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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
    
Le candidat traitera obligatoirement trois exercices

\textbf{OBLIGATOIREMENT} L'exercice 1 et l'exercice 2

\textbf{AU CHOIX :} L'exercice 3 ou l'exercice 4.

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L Antilles--Guyane juin 2004 \decofourright}}

\vspace{0,2 5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1 Obligatoire} \hfill  7 points}

\medskip

\parbox[l]{0.35\textwidth}{La figure ci-contre est le schéma d'un cric de voiture.\\
Celui-ci est constitué d'un losange que l'on peut déformer OABC, le point O étant le point d'appui
sur le sol et le point B étant le point par lequel la voiture est soulevée.\\
Lorsqu'on tourne la manivelle M, les écrous A et C se rapprochent (ou s'éloignent),
ce qui fait monter (ou descendre) l'appui B, selon l'axe (O$y$).} \hfill
\parbox[r]{.6\textwidth}{\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(10,5)
\pspolygon(0.6,2.3)(3.8,4.6)(7,2.3)(3.8,0)
\psline[linestyle=dotted]{->}(0,0)(10,0)
\psline[linestyle=dotted](0,2.3)(10,2.3)
\psline[linestyle=dotted]{->}(3.8,0)(3.8,5.2)
\psline(8.6,2.3)(9,2.3)(9,2.9)(10,2.9)(10,2.3)(10.2,2.3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1.9,0)(5.7,-0.2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3,4.6)(4.6,4.8)
\psline(8.7,2.2)(8.6,2.2)(8.6,2.4)(8.7,2.4)
\uput[ul](0.6,2.3){C} \uput[dr](3.8,4.5){B}
\uput[ur](7,2.3){A} \uput[ur](3.8,0.1){O}
\uput[ul](3.8,2.3){I} \uput[u](9.5,2.9){M}
\uput[u](9.8,0){$x$} \uput[r](3.8,5){$y$}
\multips(0,2.3)(0.3,0){10}{\psline(0,-0.1)(0.2,0.1)}
\multips(5,2.3)(0.3,0){10}{\psline(-0.1,0.1)(0.1,-0.1)}
\end{pspicture}}

\begin{center}On donne : OA = OC = AB = BC =25 cm \end{center}

Dans le repère orthonormal (O$xy$) d'unité un centimètre, $x_{\text{A}}$ désigne 
l'abscisse du point A et varie de 0 à 25.

L'ordonnée du point B est notée $y_{\text{B}}$. Pour $x_{\text{A}} = 0$, on a : $y_{\text{B}}
 = 50$ et pour $x_{\text{A}} = 25$ on a : $y_{\text{B}} = 0$.

Pour que le cric fonctionne correctement, il faut $x_{\text{A}} > 6$ et 
$y_{\text{B}} > 10$.

\begin{enumerate}
 \item 
 	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le théorème de Pythagore dans
 le triangle AIB, trouver une relation entre $x_{\text{A}}$ et 
 $y_{\text{B}}$ et vérifier que $y_{\text{B}} = 2\sqrt{625 -  
 x_{\text{A}}^2}$.
		\item En utilisant la relation trouvée à la question \textbf{a.}, calculer la valeur de $x_{\text{A}}$ lorsque $y_{\text{B}}$ est égal à 10, puis
la valeur de $y_{\text{B}}$ lorsque $x_{\text{A}}$ est égal à 6.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie pour $x$ appartenant à 
l'intervalle [0 ; 25] par 

\[f(x) = 2\sqrt{625 - x^2}.\]

\textsl{On admettra qu'une fonction de type $\sqrt{u}$	où $u$ est une fonction définie et  positive sur un intervalle, a le même sens de variation que $u$ sur cet intervalle.}
	\begin{enumerate}
 		\item Déterminer la dérivée $u'$ de la fonction $u$ définie sur l'intervalle 
$[0~;~25]$ par $u(x) = 625 - x^2$. Étudier le signe de $u'(x)$ quand $x$  varie entre 0 et 25.

En déduire le sens de variation de la fonction $u$ sur l'intervalle [0~;~25].
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. On précisera les valeurs de la fonction aux bornes de l'intervalle.
		\item Tracer la courbe ($\Gamma$) représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 0,5~cm. On précisera sur la courbe les points d'abscisses 18, 20, 22 et 24.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'augmentation $q_1$ de la hauteur $y_{\text{B}}$
 quand l'abscisse $x_{\text{A}}$ passe de 24 à 22. Vérifier ce résultat
sur la courbe ($\Gamma$) en faisant apparaître les constructions effectuées.
		\item Évaluer, à l'aide du graphique en faisant apparaître les traits de construction utiles, l'augmentation $q_2$ de $y_{\text{B}}$ lorsque $x_{\text{A}}$ passe de 22 à 20, puis l'augmentation $q_2$ de $y_{\text{B}}$ lorsque $x_{\text{A}}$ passe de 20 à 18.
		\item Lorsqu'on actionne la manivelle de façon régulière, peut-on dire 
que la voiture monte à une vitesse constante ? Justifiez votre réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  Obligatoire} \hfill   7 points}

\medskip

Deux amies, Agnès et Bénédicte gagnent \np{2000}~\euro à un jeu. Elles partagent cette somme en deux parts égales.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Agnès, qui a déjà \np{3000}~\euro{} d'économies, ajoute ses \np{1000}~\euro{} à ses 
économies et place le total sur un livret d'épargne qui rapporte $3,5\,\%$ d'intérêts par an (intérêts composés).
	
On note $u_0$ le capital placé ($u_0 = \np{4000}),~ u_1$ le capital acquis au bout  d'un an, et plus généralement $u_n$ le capital acquis au bout de $n$ années.

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire la nature de la suite $(u_n)$.
\item Exprimer le terme général $u_n$ en fonction de $n$.
\item Quel sera le capital obtenu au bout de 6 ans ? (On arrondira le 
résultat au centime).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Bénédicte choisit un compte épargne dont le taux mensuel est de 0,25 % 
et choisit d'y ajouter à la fin de chaque mois la somme de 50 \euro. Les intérêts acquis sont capitalisés à la fin de chaque mois.

On note $y_0$ le capital placé ($y_0 = \np{1000}),~ y_1$ le capital acquis au bout 
d'un mois, et plus généralement $y_n$ le capital acquis au bout de $n$ mois.

\begin{enumerate}
\item Calculer $y_1$ et $y_2$ (on arrondira le résultat au centime). Vérifier que $y_3 = \np{1157,89}$.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
\item On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par  $w_{n} = v_n + \np{20000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison  \np{1,0025}. Préciser $w_n$	et exprimer le terme général $w_n$ en fonction de $n$. En déduire $v_n$ en fonction de $n$.
		\item Calculer le capital acquis par Bénédicte au bout de 6 ans (soit 72 
mois). (On arrondira le résultat au centime).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3  au choix} \hfill 6 points}

\medskip

Le célèbre tableau de DAVID : \og Le sacre de Napoléon \fg{} immortalise 
l'évènement du 2 décembre 1804.

Sur la période considérée, toutes les années dont le millésime est 
multiple de 4 sont bissextiles, sauf l'année 1900.

Considérons le 2 décembre 1804 comme le jour de rang 1.

\begin{enumerate}
\item 
 	\begin{enumerate}
		\item Combien y-a-t-il d'années dont le millésime est compris entre 1805 (inclus) et 2003 (inclus) ?
		\item Parmi ces années, montrer qu'il y a 48 années bissextiles.
	\end{enumerate}
\item Prouver que le rang du 1\up{er} janvier 2004 
est \np{72714}.
\item Déterminer l'entier a compris entre 0 et 6 inclus tel que : 
$\np{72714}~ \equiv a$~ (modulo 7).
\item Sachant que le $1\up{er}$ janvier 2004 était un jeudi, recopier et 
compléter le tableau suivant où $k$ désigne un nombre entier :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.9cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang du jour& $7k$ & $7k+1$ & $7k+2$ & $7k+3$ & $7k+4$ & $7k+5$ & $7k+6$\\ \hline
Jour de la semaine& & & & & & & \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\item Quel jour de la semaine, Napoléon $\text{I}\up{er}$ a-t-il été sacré empereur ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4  au choix} \hfill 6 points}

\medskip

Un malade souffrant d'angine va consulter son médecin. L'agent infectieux a 4 chances sur 5 d'être un streptocoque. Le médecin décide de faire des analyses en laboratoire. 

Les techniques de laboratoire comportent des risques d'erreur

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Le streptocoque, lorsqu'il est présent, a 1 chance sur 5 de ne pas être décelé.
\item[$\bullet~$] Le streptocoque, lorsqu'il est absent, a 1 chance sur 10 d'être  décelé par erreur.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note S l' évènement : \og Le streptocoque est présent \fg{} et D 
l'évènement \og Le streptocoque est décelé \fg{}.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, les résultats seront donnés sous forme de fractions 
irréductibles.

Le médecin fait procéder à une première analyse.

\begin{enumerate}
 \item Traduire les données à l'aide d'un arbre pondéré.
Calculer la probabilité de l'évènement : \og Le streptocoque est présent 
et est décelé \fg{}.
\item Montrer que la probabilité $P$(D) que le streptocoque soit décelé est  égale à $\dfrac{33}{50}$.
\item Le streptocoque est décelé. Quelle est la probabilité pour qu'il 
soit présent ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

\textsl{Dans cette partie, les probabilités seront données sous forme décimale,
arrondies au millième.}

Pour confirmer son diagnostic, le médecin fait analyser quatre autres prélèvements faits sur ce patient.

(Les quatre tests sont réalisés dans les mêmes conditions et sont indépendants).

Quelle est la probabilité pour que le streptocoque soit décelé dans exactement trois tests parmi les quatre ?
\end{document}