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%%%%%%%Tapuscrit : Claire Lacaze%
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\thispagestyle{empty}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L-Enseignement de spécialité~\decofourright\\Centres étrangers juin 2007}} 
\end{center}

\vspace*{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 1  \hfill 6 points}

\medskip

Le but de cet exercice est de montrer, par deux méthodes différentes, que pour tout nombre entier naturel $n$, le nombre $n^3 + 5n$ est divisible par $6$.

\medskip

\emph{Première méthode}
\begin{enumerate}
\item Montrer que tout nombre entier naturel $n$ est congru, modulo $6$, à $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ ou $5$.
\item Recopier et compléter le tabbleau suivant avec des nombres entiers naturels inférieur ou égaux à $5$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
\hline
$n\equiv \, \ldots \, (\mod{6})$&\makebox[8mm]{$0$}&\makebox[8mm]{$1$}&\makebox[8mm]{$2$}&\makebox[8mm]{$3$}&\makebox[8mm]{$4$}&\makebox[8mm]{$5$}\\\hline
$n^3 \equiv \, \ldots \, (\mod{6})$&&&&&&\\\hline
$5n \equiv \, \ldots \, (\mod{6})$&&&&&&\\\hline
$n^3+5n \equiv \, \ldots \, (\mod{6})$&&&&&&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item En déduire que pour tout nombre entier naturel $n$, le nombre $n^3+5n$ est divisible par $6$.
\end{enumerate}

\medskip

\emph{Deuxième méthode}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout nombre entier naturel $n$, $n(n+1)$ est pair. En déduire que pour tout nombre entier naturel $n$, $3n(n+1)$ est divisible par $6$.
\item On admet que $(n+1)^3+5(n+1)=(n^3+5n)+3n(n+1)+6$.
Montrer que si pour un nombre entier naturel $n$, $n^3+5n$ est divisible par $6$, alors $(n+1)^3+5(n+1)$ est divisible par $6$.
\item Que reste-t-il à vérifier, pour en déduire que $n^3+5n$ est divisible par $6$, pour tout nombre entier naturel $n$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 2  \hfill 4 points}

\medskip

Pour chacune des quatre affirmations, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant le choix effectué.
Chaque question est notée sur un point, avec la règle suivante :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
\item Une mauvaise réponse n'enlève pas de point.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ définie sur $\R$ par \(f(x)=\mathrm{e}^{-2x+1}$ est décroissante sur $\R$.
\item L'équation \(\frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}=\frac{4}{3}$ a une solution dans $\R$.
\item La suite définie, pour tout nombre entier naturel $n$, par $u_n = 1+\frac{1}{2}+\cdots + \left(\frac{1}{2}\right)^n$ tend vers $2$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
\item Pour tout nombre réel $x$ on a $1,01^x < \np{1000000}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3  \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau suivant donne la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à $100$ :

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{13}{c|}}
\hline
\makebox[5mm]{$2$}&\makebox[5mm]{$3$}&\makebox[5mm]{$5$}&\makebox[5mm]{$7$}&\makebox[5mm]{$11$}&\makebox[5mm]{$13$}&\makebox[5mm]{$17$}&\makebox[5mm]{$19$}&\makebox[5mm]{$23$}&\makebox[5mm]{$29$}&\makebox[5mm]{$31$}&\makebox[5mm]{$37$}&\makebox[5mm]{$41$}\\\hline
\makebox[5mm]{$43$}&\makebox[5mm]{$47$}&\makebox[5mm]{$53$}&\makebox[5mm]{$59$}&\makebox[5mm]{$61$}&\makebox[5mm]{$67$}&\makebox[5mm]{$71$}&\makebox[5mm]{$73$}&\makebox[5mm]{$79$}&\makebox[5mm]{$83$}&\makebox[5mm]{$89$}&\makebox[5mm]{$97$}&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

Une urne A contient $50$ boules indicernables au toucher, numérotées de $1$ à $50$.

Une deuxième urne B contient $50$ boules indicernables au toucher, numérotées de $51$ à $100$.

Un jeu consiste à lancer un dé cubique non pipé portant deux faces numérotées $1$ et quatre faces numérotées $2$, puis à tirer au hasard une boule, avec la règle suivante :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item Si la face obtenue porte le numéro $1$, on choisit la boule dans l'urne A.
\item Si la face obtenue porte le numéro $2$, on choisit la boule dans l'urne B.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Dans la suite, on note $A$ l'évènement \og la boule choisie provient de l'urne A \fg , on note $B$ l'évènement \og la boule choisie provient de l'urne B \fg{} et on note $R$ l'évènement \og le nombre écrit sur la boule est un nombre premier \fg .

On donnera les valeurs exactes des probabilités demandées.

On joue à ce jeu.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que la boule choisie provienne de l'urne A ?

Quelle est la probabilité que la boule choisie provienne de l'urne B ? 
\item Justifier que la probabilité que la boule porte un nombre premier, sachant qu'elle provient de l'urne A est $0,3$.

Quelle est la probabilité que la boule porte un nombre premier, sachant qu'elle provient de l'urne B ?
\item Montrer que la probabilité d'obtenir une boule portant un nombre premier en jouant à ce jeu est $p(R)=\frac{7}{30}$. Pour répondre à cette question, on pourra s'aider d'un arbre de probabilités.
\item Léo joue une partie et obtient une boule portant un nombre premier. Quelle est la probabilité que cette boule provienne de l'urne A ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 4  \hfill 5 points}

\medskip

La feuille annexe 1 présente le dessin en perspective parallèle d'un cube ABCDEFGH d'arête $\ell$, sur lequel est posé un deuxième cube IJKHPQRS d'arête \(\frac{\ell}{2}$.

Le but de cet exercice est de représenter ces cubes en perspective centrale sur l'annexe 2, sachant que la face \textbf{ABFE} est dans un plan \textbf{frontal}.

Dans tout l'exercice, on notera $a$, $b$, $c$, $\cdots$ \, les images des points A, B, C $\cdots$ \, dans cette perspective centrale.

On veillera à laisser apparentes toutes les traces de construction.

Le barème tiendra compte du soin et de la précision apportés à la construction.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Contruire $abfe$.
		\item Énoncer une propriété de la perspective centrale qui a permis de construire $abfe$.
	\end{enumerate}
\item Construire le point de fuite principal $w$.
\item terminer la construction de $abcdefgh$.
\item Indiquer, sans justifier, ce que représente le point $J$ pour la face EFGH. En déduire la construction de $j$.
\item Terminer la construction de $ijkhpqrs$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large{Annexe 1 de l'exercice 4}}

\medskip

\psset{unit=1cm,dotscale=0.1,linewidth=0.65pt}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,19)
\pstGeonode[PosAngle=-135,](0,0){A}
\pstGeonode[PosAngle=-35,](6.6,0){B}
\pstRotation[PointSymbol=none,PointName=none, RotAngle=-122.5]{B}{A}[c]
\pstHomO[PosAngle=-2, HomCoef=0.7576,]{B}{c}[C]
\pstRotation[PosAngle=-5, RotAngle=-90]{B}{A}[F]
\pstRotation[PosAngle=180, RotAngle=90]{A}{B}[E]
\pstTranslation[PosAngle=180]{B}{C}{A}[D]
\pstTranslation[PosAngle=180]{B}{F}{D}[H]
\pstTranslation[PosAngle=0]{B}{F}{C}[G]
\pstMiddleAB[PosAngle=45]{H}{G}{K}
\pstMiddleAB[PosAngle=-45]{H}{F}{J}
\pstMiddleAB[PosAngle=180]{E}{H}{I}
\pstHomO[PosAngle=90, HomCoef=1.5]{D}{H}[S]
\pstTranslation[PosAngle=155]{H}{S}{I}[P]
\pstTranslation[PosAngle=90]{H}{S}{J}[Q]
\pstTranslation[PosAngle=45]{H}{S}{K}[R]
\pstLineAB{A}{B}
\pstLineAB{E}{A}
\pstLineAB{A}{D}
\pstLineAB{D}{C}
\pstLineAB{B}{C}
\pstLineAB{D}{S}
\pstLineAB{F}{B}
\pstLineAB{C}{G}
\pstLineAB{E}{F}
\pstLineAB{F}{G}
\pstLineAB{E}{H}
\pstLineAB{H}{G}
\pstLineAB{I}{J}
\pstLineAB{J}{K}
\pstLineAB{I}{P}
\pstLineAB{J}{Q}
\pstLineAB{K}{R}
\pstLineAB{P}{Q}
\pstLineAB{Q}{R}
\pstLineAB{R}{S}
\pstLineAB{S}{P}

\end{pspicture}
\end{center}
\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large{Annexe 2 de l'exercice 4}}

\medskip

\textbf{\Large{(à rendre avec la copie)}}

\medskip

\psset{unit=1cm,dotscale=0.1,linewidth=0.65pt}
\begin{pspicture}(-4.2,-1)(13,18)
\pstGeonode[PosAngle=-135,](0,0){a}
\pstGeonode[PosAngle=-35,](6.6,0){b}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-4,13.9){r}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](12.5,13.9){s}
\pstRotation[PointSymbol=none,PointName=none, RotAngle=-105]{b}{a}[C]
\pstHomO[PosAngle=-2, HomCoef=0.6818]{b}{C}[c]
\rput(0,14.2){Ligne d'horizon}
\pstLineAB{a}{b}
\pstLineAB{r}{s}
\pstLineAB{b}{c}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}