demandées seront présentées sous forme de fractions irréductibles.}

\bigskip

\textbf{Partie 1 : Tirages simultanés}

\medskip

On tire simultanément deux boules

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de tirages possibles.
\item Calculer la probabilité d'obtenir deux boules vertes.
\item Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur.
\item Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule bleue.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie 2 : Tirages successifs}

\medskip

On tire une boule, on note son numéro, puis sans remettre cette première boule tirée dans l'urne, on tire une autre boule et on note aussi son numéro. Avec ces deux numéros ainsi obtenus on forme un entier naturel comportant deux chiffres. Le premier numéro tiré est pris comme chiffre des dizaines et Ie second comme chiffre des unités.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de tirages possibles.
\item Calculer la probabilité d'obtenir l'entier 24.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 au choix } \hfill 6 points}

\medskip

\parbox[l]{0.65\textwidth}{Le but de l'exercice est de construire un pentagone régulier ABCDE inscrit dans un cercle de centre O.\\
On rappelle que, dans ce cas, les angles géométriques $\widehat{\text{AOB}},~ \widehat{\text{BOC}},~ \widehat{\text{COD}},~
\widehat{\text{DOE}}$ et $\widehat{\text{EOA}}$ ont tous pour mesure $72\up{o}$. \\
\textbf{Toutes les constructions demandées seront effectuées à la règle et au compas
 sur la feuille annexe (à rendre avec la copie) si l'exercice 4 est
choisi. Laisser les traits de construction apparents.}\\
MON (donné en annexe) est un triangle rectangle isocèle en M. Les
segments [OM] et [MN] ont pour longueur l'unité.} \hfill
\parbox[l]{0.33\textwidth}{\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\SpecialCoor
\pscircle(0,0){2}
\psline(0;0)(2;5)(2;77)(2;149)(2;221)(2;293)(2;5)
\psline(0;0)(2;5) \psline(0;0)(2;77) \psline(0;0)(2;149)
\psline(0;0)(2;221) \psline(0;0)(2;293)
\rput[ur](0.4;35){O}   \rput[r](2.3;5){A}  \rput[ur](2.3;77){B} 
\rput[ul](2.3;149){C}  \rput[dl](2.3;221){D}  \rput[dr](2.3;293){E}
\end{pspicture}} 

\begin{enumerate}
\item Construire, à la règle et au compas, sur la feuille annexe (à rendre avec la copie si l'exercice 4 est choisi) :
	\begin{enumerate}
		\item la médiatrice $\Delta$ du segment [OM] (on appelle I le milieu de [OM]) ;
		\item le point A, intersection  du  cercle de centre I passant  par N avec la demi-droite [OM).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer IN.
		\item En déduire que OA = $\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer le cercle de centre O passant par A. Placer les points B et E, intersections de ce cercle avec la médiatrice $\Delta$.

On admet que l'angle $\widehat{\text{IOB}}$  a pour mesure $72 \up{o}$.
		\item En déduire que les points A, B et E sont trois sommets d'un pentagone régulier ABCDE inscrit dans le cercle de centre O dont on achèvera la construction.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\begin{center} 

\textbf{Annexe à rendre avec la copie (si l'exercice 4 est choisi)}

\vspace{4cm}

\begin{pspicture}(5, 5)
\pspolygon(0,0)(5,0)(5,5)
\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](5,0){M} \uput[ur](5,5){N} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 