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%tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  L}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Centres étrangers~\decofourright\\ juin 2005 }} 
    
\vspace{0,25cm}

 L'usage d'une calculatrice est autorisé \hfill 3 heures

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Pour chaque question de cet exercice, il s'agit d'indiquer sur votre copie la lettre correspondant à l'unique bonne réponse : aucune justification n'est à rédiger.\\
Chaque bonne réponse rapporte $0,3$ point. Chaque mauvaise réponse enlève $0,25$ point. En cas de total négatif, la note de l'exercice est ramenée à zéro.}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5cm}|c|X|}\hline
\multirow{3}{5cm}{\textbf{1.} \np{49359} est congru à :}&\textbf{a.}&1 modulo 11\\ \cline{2-3}
 	&	\textbf{b.}					&	2 modulo 11\\ \cline{2-3}
	&	\textbf{c.}					&	3 modulo 11\\ \hline
\multirow{3}{5cm}{\textbf{2.}  Si $x$  est congru à 4 modulo $5$ et si $y$ est	congru à 6 modulo 5 alors $x + y$ est congru à}&\textbf{a.}&	0 modulo 5\\ \cline{2-3}
&\textbf{b.}&4 modulo 5\\ \cline{2-3}
&\textbf{c.}&10 modulo 10\\ \hline
\multirow{3}{5cm}{\textbf{3.}  $6^{19} + 4$}&	\textbf{a.}& est  divisible par3\\ \cline{2-3}
 &	\textbf{b.}&	n'est pas un multiple de $5$\\ \cline{2-3}
	&	\textbf{c.}& est divisible par 5\\ \hline
\multirow{3}{5cm}{\textbf{4.} $10^{11}$ est congru  à :}&\textbf{a.} &	1 modulo 9\\ \cline{2-3}
	&\textbf{b.}&	9 modulo 10\\ \cline{2-3}
	&\textbf{c.} &	11 modulo 9\\ \hline
\multirow{3}{5cm}{\textbf{5.}  Si $U_{1} =  2$ et si pour tout $n$ $U_{n+1} = U_{n} + 3$, alors :}	&	\textbf{a.}&$U_{16} = 50$\\ \cline{2-3}
 &\textbf{b.}	& $U_{16}=\np{86093442}$\\ \cline{2-3}	
 &	\textbf{c.}&	$U_{16} = 47$\\ \hline
\multirow{3}{5cm}{\textbf{6.} La limite de la suite définie par}	&\textbf{a.}& $0$\\  \cline{2-3}
 &	\textbf{b.}&	2\\  \cline{2-3}
$U_{n} = 0,9^n+ 2$ est égale à :&	\textbf{c.}&	$+\infty$\\\hline
\multirow{3}{5cm}{\textbf{7.} La suite définie par $U_{0} = 5$ et $U_{n+1}  =3U_{n} + 2$  est :}	&	\textbf{a.}&arithmétique\\  \cline{2-3}
	&\textbf{b.}&	géométrique\\ \cline{2-3}
&	\textbf{c.}&ni	géométrique ni arithmétique\\ \hline
\multirow{3}{5cm}{\textbf{8.} La population d'un pays augmente de 3\,\% par an, cette progression est :}	&\textbf{a.}&	géométrique de raison $0,03$  \\  \cline{2-3}
&	\textbf{b.}&arithmétique de raison 3\\  \cline{2-3}
&	\textbf{c.}&géométrique de raison supérieure à 1.\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

On désigne par $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
\[f(x) = 2x + 5 - \text{e}^x.\]
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.\\
On appelle $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation d'inconnue $x$ :
\[2 - \text{e}^x > 0.\]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de $f(\ln 2)$.
		\item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$.
		\item Montrer que la courbe $\Gamma$ admet pour asymptote en $- \infty$ la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x + 5$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse $0$.
\item Parmi les deux courbes tracées ci-dessous, une seule représente la fonction $f$. Indiquer laquelle en justifiant votre choix.
\end{enumerate}

\hspace*{-1cm} \psset{unit=0.75cm}
\parbox{0.48\textwidth}{ \begin{pspicture}(-4,-4)(3.8,5)
\psframe(-4,-4)(3.8,5) 
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-4)(3.8,5)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.58}{3.8}{4 3.2 x mul 3 div add x x mul .8 mul  sub}
\uput[d](3.5,0){$x$} \uput[l](0,3.8){$y$}
\uput[d](0,-5){Courbe \no 1}
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.48\textwidth}{ \begin{pspicture}(-4,-4)(3.8,5)
\psframe(-4,-4)(3.8,5) 
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-4)(3.8,5)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{2.656}{2 x mul 5 add 2.71828 x exp sub}
\uput[d](3.5,0){$x$} \uput[l](0,3.8){$y$}
\uput[d](0,-5){Courbe \no 2}
\end{pspicture}}

\vspace{2cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à} $10^{-3}$  \emph{près.}

\bigskip

58\,\% des élèves d'une école sont des garçons.

Parmi les garçons, 25\,\% viennent à l'école à vélo.

Cette proportion tombe à 15\,\% chez les filles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard un élève de l'école, on considère les évènements :

G : \og l'élève choisi est un garçon \fg{} ;

V : \og l'élève choisi vient à vélo \fg{}.

L'évènement contraire de l'évènement A est noté $\overline{\text{A}}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire et compléter l'arbre probabiliste :

\begin{center}\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
	\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{G}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{V}
 \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\text{V}}$}
 		}
	\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{$\overline{\text{G}}$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{V}
 \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\text{V}}$}
 		}
}
		
		 \end{center}

		\item Montrer que P(V) = 0,208.
		\item Calculer la probabilité conditionnelle P$_{\text{V}}$(G).
	\end{enumerate}
\item On choit trois élèves au hasard dans l'école. On suppose que le nombre d'élèves est suffisamment grand pour que ce choix soit assimilable à trois tirages indépendants avec remise.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que les trois élèves soient des garçons.
		\item Calculer la probabilité qu'il y ait au moins une fille parmi les trois élèves.
		\item Calculer la probabilité qu'au moins deux élèves soient venus à vélo.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip

Une plaque carrée ABCD a été dessinée en perspective à deux points de fuites sur l'annexe jointe.
\begin{enumerate}
\item Faire apparaitre sur le dessin de l'annexe la ligne d'horizon de cette perspective.
\item Dessiner sur cette plaque un damier de huit cases carrées comme indiqué sur la figure suivante (on pourra s'aider du point d'intersection des diagonales du carré ABCD et des deux points de fuite).
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\begin{center}
\begin{pspicture}(4,4)
\psframe(4,4)
\psframe*(0,0)(1,1) \psframe*(2,0)(3,1) 
\psframe*(1,1)(2,2) \psframe*(3,1)(4,2) 
\psframe*(0,2)(1,3) \psframe*(2,2)(3,3) 
\psframe*(1,3)(2,4) \psframe*(3,3)(4,4) 
\uput[ul](0,4){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](4,0){C} \uput[ur](4,4){D} 
\end{pspicture}
\end{center}
 
\newpage
 
\begin{landscape}
\begin{center}

\textbf{ANNEXE DE L'EXERCICE 4 (à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(14,7)
\pspolygon(0,5)(9,0)(13.5,4.7)(6.2,6)
\uput[l](0,5){A} \uput[d](9,0){B} \uput[r](13.5,4.7){C} \uput[u](6.2,6){D} 
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{landscape}}
\end{document} 