\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !!! 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{multirow}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\usepackage{tabularx}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès 
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\lfoot{\small Amérique du Sud}
\rfoot{\small 16 novembre 2012}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Amérique du Sud~\decofourright\\16 novembre 2012}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Lors d'une élection, trois candidats, Abel, Bernoulli et Cauchy se sont présentés. Un sondage fait à la sortie des urnes sur \np{1000}~personnes dont 55\,\% sont des femmes donnent les résultats suivants : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] 40\,\% des femmes ont voté pour Abel et 35\,\% des femmes pour Bernoulli. 
\item[ ] 50\,\% des hommes ont voté pour Bernoulli et 30\,\% des hommes pour Cauchy. 
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

On admet que chacune des \np{1000}~personnes a voté pour un des 3 candidats. Parmi ces \np{1000}~personnes, on choisit une personne au hasard. 

On note les évènements suivants :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] $F$ : \og La personne choisie est une femme \fg. 
\item[ ] $H$ : \og La personne choisie est un homme \fg. 
\item[ ] $A$ : \og La personne choisie déclare avoir voté pour Abel \fg. 
\item[ ] $B$ : \og La personne choisie déclare avoir voté pour Bernoulli \fg. 
\item[ ] $C$ : \og La personne choisie déclare avoir voté pour Cauchy \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous: 

\begin{center}
\psset{arrows=->}
\pstree[treemode=R,nodesep=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$F$}\taput{$0,55$}}
	{
	\TR{$A$}\taput{$0,4$}
	\TR{$B$}
	\TR{$C$}
	}
\pstree{\TR{$H$}}
	{\TR{$A$}
	\TR{$B$}
	\TR{$C$}
	}
}
\end{center}

\item Que représente l'évènement $F \cap A$ ? Donner sa probabilité. 
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est $P(A) = 0,31$. 
\item La personne choisie déclare avoir voté pour Abel. Quelle est la probabilité que cette personne soit une femme ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Jambe-De-Bois et deux autres pirates veulent se partager entre $70$ et $90$ pièces d'or.

Quand ils les partagent en trois parts égales il reste $2$ pièces d'or. 

Quand ils les partagent en cinq parts égales, Jambe-De-Bois s'adjugeant $3$ parts et les deux autres pirates une part chacun, il reste 3 pièces.

On se propose de déterminer le nombre $x$ de pièces du trésor. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle donnée de l'énoncé utilise-t-on quand on écrit $x \equiv 2\quad (\text{mod}\:\: 3)$ ? 
		\item Quelle donnée de l'énoncé utilise-t-on quand on écrit $x \equiv 3\quad (\text{mod}\:\: 5)$ ?
	\end{enumerate} 
\item On se propose de résoudre le système  : 

\[(S) \qquad \left\{\begin{array}{l c l}
x& \equiv& 2\quad (\text{mod}\:\: 3)\\
x& \equiv& 3\quad (\text{mod}\:\: 5)
\end{array}\right.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire sur votre copie et compléter le tableau suivant avec des entiers naturels strictement inférieurs à 5 :
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		 
$y\quad  (\text{mod}\:\: 5)$& 0 &1 &2 &3 &4 \\ \hline
$3y + 2 \quad (\text{mod}\:\: 5)$&&&&1& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item En déduire les solutions de l'équation $3y + 2 \equiv 3\quad (\mod 5)$ puis qu'une solution $x$ du système $(S)$ est nécessairement de la forme $x = 15z + 8$ avec $z$ un entier. 
		\item Réciproquement, démontrer que tout entier $x$ de la forme $x = 15z + 8$ avec $z$ entier est une solution du système $(S)$.
	\end{enumerate} 
\item Combien y-a-t-il de pièces dans le trésor ? 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 
Un transporteur, s'occupant de voyages organisés, achète à l'instant $t = 0$ un autocar d'une valeur de $200$~milliers d'euros.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip 

Cette valeur de l'autocar se déprécie. Sa perte de valeur en fonction du temps $t$ est donnée par la fonction $f$ définie par 

\[f(t) = 200\left(1 - \text{e}^{- 0,086t}\right),\]

 où $t$ est mesuré en années et $f(t)$ est exprimé en milliers d'euros.
  
On donne la courbe représentative de la fonction $f$:

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.025cm}
\begin{pspicture}(-1,-20)(20,200)
\multido{\n=0+1}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,200)}
\multido{\n=0+10}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(20,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=50]{->}(0,0)(20,200)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=30,Dy=300](0,0)(-1,-20)(20,200)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{1 2.71828 0.086 x mul neg exp sub 200 mul}
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement au bout de combien d'années l'autocar aura perdu 50\,\% de sa valeur initiale. Faire apparaître les traits de construction sur le graphique donné en annexe 1 (à remettre avec la copie). 
\item Déterminer par le calcul, au bout de combien de temps la valeur de l'autocar aura diminué de 120 milliers d'euros. Le résultat sera arrondi au centième.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On estime que les recettes en milliers d'euros procurées par l'exploitation de cet autocar, hors dépréciation du véhicule, sont données par une fonction notée $g$. Cette fonction est définie pour tout nombre réel $t$ positif, par 

\[g(t) = 150\left(5 + t - 5\text{e}^{0,1t}\right),\]

$t$ mesurant le nombre d'années d'exploitation de l'autocar. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $t \in [0~;~+ \infty[,\: g^{\prime}(t) = 150 \left(1 - 0,5\text{e}^{0,1t}\right)$ où la fonction $g^{\prime}$ est la fonction dérivée de la fonction $g$. 
		\item Étudier le signe de $g^{\prime}(t)$ selon les valeurs de $t$ et construire le tableau de variation de la fonction $g$ (la limite de $g(t)$ en $+ \infty$ n'est pas demandée).
		 
En déduire que les recettes sont maximales pour une valeur $t_{0}$ de $t$ dont on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à l'unité près. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère une table de cuisine parallèle au sol et éclairée par une ampoule notée O.

Sur la figure suivante, on a représenté en perspective cavalière le dessus de la table. L'ombre du point M sur le sol est notée \texttt{m}.

\begin{center}

\end{center} 

Compléter sur l'annexe 2 (à remettre avec la copie), l'ombre de la table sur le sol. 

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On se propose de représenter dans une perspective centrale, une partie du carrelage de cette cuisine composée de 6 carrés représentés ci -dessous : 


\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(3.5,2.5)
\psframe(3,2) \psline(0,1)(3,1)\psline(1,0)(1,2)\psline(2,0)(2,2)
\uput[ul](0,2){A} \uput[u](1,2){B} \uput[u](2,2){C} \uput[ur](3,2){D}
\uput[l](0,1){E} \uput[dl](1,1){F}\uput[dr](2,1){G} \uput[r](3,1){H}
\uput[l](0,0){I} \uput[dl](1,0){J} \uput[dr](2,0){K} \uput[r](3,0){L}    
\end{pspicture}
\end{center} 

 Dans cette perspective centrale, le point A est représenté par \texttt{a}, le point B, par \texttt{b} et la droite (AD) est une droite frontale.
  
On a représenté en annexe 3 (à remettre avec la copie) la ligne d'horizon, les points de distance \texttt{x} et \texttt{y}, ainsi que les points \texttt{a}, \texttt{c} et \texttt{f}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Tracer la droite (\texttt{af}). Expliquer pourquoi cette droite passe par le point \texttt{x}. 
\item Placer successivement les points \texttt{h}, \texttt{k} et \texttt{i}. 
\item Terminer la figure. 
\end{enumerate} 

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe 1}

\medskip
 
\textbf{(¿ remettre avec la copie)} 

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 3}\end{flushleft}

\vspace{1cm} 

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.03cm}
\begin{pspicture}(-1,-100)(20,200)
\multido{\n=0+1}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-100)(\n,200)}
\multido{\n=-100+10}{31}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(20,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=50]{->}(0,0)(0,-100)(20,200)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=30,Dy=300](0,0)(-1,-100)(20,200)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{1 2.71828 0.086 x mul neg exp sub 200 mul}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe 2}
 
\medskip
 
\textbf{(¿ remettre avec la copie)} 

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 4}
\medskip
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

\vspace{1cm} 

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12.5,7)
\uput[r](12.2,1.88){\texttt{m}}
\pspolygon(2,3)(7,3)(8.4,3.8)(3.4,3.8)
\uput[r](8.4,3.8){M}\uput[u](4.2,5.9){O}
\psdots(12.2,1.88)(4.2,5.9)
%\psline(4.2,5.9)(12.2,1.88)
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe 3}
 
\medskip
 
\textbf{(¿ remettre avec la copie)} 

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 4}
\medskip

\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

\vspace{1cm} 

\begin{pspicture}(10,13.7)
\psline(5,0)(5,13.7)
\psdots(5,1)(5,13)(3.3,2.025)(2.5,2.5)(3.325,6)%yxcfa
\rput{-90}(4.7,1){\texttt{y}} \rput{-90}(4.7,13){\texttt{x}} \rput{-90}(3,2){\texttt{c}} \rput{-90}(2.2,2.5){\texttt{f}} \rput{-90}(3,6){\texttt{a}}
%\psline(2.5,2.5)(5,13)
%\psline(2.5,2.5)(5,1) 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}