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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small  Baccalauréat TL }
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat TL Antilles--Guyane juin 1999~\decofourright}

\end{center} 

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Une usine a fabriqué 25 pièces indiscernables, dont 3 présentent un défaut.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard une pièce parmi les 25 pièces fabriquées. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'elle ne soit pas défectueuse. 
		\item  Une personne a besoin de 7~pièces non défectueuses. Combien doit-elle acheter de pièces au minimum pour être certaine de les avoir ? 
	\end{enumerate} 
\item On choisit simultanément 2~pièces au hasard parmi les 25~pièces fabriquées (on suppose que tous les tirages de 2~pièces sont équiprobables). 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir 2 pièces sans défaut ? 
		\item On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque tirage de 2~pièces, associe le nombre de pièces présentant un défaut.

\setlength\parindent{8mm}		
\begin{itemize}
\item Donner la loi de probabilité de X, sous forme de tableau. 
\item Calculer l'espérance mathématique de X. On donnera les résultats sous forme décimale.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip
 
En 1998, le prix d'un magazine de parution annuelle est de 200~F. Chaque année, ce prix augmente de 6\,\%. 
Pour tout entier naturel $n$, on appelle $P_{n}$ le prix de ce magazine l'année (1998 $+ n$). On a donc $P_{0} = 200$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P_{1}$ et $P_{2}$. 
		\item  Montrer que $\left(P_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
		\item  Exprimer $P_{n}$ en fonction de $n$, pour tout $n$ entier naturel. 
	\end{enumerate}
\item Une personne dispose d'un budget annuel de 500~francs pour acheter ce 
magazine. 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\N$ l'inéquation : $1,06^n \geqslant 2,5$. 
		\item À partir de quelle année ne lui sera-t-il plus possible d'acheter le magazine ? 
	\end{enumerate}
\item On dispose d'un abonnement à tarif préférentiel : le magazine de l'année 1998 ($n = 0$) à l'année 2007 ($n = 9$) pour \np{2500}~francs.
 
Quelle sera l'économie réalisée au bout de ces 10~années si l'on s'abonne plutôt que si on achète le magazine chaque année?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip
 
\textbf{Préliminaire}
 
Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $\ln x < - \dfrac{1}{3}$. 

\medskip

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center}
 
Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty \right[$ telle que : 

\[f(x) =  - x^3 \ln x.\]

On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée de $f$ sur l'intervalle de définition. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ et la valeur exacte de $f\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)$.   
		\item Étudier le signe de la dérivée (on pourra utiliser le résultat de la question préliminaire).

Dresser le tableau de variations de $f$. On donnera la valeur exacte de l'extremum. 
	\end{enumerate} 
\item A est le point de la courbe représentative de $f$ d'abscisse 1. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées de A. 
		\item Donner l'équation de D, tangente à la courbe en A.
	\end{enumerate} 
\item Étudier le signe de $f(x)$ sur $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty \right[$. 
\item Représenter graphiquement sur $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~1,1\right]$ la fonction $f$, le point A et la droite D.
 
Unités : 10~cm pour les abscisses et 50~cm pour les ordonnées.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\begin{center} \textbf{Partie B} \end{center}
 
On définit l'intégrale I par :
 
\[\text{I}(x) = \int_{x}^1 f(t)\:\text{d}t \quad  \text{pour}~~ x \in \left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~1,1\right].\]

et la fonction $g$ par : 

\[g(x) = x^4 - \dfrac{x^4}{4}  \quad  \text{pour}~~ x \in \left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~1,1\right].\]

\begin{enumerate}
\item Que vaut I$(1)$ ?
\item Calculer la dérivée de $g$. En déduire la valeur exacte de I$\left(\dfrac{1}{2}\right)$.
\item Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et la droite d'équation $x = \dfrac{1}{2}$. On en donnera une valeur, en cm$^2$, approchée à $10^{-2}$ près. La représenter sur le graphique de la \textbf{partie A -- 5}. 
\end{enumerate}

\end{document}