\documentclass[a4paper,11 pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts}
\usepackage{}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{pstricks}
%\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pst-text,pst-tree}
\usepackage{pst-plot,xkeyval}
\usepackage{lscape}
\usepackage{pifont}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{diagbox}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{tabularx}
\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
%%%%%%%%%%%%%%Tapuscrit : Claire Lacaze
\textheight 25.2 cm  %25.2cm
\topmargin -3cm %Denis met - 2cm%
\headheight15 mm
\headsep 0 mm
\footskip 10 mm
\parindent 0pt
\textwidth 150 mm
\oddsidemargin -15 mm
\evensidemargin -15 mm
%


\def\({$\displaystyle}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\ang}{\widehat}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\Pa}{//}
\newcommand{\REspace}{(O\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath}\,,\,\vec{k})}
\newcommand{\RE}{(O\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath})}
\newcommand{\dessin}{\includegraphics}
\newcommand{\curs}{\mathcal}


\pagestyle{empty}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
 \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat TL-Enseignement de spécialité~\decofourright\\Antilles-Guyane juin 2007}} 
\end{center}

\vspace*{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 1  \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A.}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0\,;\,10]$ par :

\[f(x)= 55\mathrm{e}^{0,5x}.\]

\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs approchées arrondies à l'unité des nombres $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$ et $f(4)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$.
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\,;\,10]$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre dans l'intervalle $[0\,;\,10]$, l'équation $f(x)= \np{3000}$. On donnera les arrondis à l'unité des solutions éventuelles.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B.}

\medskip

Une étude statistique permet de considérer la fonction $f$ de la partie A comme un modèle satisfaisant pour décrire l'évolution, de 2000 à 2010, de la puissance totale des éoliennes installées en France.

Plus précisément, on suppose que pour l'année ($2000 + x$) où $x$ est un entier naturel, la puissance des éoliennes installées en France, exprimée en mégawatts, est donnée par $f(x)$.

\emph{En utilisant ce modèle et en exploitant les résultats de la partie A, répondre aux questions suivantes en donnant les justifications nécessaires.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle était la puissance totale des éoliennes en 2001 ?
\item En quelle année la puissance totale des éoliennes devrait-elle dépasser \np{3000} mégawatts ?
\item Pourra-t-on atteindre une puissance totale de \np{10000} mégawatts en 2010 ?
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $u_n = 55\mathrm{e}^{0,5n}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\mathrm{e}^{0,5}$.
		\item Dans le modèle étudié la puissance totale des éoliennes augmente donc chaque année d'un même pourcentage. Donner ce pourcentage en arrondissant le taux au dixième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 2  \hfill 8 points}

\emph{Cet exercice est composé de deux parties indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A.}

Sur chacune des faces d'un cube $ABCDEFGH$, figure un motif carré formé par les milieux des côtés des faces.

\begin{center}
\psset{unit=1.4cm,dotscale=0.1,linewidth=0.6pt}
\begin{pspicture}(-1,-2)(3,1.)
\pstGeonode[PointName=none, PointSymbol=none](0,-2){A}
\pstGeonode[PointName=none, PointSymbol=none](1.6,-2){B}
\pstGeonode[PointName=none, PointSymbol=none](2.6,-0.9){C}
\pstTranslation[PointName=none, PointSymbol=none]{B}{A}{C}[D]
\pstGeonode[PointName=none, PointSymbol=none](0,-0.4){E}
\pstTranslation[PointName=none, PointSymbol=none]{A}{E}{B}[F]
\pstTranslation[PointName=none, PointSymbol=none]{A}{E}{C}[G]
\pstTranslation[PointName=none, PointSymbol=none]{A}{E}{D}[H]
\pstMiddleAB[PointName=none, PointSymbol=none]{A}{B}{I}
\pstMiddleAB[PointName=none, PointSymbol=none]{C}{B}{J}
\pstMiddleAB[PointName=none, PointSymbol=none]{C}{D}{K}
\pstMiddleAB[PointName=none, PointSymbol=none]{D}{A}{L}
\pstMiddleAB[PointName=none, PointSymbol=none]{E}{F}{M}
\pstMiddleAB[PointName=none, PointSymbol=none]{F}{G}{N}
\pstMiddleAB[PointName=none, PointSymbol=none]{G}{H}{O}
\pstMiddleAB[PointName=none, PointSymbol=none]{H}{E}{P}
\pstMiddleAB[PointName=none, PointSymbol=none]{A}{E}{Q}
\pstMiddleAB[PointName=none, PointSymbol=none]{B}{F}{R}
\pstMiddleAB[PointName=none, PointSymbol=none]{C}{G}{S}
\pstMiddleAB[PointName=none, PointSymbol=none]{D}{H}{T}


\pstLineAB{A}{B}
\pstLineAB{B}{C}
\pstLineAB{A}{E}
\pstLineAB{B}{F}
\pstLineAB{C}{G}
\pstLineAB{E}{F}
\pstLineAB{F}{G}
\pstLineAB{G}{H}
\pstLineAB{H}{E}
\pstLineAB{I}{R}
\pstLineAB{R}{M}
\pstLineAB{M}{Q}
\pstLineAB{Q}{I}
\pstLineAB{J}{S}
\pstLineAB{S}{N}
\pstLineAB{N}{R}
\pstLineAB{R}{J}
\pstLineAB{M}{N}
\pstLineAB{N}{O}
\pstLineAB{O}{P}
\pstLineAB{P}{M}

\pstLineAB[linestyle=dashed]{I}{J}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{J}{K}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{K}{L}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{L}{I}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{S}{O}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{O}{T}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{T}{K}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{K}{S}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{T}{P}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{P}{Q}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{Q}{L}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{T}{L}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{A}{D}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{D}{C}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{D}{H}

\end{pspicture}
\end{center}

On donne en annexe la représentation en perspective centrale du cube $ABCDEFGH$, dont la face $ABFE$ est située dans un plan frontal. Le carré inscrit dans la face $ABFE$ y est représenté. 

Les images des points $A$, $B$, $C$ \ldots sont notés en lettres miniscules a, b, c \ldots

La droite (p) est la ligne d'horizon.

\emph{Les constructions demandées seront réalisées sur la feuille annexe 1, à rendre avec la copie.}

\emph{On laissera apparents les traits de construction utiles.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point de fuite principal r.
		\item Construire les deux points de distances s et t.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire l'image i du milieu $I$ du segment $[CG]$.
		\item Construire l'image j du milieu $J$ du segment $[BC]$.
		\item Proposer une vérification de la construction du point j.
		\item Terminer le dessin des carrés figurant sur les deux faces apparentes du cube.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B.}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.4cm,dotscale=0.1,linewidth=0.6pt,fillstyle=solid}
\begin{pspicture}(-1,-2)(3,0.5)
\pspolygon[fillcolor=lightgray](0.8,-2)(1.6,-1.2)(0.8,-0.4)(0,-1.2)
\pspolygon[fillcolor=lightgray](1.6,-1.2)(2.1,-1.45)(2.6,-0.1)(2.1,0.15)
\pspolygon[fillcolor=lightgray](2.1,0.15)(1.8,0.7)(0.5,0.15)(0.8,-0.4)
\pspolygon[fillcolor=lightgray](0.8,-0.4)(1.6,-1.2)(2.1,0.15)
\pspolygon[fillcolor=lightgray](2.1,0.15)(2.6,-0.1)(1.8,0.7)
\pspolygon[fillcolor=lightgray](0.5,0.15)(0,-1.2)(0.8,-0.4)
\pspolygon[fillcolor=lightgray](1.6,-1.2)(0.8,-2)(2.1,-1.45)
\end{pspicture}
\end{center}

Dans un jeu de société, on utilise un dé qui est un solide obtenu en sectionnant un cube, à partir du schéma de la \textbf{partie A}.

Ce dé possède six faces carrées, numérotées de 1 à 6, et huit faces triangulaires, numérotées de 1 à 8.

Le premier joueur lance le dé et il ne peut entamer la partie que si le dé tombe sur une face portant le numéro 6.

On considère que lorsqu'on lance ce dé, la probabilité qu'il tombe sur une face carrée est \(\frac{4}{5}$ et la probabilité qu'il tombe sur une face triangulaire est \(\frac{1}{5}$.

De plus, on suppose que tous les numéros des faces carrées ont la même probabilité d'apparition et que  tous les numéros des faces triangulaires ont la même probabilité d'apparition.

On note C l'évènement \og le dé tombe sur une face carrée \fg\,  et T l'évènement \og le dé tombe sur une face triangulaire \fg . On a donc les probabilités suivantes : \(\text{p}(C)=\frac{4}{5}$ et \(\text{p}(T)=\frac{1}{5}$.

On note S l'évènement \og le dé tombe sur une face portant le numéro 6 \fg\, et $\overline{\text{S}}$ l'évènement contraire de S.

\emph{Tous les résultats demandés dans cette partie seront donnés sous forme de fraction irréductible}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre pondéré figurant sur la feuille annexe 2, \textbf{à rendre avec la copie}.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité $\text{p}(\text{S}\cap \text{C})$ de l'évènement $\text{S}\cap \text{C}$.
		\item Déterminer la probabilité $\text{p}(\text{S})$ de l'évènement S.
	\end{enumerate}
\item Sachant que le premier joueur a obtenu un 6, quelle est la probabilité que le dé soit tombé sur une face carrée ?
\item Soit H l'évènement \og le dé tombe sur une face portant le numéro 8 \fg, calculer la probabilité de H.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 3  \hfill 6 points}

\medskip
 
Pour tout entier naturel $n$, on pose : $A(n)=n^2-n+\np{2007}$.
 
Le but de l'exercice est d'étudier la divisibilité des entiers $A(n)$ par $2$ et par $3$.
 
\emph{Cet exercice est composé de deux questions indépendantes.}
 
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre $A(1)$ égal à $2007$.
		\item Soit $n$ un entier naturel. Démontrer que : \og Si $n$ est divisible par $3$, alors $A(n)$ est divisible par $3$ \fg.
		\item La réciproque de cette dernière affirmation est-elle vraie ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, quel que soit l'entier naturel $n$, on a :

\[(n + 1)^2-(n + 1)+\np{2007}=(n^2 - n + \np{2007}) + 2n.\]

		\item On considère un entier naturel $n$ quelconque. Démontrer que : \og Si $A(n)$ est impair, alors $A(n+1)$ est impair \fg .
		\item L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
\begin{center}
\og Il existe au moins un entier naturel $n$ tel que $A(n)$ soit divisible par $2$ \fg .
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\Large{ANNEXE 1  à rendre avec la copie}}

\medskip

\psset{unit=1cm,dotscale=0.1,linewidth=0.6pt}
\rotateright{\begin{pspicture}(-5,-2)(17.5,12)
\pstGeonode[PosAngle=-135,](0,0){a}
\pstGeonode[PosAngle=-45,](5.3,0){b}
\pstGeonode[PointName=none, PointSymbol=none](9.5,10.6){w}
\pstGeonode[PosAngle=-60,](5.3,5.3){f}
\pstGeonode[PosAngle=180,](0,5.3){e}
\pstGeonode[PointName=none, PointSymbol=none](0,7.4){z}
\pstGeonode[PointName=none, PointSymbol=none](5,7.4){x}
\pstInterLL[PosAngle=0]{f}{w}{z}{x}{g}
\pstInterLL[PosAngle=90]{e}{w}{z}{x}{h}
\pstTranslation[PointName=none, PointSymbol=none]{f}{b}{g}[y]
\pstTranslation[PointName=none, PointSymbol=none]{f}{b}{h}[t]
\pstInterLL[PosAngle=-45]{b}{w}{g}{y}{c}
\pstInterLL[PosAngle=-25]{a}{w}{h}{t}{d}
\psline(-4.7,10.6)(17.2,10.6)
\pstMiddleAB[PointName=none, PointSymbol=none]{a}{b}{Q}
\pstMiddleAB[PointName=none, PointSymbol=none]{b}{f}{R}
\pstMiddleAB[PointName=none, PointSymbol=none]{f}{e}{S}
\pstMiddleAB[PointName=none, PointSymbol=none]{e}{a}{T}

\rput(-3,10.3){[p]}
\pstLineAB{a}{b}
\pstLineAB{b}{c}
\pstLineAB{c}{g}
\pstLineAB{g}{f}
\pstLineAB{f}{b}
\pstLineAB{e}{f}
\pstLineAB{a}{e}
\pstLineAB{e}{h}
\pstLineAB{h}{g}

\pstLineAB[linestyle=dashed]{a}{d}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{d}{c}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{d}{h}

\psset{linewidth=0.9pt}
\pstLineAB{Q}{R}
\pstLineAB{R}{S}
\pstLineAB{S}{T}
\pstLineAB{T}{Q}
\end{pspicture}}
\end{center}
\newpage

\vspace*{2cm}

\begin{center}

\textbf{\Large{ANNEXE 2  à rendre avec la copie}}

\vspace{2cm}
\psset{unit=1cm}

\pstree[treemode=R,levelsep=3cm,nodesepB=3mm]{\TR{}}%
{
\pstree[levelsep=3cm,thistreesep=1.5cm,nodesep=3mm]{\Tr{C}} {\Tr{S} \Tr{$\overline{\text{S}}$}}
\pstree[levelsep=3cm,thistreesep=1.5cm,nodesep=3mm]{\Tr{T}} {\Tr{S} \Tr{$\overline{\text{S}}$}}
}
\end{center}
\end{document}