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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Amérique du Sud }}
\rfoot{\small{novembre 2004}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat L  Amérique du Sud novembre 2004 \decofourright}

\vspace{0,25cm}

Épreuve facultative

\end{center} 

\smallskip

\textsc{Durée de l'épreuve : 3 heures} 

\smallskip

\begin{center}\textbf{Le candidat doit traiter les deux premiers exercices 
et}

\textbf{soit l'exercice 3, soit l'exercice 4}\\ \end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire} \hfill 6 points}

\textbf{Rappels}

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item On note $\Phi$ le nombre d'or dont la valeur exacte est 	$\Phi= \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ;
\item $\Phi$  est l'unique nombre positif qui vérifie : $\Phi^2 - \Phi - 
1 = 0.$
\item On dit que deux triangles PQR et STU sont \og semblables \fg{} ou
 \og de même forme~\fg{} si les angles en P, Q, R dans le triangle PQR sont respectivement égaux aux angles en S, T, U dans le triangle STU, ce qui revient a dire que :
$\dfrac{\text{PQ}}{\text{ST}} = \dfrac{\text{PR}}{\text{SU}} = 
\dfrac{\text{QR}}{\text{TU}}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On donne un triangle ABC tel que : BC = 1 , $\widehat{\text{ABC}} = 
72\,\degres$ et $\widehat{\text{BCA}} = 72\,\degres$. (Voir 
l'annexe 1.)

On pose AB = AC $= x$. Le but des questions suivantes est de montrer que 
$x = \Phi$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la mesure en degrés de l'angle
$\widehat{\text{CAB}}$.
		\item Construire à la règle et au compas la bissectrice de l'angle 
$\widehat{\text{ABC}}$. On  explicitera la méthode utilisée.

Cette bissectrice coupe [AC] en M.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les mesures en degrés des angles 
$\widehat{\text{CBM}}$ et $\widehat{\text{CMB}}$.

En déduire que le triangle BCM est isocèle et que BM = 1.
		\item Justifier que les triangles ABC et BCM sont semblables.
		\item En déduire trois rapports de distances égaux.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le triangle BAM est isocèle.
		\item En déduire que : CM $=x - 1$.
	\end{enumerate}
\item D'après les résultats de la question \textbf{2. c.} : 
$\dfrac{\text{AB}}{\text{BC}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{CM}}$.

En déduire que $x$ vérifie $x^2 - x -1  =0$ puis que $x = \Phi$.
\end{enumerate}

\textbf{On appelle triangle d'or tout triangle dont les angles mesurent 
$36\,\degres,~ 72\,\degres$ et $72\,\degres$, c'est-à-dire tout triangle semblable au triangle ABC étudié dans cet exercice, c'est-à-dire tout  triangle dont les longueurs des côtés sont proportionnelles à \boldmath $1,~ \Phi$ \unboldmath et \boldmath$\Phi$\unboldmath.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire}\hfill 7 points}

\textbf{Rappels}

$\bullet~$ $a$ étant une constante réelle, la fonction $x \longmapsto  \ln (ax)$ a pour fonction dérivée 

$x \longmapsto \dfrac{1}{x}$.

$\bullet~$ $x$ et $y$ étant deux réels strictement positifs : $\ln (xy) = 
\ln x + \ln y$ et $\ln \left(\dfrac{x}{y}\right) = \ln x - \ln y$.

$\bullet~$ $x$ étant un réel strictement positif : exp($\ln x) = x$.

\vspace{0,5cm}

Le son se manifeste par des variations de pression de l'air. L'unité 
de mesure de la pression de l'air est le Pascal.

La pression de l'air s'exerce sur le tympan de l'oreille humaine. 
Pour une pression supérieure ou égale à $20 \times 10^{-6}$ Pascals s'exerçant sur
 son tympan, l'oreille humaine perçoit un son dont le niveau se mesure en décibels.

On note $p_0 = 20 \times 10^{-6}$.

Pour une pression de $p$ Pascals s'exerçant sur le tympan, avec $p 
\geqslant  p_0$, le niveau sonore perçu est de $f(p)$ décibels o\`u :

\[f(p) = \dfrac{20}{\ln (10)}\ln \left(\dfrac{p}{p_0}\right), \quad 	
\text{c'est-à-dire} \quad  f(p) = \dfrac{20}{\ln (10)} \ln (50\:000p).\]

\begin{enumerate}
\item Quel est le niveau sonore perçu pour une pression de 2 Pascals ? 
de 0,2 Pascals ? de 0,02 Pascals ?
\item On note $k = \dfrac{20}{\ln 10}$ et I $= [p_0~;~ +\infty[$.

Donc $f$ est la fonction définie sur l'intervalle I par : $f(x)~=~k~\ln 
(\np{50000}x)$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle I.

\begin{enumerate}
\item Préciser la valeur de $f\left(p_0\right)$.
\item Pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle I, calculer $f'(x)$.
En déduire le sens de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle I.

\item Interpréter les résultats du \textbf{a.} et du \textbf{b.} en termes de pression s'exerçant sur le tympan et de niveau sonore perçu.
\end{enumerate}

\item À partir d'un niveau sonore de 120 décibels, on ressent une 
douleur.

Déterminer la pression $p$ correspondant à ce niveau sonore.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à 
l'intervalle I : 
\[f(10x) = k \ln (10) + f(x).\]

\textsl{On en déduit que :} $f(10x) = 20 + f(x)$ \textsl{et on dit que : }\og 
\textsl{le niveau sonore augmente de 20 décibels quand la pression s'exerçant sur le tympan est multipliée par} 10 \fg{}.
	\item Exprimer, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle I, $f(100x)$ en fonction de $f(x)$ et énoncer la propriété du niveau sonore correspondante.
	\end{enumerate}\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Votre choix : Exercice 3 ou exercice 4. Indiquer clairement votre 
choix sur la copie.}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

\textbf{Rappels}

On note $p$(A) la probabilité d'un évènement A, \og A et B \fg{} ou \og A~ $\cap$~ B \fg{} l'intersection de deux évènements A et B.

On note $p_{\text{B}}$(A) la probabilité qu'un évènement A se réalise, sachant qu'un évènement B (de probabilité non nulle) est déjà réalisé. On a : 
$p_{\text{B}}(\text{A}) = \dfrac{p(\text{A} \cap \text{B})}{p(\text{B})} = 
\dfrac{p(\text{A et B}) }{p(\text{B})}$.

\vspace{0,5cm}

On dispose de deux urnes numérotées 1 et 2.

L'urne 1 contient une boule blanche et une boule noire.

L'urne 2 contient deux boules noires et une boule blanche.

On réalise l'expérience aléatoire suivante: on tire au hasard une 
boule dans l'urne 1 et on la met dans l'urne 2, puis on tire au hasard une boule dans l'urne 2.

On suppose que tous les tirages sont équiprobables.

On note :

N$_{1}$ l'évènement:  \og La boule tirée de l'urne 1 est noire \fg{} ;

B$_{1}$ l'évènement : \og La boule tirée de l'urne I est blanche \fg{} ;

N$_{2}$ l'évènement : \og La boule tirée de l'urne 2 est noire \fg{} ;

B$_{2}$ l'évènement : \og La boule tirée de l'urne 2 est blanche \fg{}.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Donner les valeurs de $p(\text{B}_{1})$ et 
$p(\text{N}_{1})$.
\item Montrer que $p_{\text{B}_{1}}\left(\text{B}_{2}\right) = 
\dfrac{1}{2}$.

De la même façon donner les valeurs de 
$p_{\text{B}_{1}}\left(\text{N}_{2}\right),~p_{\text{N}_{1}}\left(\text{B}_{2}\right)$
et $p_{\text{N}_{1}}\left(\text{N}_{2}\right)$.
\item Compléter l'arbre de probabilités donné en \textbf{annexe 2}.
\item Calculer $p\left(\text{B}_{1} ~\text{et B}_{2}\right)$.
\item Montrer que $p\left(\text{B}_{2}\right) = \dfrac{3}{8}$ puis calculer 
$p\left(\text{N}_{2}\right)$.
\item Sachant qu'on vient de tirer une boule blanche dans l'urne 2, 
quelle est la probabilité qu'on ait tiré auparavant une boule blanche dans l'urne 1 ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Votre choix : Exercice 3 ou exercice 4. Indiquer clairement votre 
choix sur la copie.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\medskip

\textsl{Une année bissextile compte} 366 \textsl{jours et une année non bissextile} 365 \textsl{jours.}

\textsl{Une année est bissextile si son \og numéro \fg{} est divisible par 4 sauf s'il s'agit d'un siècle.}

\textsl{Les siècles, années dont le \og numéro \fg{} se termine par deux zéros, ne sont, en général, pas bissextiles sauf si leur \og numéro \fg{} est divisible par} 400.

\textsl{Quelque exemples} : 1996 \textsl{était bissextile,} 1997 
\textsl{ne l'était pas,} 1900 \textsl{non plus mais} 2400 \textsl{le sera}.

\begin{enumerate} 
\item Trouver les deux entiers naturels $a$ et $b$ inférieurs ou égaux à 6 tels  que : $365 \equiv  a\quad  (\text{modulo}~ 7)$ et $366 \equiv b \quad (\text{modulo}~ 7)$.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item En supposant que le premier janvier d'une année non
bissextile soit un lundi, expliquer pourquoi le premier janvier de l'année suivante sera un mardi.
		\item Si le premier janvier d'une année bissextile est un lundi, quel jour de la semaine sera le premier janvier de l'année suivante ?
	\end{enumerate}
\item Une période de quatre années consécutives compte $N = 3 \times 365 + 
1 \times 366$ jours.

Sans calculer $N$, justifier que $N \equiv  5\quad  (\text{modulo}~ 7)$.
\item En supposant que le premier janvier d'une année soit un lundi, quel 
jour de la semaine sera le premier janvier quatre ans plus tard ? Expliquer la réponse.

\textsl{Plus généralement, pour une date donnée, (par exemple le} 
$1\up{er}$ janvier), \textsl{chaque période de} 4 \textsl{années
produit un décalage de cinq jours dans le cycle des jours de la 
semaine}.
\item Compléter le tableau donné en \textbf{annexe 3}. Aucune justification 
n'est demandée.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Expliquer pourquoi l'année 2004 est bissextile.
		\item Sachant que le 29 février 2004 était un dimanche, quel jour de la semaine sera le 29 février 2008 ?

Quel jour de la semaine sera le 29 février 2012 ? Expliquer les réponses.
		\item Quelle sera la prochaine année o\`u le 29 février sera un dimanche ?  Expliquer la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe 1 (à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}

Exercice 1

Unité : 5 cm

\psset{unit=5cm}\begin{pspicture}(1,1.8)
\pspolygon(0,0)(0.5,1.53884)(1,0)
\uput[u](0.5,1.53884){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](1,0){C}
\psarc(0,0){0.1}{0}{72} \psarc(1,0){0.1}{108}{180}
\uput[ur](0.1,0.1){$72\up{o}$}
\uput[ul](0.9,0.1){$72\up{o}$}
\end{pspicture}  
\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe 2 (à rendre avec la copie si vous avez choisi 
l'exercice 3)}

\vspace{1cm}

Exercice 3, question 3

\vspace{1cm}

\begin{pspicture}(11,11)
    
\psline(0,5.5)(3.4,9) \psline(0,5.5)(3.4,2)
\psline(3.8,9)(9.4,10.5) \psline(3.8,9)(9.4,7.5)
\psline(3.8,2)(9.4,3.5) \psline(3.8,2)(9.4,0.5) 
\rput(3.6,9){B$_{1}$}  \rput(3.6,2){N$_{1}$}
\rput(9.6,10.5){B$_{2}$}  \rput(9.6,7.5){N$_{2}$} 
\rput(9.6,3.5){B$_{2}$}  \rput(9.6,0.5){N$_{2}$}
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.75,7.25)(0.8,0.6)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.75,3.75)(0.8,0.6)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](6.2,9.75)(0.8,0.6)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](6.2,8.25)(0.8,0.6)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](6.2,2.75)(0.8,0.6)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](6.2,1.25)(0.8,0.6)
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 3 (à rendre avec la copie si vous avez choisi 
l'exercice 4)} 

\vspace{1cm}

Exercice 4, question 5

\vspace{1cm}

\begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline
\multicolumn{1}{|p{4cm}|}{Nombre de périodes de quatre années} &
\multicolumn{1}{|p{4cm}|}{$J =$ nombre de jours de décalage dans le 
cycle des jours de la semaine} &
\multicolumn{1}{|p{4cm}|}{Reste de la division de $J$ par 7}\\ 
\hline
0&0&0\\ \hline
1&5&5\\ \hline
2&10&3\\ \hline
3 & & \\ \hline
4 & & \\ \hline
5 & & \\ \hline
6 & & \\ \hline
7 & & \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{document}