\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{24cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\lfoot{\small{Centres étrangers groupe 1}}
\rfoot{\small{ juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat L  Centres 
étrangers juin 2004~\decofourright}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisée \hfill 3 heures

\vspace{0,25cm}

Le candidat doit traiter \textbf{trois} exercices

Obligatoirement : l'exercice 1 et l'exercice 2

Au choix : l'exercice 3 \textbf{ou} l'exercice 4

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire} \hfill 8 points}

\medskip

Le but de l'exercice est d'étudier la fonction $f$ définie sur l'intervalle 
[1~;~3] par 

\[f(x) = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\ln x}{x}.\]

On rappelle que e est le nombre tel que $\ln \text{e} =  1$.

On  note ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère \Oij.

La courbe ($\mathcal{C}$) est donnée en annexe à rendre avec la copie.

\textbf{Cette courbe permettra de contrôler l'exactitude de certains résultats, mais ne doit pas être utilisée pour justifier les réponses.}
 
\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

On considère la fonction $u$ définie sur l'intervalle [1~;~3] par 

\[u(x) =  x^2 - 2 + 2 \ln x.\]

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item  On note $u'$ la dérivée de la fonction $u$. Calculer $u'(x)$.
\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $u$ sur l'intervalle [1~;~ 3].
\item  On admet l'existence d'un nombre unique $a$, appartenant à l'intervalle [1~;~ 3] tel que $u(a) = 0$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Recopier et compléter le tableau ci-dessous en indiquant le signe de $u(x)$.

\begin{center}
\begin{pspicture}(7,2)
\uput[u](0.5,1){$x$} \uput[u](1.25,1){$1$} \uput[u](4,1){$a$} 
\uput[u](7,1){3}
\psline(0,1)(7,1)
\psline(1,0)(1,2)
\uput[u](0.5,0){$u(x)$} \uput[u](4,0){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

\textbf{a.} On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.

On admet que pour tout $x$ de l'intervalle [1 ; 3],~$ f'(x) = 
\dfrac{u(x)}{2x^2}$	où $u$ est la fonction définie dans la partie I.

Déterminer selon les valeurs de $x$ le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~ 3].

\textbf{b.} Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ (on ne calculera pas $f(a)$).

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item  On note A le point de coordonnées $\left(1~;~\dfrac{1}{2}\right)$.

Montrer que la tangente (T) à la courbe ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse e est
 parallèle à la droite (OA).
\item  Tracer la droite (OA) et la tangente (T) sur l'annexe à rendre avec la copie.

Placer le point B de coordonnées $(a~;~f(a))$ et la tangente à la courbe ($\mathcal{C}$) au point B.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice, le format d'un rectangle est le quotient de sa longueur par sa largeur.}

\emph{Le but de cet exercice est d'étudier deux formats différents.}

\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{sont indépendantes.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A - Étude d'un premier format}

\medskip

Les dimensions d'une feuille rectangulaire (appelée $R_1$ ) sont $l$ et $L$ (voir figure 1). Ainsi le format de $R_1$ est égal à $\dfrac{L}{l}$.

On coupe $R_1$ en deux rectangles égaux, appelés $R_2$ (voir figure 2). 

On suppose que $l < L < 2l$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,2.5)
\psframe(0,0)(3,2)
\uput[u](1.5,2){$L$} \rput(1.5,1){$R_1$} \uput[l](0,1){$l$}
\rput(1.5,-0.5){Figure 1}
\psframe(8,0)(11,2)
\uput[u](9.5,2){$L$} \uput[l](8,1){$l$}
\psline(9.5,0)(9.5,2)
\rput(8.75,1){$R_2$} \rput(10.25,1){$R_2$}
\rput(9.5,-0.5){Figure 2}
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item  Donner le format d'une feuille $R_2$ en fonction de $L$ et $l$.
\item  On suppose que les feuilles $R_1$ et $R_2$ ont le même format.

 Montrer alors que le format $\dfrac{L}{l}$ est égal à $\sqrt{2}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B - Étude d'un second format}

\vspace{0,3cm}

\parbox[l]{0.6\textwidth}{Soit un rectangle ABCD de longueur AB $= L$ et de largeur AD $ = l$.

On suppose que $l < L < 2l$.

On considère le carré AEFD construit dans le rectangle
ABCD (voir figure 3).

Donner le format du rectangle EBCF en fonction de $L$ et $l$.} \hfill
\parbox[l]{0.36\textwidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,2)
\psframe(0,0)(4,2) \psline(2.5,0)(2.5,2)
\uput[dl](0,0){A} \uput[d](2.5,0){E} \uput[dr](4,0){B} 
\uput[ur](4,2){C} \uput[u](2.5,2){F} \uput[ul](0,2){D}
\rput(2,-0.8){Figure 3}
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm} 

Vérifier que ce format peut s'écrire $\dfrac{1}{\dfrac{L}{l} - 1}$.

 -- On pose  $\dfrac{L}{l} = x$. On admet que $x$ appartient à 
l'intervalle $]1~;~+\infty[$.

On se propose de trouver une valeur de $x$ telle que les deux rectangles ABCD et EBCF aient le même format.

\textbf{a.} Montrer que les rectangles ABCD et EBCF ont le même format si $x = \dfrac{1}{x-1}$.

 \textbf{b.} On admet que, dans l'intervalle $]1~;~+\infty[$, résoudre l'équation $x = \dfrac{1}{x-1}$, revient à résoudre l'équation $x^2 - x - 1 = 0\quad  \text{E}_1$).

On rappelle que le nombre d'or est $\Phi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
Montrer que $\Phi$ est solution de l'équation (E$_1$).

\textbf{c.} Conclure.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 au choix} \hfill 6 points}

\medskip

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par son premier terme $u_0 = 6$ et par la relation de récurrence : 

\[u_{n+1} = \dfrac{1}{4}u_n +3 \qquad  (n \quad  \text{est un entier 
naturel}).\]

On pose $v_n =u_n - 4$.

\textbf{a.} Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

\textbf{b.} Montrer que $v_n = 2\left(\dfrac{1}{4}\right)^n$. En déduire l'expression 
de $u_n$ en fonction de $n$.

\textbf{c.} Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$, puis celle de la suite $\left(u_n\right)$.

-- On pose $a_n =  \ln v_n$.

\textbf{a.} Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est une suite arithmétique de
 raison $- 2 \ln 2$.

\textbf{b.} Déterminer l'expression de $a_n$ en fonction de $n$.

\textbf{c.} Déterminer la valeur de $n$ pour laquelle $a_n$ est égale à $-13 \ln 2$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 au choix} \hfill 6 points}

\medskip

Le tableau suivant contient trois lignes comportant chacune une situation et trois
 affirmations.

 Pour chaque affirmation, faire figurer le mot \og vrai \fg{} ou le mot \og faux \fg{} en toutes
 lettres dans la case correspondante du tableau de l'annexe, à rendre avec la copie.

{\footnotesize \begin{center} \begin{tabular}{|l|l|*{3}{c|}}\hline
 &	On sait que :&	 &	& \\
S$_1$& $10^7 \equiv 5$ (modulo 17)&$10^7 + 10^{11} \equiv 5$ &    
$10^{16k} \equiv  1$ &  	$10^{16k+7} \equiv 1$ \\
&et $10^{16} \equiv  1$\quad  (modulo 17)& 	(modulo 17) &(modulo 17)& (modulo 
17)\\ \hline
&Soit $f$ la fonction définie &&La fonction $f$ est&\\
&sur $]0~ ;~ +\infty[$&&strictement& \\
S$_2$&par $f(x) = - \dfrac{1}{x} + \ln x$&$f'(x) = \dfrac{1}{x} + 
\dfrac{1}{x^2}$& décroissante sur & $f\left(\sqrt{\text{e}}\right) = 
\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{\text{e}}}{\text{e}}$\\
&&&l'intervalle & \\ 
&&&	$]0~ ;~ + \infty[$& \\ \hline
&À l'entraînement, un basketteur &&& \\
&effectue des tentatives pour &La probabilité&La probabilité&	La probabilité\\
&marquer un panier. Chaque tenta-&de réussir les 4& de réussir 
les 4& de réussir\\
S$_3$&tive  a 8 chances sur 10 de réussir.&tentatives est 1&tentatives 
est &exactement 3\\
& À chaque tentative la probabilité &&$\dfrac{256}{625}$&tentatives est\\
&de  succès est donc égale à $\dfrac{8}{10}$.&&&	$\dfrac{256}{625}$\\
& Le joueur effectue 4 tentatives &&& \\
&successives (on admet qu'elles &&&\\
&sont  indépendantes).&&&\\\hline
\end{tabular} \end{center}}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe de l'exercice 1}

\vspace{1cm}

\textbf{À compléter et à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{xunit= 4cm,yunit=11cm}
\begin{pspicture}(3.5,1.2)
\psline(0,0)(3.5,0)
\psline(0,0)(0,1.2)
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,0.5)
\psline[linestyle=dotted](0,0.5)(1,0.5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{3}{x 2 div x ln x div sub}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.8){$\vect{\jmath}$}
\uput[d](1,0){1} \uput[d](2.71828,0){e} \uput[d](3,0){3} 
\psline[linestyle=dotted](2.71828,0)(2.71828,0.99126)
\psline[linestyle=dotted](3,0)(3,1.1338)
\uput[l](0,0.5){$0,5$} \uput[l](0,1){1}
\uput[u](1,0.5){$0,5$} \uput[u](2.719,1){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
    
\newpage
    
\begin{center}
\textbf{Annexe de l'exercice 4}

\vspace{1cm}

\textbf{À rendre avec la copie si l'exercice est choisi}

\vspace{1cm}

\textbf{Tableau à compléter}

\vspace{1cm}

 \begin{tabular}{|l|l|*{3}{c|}}\hline
 &	On sait que :&~~~~~~~	 &~~~~~~~	& ~~~~~~~\\
S$_1$& $10^7 \equiv 5$ (modulo 17)& &     &  	 \\
&et $10^{16} \equiv  1$\quad  (modulo 17)& 	 && \\ \hline
&Soit $f$ la fonction définie &&&\\
&sur $]0~ ;~ +\infty[$&&& \\
S$_2$&par $f(x) = - \dfrac{1}{x} + \ln x$&&  & \\
&&&& \\ 
&&&	& \\ \hline
&À l'entraînement, un basketteur &&& \\
&effectue des tentatives pour &&&	\\
&marquer un panier. Chaque tenta-& &  & \\
S$_3$&tive  a 8 chances sur 10 de réussir.&& &\\
& À chaque tentative la probabilité &&&\\
&de  succès est donc égale à $\dfrac{8}{10}$.&&&\\
& Le joueur effectue 4 tentatives &&& \\
&successives (on admet qu'elles &&&\\
&sont  indépendantes).&&&\\\hline
\end{tabular} \end{center}
\end{document}