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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Antilles juin 2001}
\lfoot{\small{Baccalauréat L facultatif }}
\rfoot{\small{ juin 2001}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L  Antilles juin 2001~\decofourright}}
\end{center}
    
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Au $1\up{er}$ janvier 2000, l'abonnement à internet pour un forfait de $20$~heures était proposé par une société au tarif de $90$~F par mois.

Le tarif est révisé au $1\up{er}$ janvier de chaque année.

On note $P_n$ le prix mensuel (non arrondi) de l'abonnement en francs, au $1\up{er}$ janvier de l'année $(2000 + n)$.

$P_0$ est donc égal à 90.

Une étude de marché envisage $3$ scénarii d'évolution de ce prix.

On donnera tous les résultats demandés arrondis au centime.

\textbf{Question 1 : Premier scénario}

Le prix mensuel de l'abonnement subit une diminution de $10\:\%$ chaque année.

\textbf{a.} Calculer $P_1$ et $P_2$.

\textbf{b.} Exprimer le terme général $P_n$	en fonction de $n$ et calculer $P_{10}$.

\textbf{Question 2 : Deuxième scénario}

On prend comme hypothèse que la suite $\left(P_n\right)$ est arithmétique.

Calculer alors $P_{10}$ sachant que $P_1$ est égal à $85$.

\textbf{Question 3 : Troisième scénario}

On suppose que la suite $\left(P_n\right)$ vérifie pour tout entier naturel $n$ la relation suivante

\[P_{n+1} = 0,8 P_n + 6.\]

\textbf{a.} Calculer $P_1$ et $P_2$.

\textbf{b.} La suite $\left(U_n\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $U_n = P_n - 30$.

Montrer que $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,8$.

\textbf{c.} En déduire $P_n$ en fonction de $n$ et calculer $P_{10}$.\\
\textbf{Question 4 :}

Quel scénario conduit à l'abonnement mensuel le moins cher en 2010 ?

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Une urne contient $4$ boules en or et $3$ boules en acier indiscernables au toucher.

Un joueur tire au hasard simultanément $3$ boules dans cette urne.

Les probabilités demandées seront données sous forme de fractions irréductibles.

\begin{enumerate} 
\item Soit O l'évènement : \og le candidat tire $3$ boules en or \fg{}.

Déterminer la probabilité $p$(O) de cet évènement.

\item Dans cette question, chaque boule en or rapporte $100$~F, chaque boule en  acier rapporte $10$~F.

Soit $X$ la variable aléatoire qui désigne le gain d'un tirage.

	\begin{enumerate} 
		\item Quelles sont les valeurs possibles de $X$ ?
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique E($X$). Donner l'espérance de  gain arrondie au franc.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Dans cette question :}

$\bullet~$ Si le joueur tire $3$ boules en or, il gagne \nombre{1000}~F puis il doit répondre à  une question.

S'il donne la bonne réponse, il double son gain sinon il repart avec \nombre{1000}~F.

On estime que le candidat a $7$ chances sur $10$ de donner la bonne réponse.

$\bullet~$ Si le joueur ne tire pas $3$ boules en or, il ne gagne rien.

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité pour que le candidat gagne \nombre{2000}~F.
		\item La probabilité pour que le joueur gagne \nombre{1000}~F étant égale à 
$\dfrac{6}{175}$ (on ne demande pas de le vérifier),  calculer l'espérance de  gain dans cette question. On arrondira le résultat au franc.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Les deux tracés demandés en partie I question \textbf{6.} et en partie II 
question \textbf{4.}  seront effectués sur des figures séparées. On prendra un repère orthonormal, l'unité graphique étant $1$~cm.
 
\textbf{Partie I}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{8x}{x^2 + 4}.\]

On désigne par ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$.

\begin{enumerate} 
\item Montrer que l'origine du repère est centre de symétrie de la courbe ($\mathcal{C}$).
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item En déduire que la courbe ($\mathcal{C}$) admet une asymptote au voisinage de  $+ \infty$.
		\item Étudier la position de la courbe ($\mathcal{C}$) par rapport à cette asymptote pour les points d'abscisses positives.
 	\end{enumerate} 

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que pour tout réel $x$ on a $f'(x) =  \dfrac{8(4 - x^2)}{(x^2 + 4)^2}$. 
		\item Étudier le sens de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle 
$[0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner une équation de la tangente (T) à la courbe ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse $0$. 
		\item Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif on a : $f(x) < 2x$.
		\item En déduire la position de la courbe ($\mathcal{C}$) par rapport à la droite  (T) pour les points d'abscisse positives.
	\end{enumerate}
\item Déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe ($\mathcal{C}$) et de la droite d'équation $y = 1$ puis en donner les valeurs arrondies au centième.
\item Tracer la droite (T) et la courbe ($\mathcal{C}$).
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Partie II}

\medskip

Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[F(x) = 4\ln \left(\dfrac{x^2 + 4}{4}\right).\]

\begin{enumerate} \item Calculer la limite de $F$ en $- \infty$ et $+ 
\infty$.

\item Montrer que $F$ est la primitive de $f$ qui 
s'annule en $0$.

En déduire les variations de la fonction $F$ sur $[0~;~+ \infty[$.

\item Montrer que l'équation $F(x) = 1$ admet une 
solution unique $\alpha$ dont on donnera une approximation au
centième près.

\item Construire la représentation graphique de la 
fonction $F$ sur $\R$ et placer le réel $\alpha$.

\item Soit $\mathcal{A}$ l'aire de la surface limitée 
par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites 
d'équation $x = 0$ et $x = 2$.

Calculer $\mathcal{A}$, puis en donner une valeur approchée au 
centième près.
\end{enumerate}
\end{document}