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\overrightarrow{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\rhead{\small Centres étrangers }
\lfoot{\small{Bac L facultatif }}
\rfoot{\small{ juin 2002}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalaurat TL Centres étrangers juin 2002~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  8 points}

\begin{center}
Tableau I
\end{center}

\parbox[c]{0.25\textwidth}{
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(3,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-4,-5)(3,5)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-4,0)(3,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-5)(0,5)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psframe(-4,-5)(3,5)
\rput(-0.5,-6){\footnotesize figure 1 : fonction $L$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-3.275}{1.275}{x 3 exp   x 2 exp 3  mul add  2  sub }
\end{pspicture}}
\parbox[c]{0.25\textwidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(3,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-4,-5)(3,5)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-4,0)(3,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-5)(0,5)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psframe(-4,-5)(3,5)
\rput(-0.5,-6){\footnotesize figure 2 : fonction $M$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-0.71}{2.71}{x 3 exp  x 2 exp 3 mul sub 3 x mul add 1 sub}
\end{pspicture}}
\parbox[c]{0.25\textwidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(4,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-3,-5)(4,5)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-3,0)(4,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-5)(0,5)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psframe(-3,-5)(4,5)
\rput(0,-6){\footnotesize figure 3 : fonction $P$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.275}{3.275}{x 3 exp x 2 exp 3 mul sub 2 add}
\end{pspicture}}
\parbox[c]{0.25\textwidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(4,7)
        \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-3,-3)(4,7)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-3,0)(4,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-3)(0,7)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psframe(-3,-3)(4,7)
\rput(0,-4){\footnotesize figure 4 : fonction $Q$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2.355}{2.195}{x 3 exp 3 x  mul sub 3 add}
\end{pspicture}}

\vspace{1cm}

Les courbes figurant dans le tableau 1 sont les représentations graphiques de quatre fonctions polynômes de degré 3 : $L,~ M,~ P,~ Q$.

\begin{center}
Tableau 2
\end{center}

\parbox[c]{0.25\textwidth}{
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(4,6)
    \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-3,-4)(4,6)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-3,0)(4,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-4)(0,6)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psframe(-3,-4)(4,6)
\rput(0,-5){\footnotesize figure 5 : fonction $f$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-0.635}{2.635}{x 2 exp 3 mul 6 x mul sub }
\end{pspicture}}
\parbox[c]{0.25\textwidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(3,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-4,-5)(3,5)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-4,0)(3,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-5)(0,5)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psframe(-4,-5)(3,5)
\rput(-0.5,-6){\footnotesize figure 6 : fonction $g$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2.635}{0.635}{x 2 exp 3 mul  6 x mul add}
\end{pspicture}}
\parbox[c]{0.25\textwidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(4,7)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-3,-3)(4,7)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-3,0)(4,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-3)(0,7)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psframe(-3,-3)(4,7)
\rput(0,-4){\footnotesize figure 7 : fonction $h$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-0.525}{2.525}{x 2 exp 3 mul 6 x mul sub 3 add}
\end{pspicture}}
\parbox[c]{0.25\textwidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(3,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-3,-4)(3,6)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-3,0)(3,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-4)(0,6)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psframe(-3,-4)(3,6)
\rput(0,-5){\footnotesize figure 8 : fonction $k$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.735}{1.735}{x 2 exp 3 mul  3  sub}
\end{pspicture}}

\vspace{1cm}

Les paraboles figurant dans le tableau 2 sont les représentations graphiques de quatre fonctions : $f,~g,~h,~k$.

Ces fonctions sont, {\color{red} dans un ordre à déterminer}, les dérivées des fonctions $L,~ M,~ P,~ Q$.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Pour chacune des paraboles du tableau 2, donner le signe de
 la fonction représentée.
		\item Pour chacune des courbes du tableau 1, établir par lecture graphique 
le tableau	de variations de la fonction représentée. Pour chaque tableau de variation, on indiquera le signe	de la dérivée de la fonction correspondante (on n'étudiera pas les limites en $+ \infty$ et en $- \infty$).
		\item Pour chacune des fonctions $L,~ M,~ P,~ Q$, préciser celle des fonctions, $f,~ g,~ h,~ k$  qui est sa fonction dérivée.
	\end{enumerate}
\item La fonction $f$ représente sur la figure 5 est définie 
sur $\R$ par $f(x)= 3x^2 + b x + c$ où $b$ et $c$ sont deux
nombres réels.
	\begin{enumerate} 
		\item	Résoudre graphiquement $f(x) = 0$ et utiliser cette résolution pour calculer $b$ et $c$.
		\item	On note $\mathcal{C}_{P}$ la courbe représentative de la fonction $P$. Elle a pour équation :

\[y = x^3 + \dfrac{b}{2}x^2 + cx + d.\]

En utilisant les coordonnées du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{P}$ avec l'axe des ordonnées, calculez $d$. Donner l'expression de $P(x)$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

Pour se rendre  l'arrêt du bus qui passe  7~h~30 et qui l'amène au lycée, Valérie a le choix entre trois itinéraires A, B ou C.

La probabilité qu'elle choisisse l'itinéraire A est $\dfrac{1}{2}$, celle qu'elle choisisse l'itinéraire B est $\dfrac{1}{3}$.

La probabilité qu'elle \emph{rate} le bus qui passe à 7~h~30 sachant qu'elle a choisi l'itinéraire A est $\dfrac{3}{10}$, celle
qu'elle rate le bus qui passe à 7~h~30 sachant qu'elle a choisi l'itinéraire B est $\dfrac{2}{5}$, celle qu'elle \emph{rate} le bus qui
passe à 7 h 30 sachant qu'elle a choisi l'itinéraire C est $\dfrac{1}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Dans cette partie, on donnera les résultats sous forme de
 fraction irréductible.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité que Valérie choisisse l'itinéraire C.
		\item Construire un arbre de probabilités donnant les diverses possibilités.

Reporter les probabilités données dans l'énoncé.
		\item Calculer la probabilité que Valérie prenne le bus qui passe à 7~h~30 et qu'elle ait choisi l'itinéraire B.
		\item Montrer que la probabilité que Valérie prenne le bus qui passe  à 7~h~30 est $\dfrac{19}{30}$.
		\item Sachant que Valérie a pris le bus qui passe à 7~h~30, calculer la probabilité qu'elle ait choisi l'itinéraire C.
 	\end{enumerate} 
\item	Dans cette partie, on donnera les résultats sous forme d'une 
valeur approchée  $10^{-3}$.

Valérie essaie de prendre le bus qui passe à 7~h~30 quatre jours par semaine dans les mêmes conditions.

On suppose que pour Valérie, prendre ou rater le bus qui passe à 7~h~30, un jour donné dans la semaine est indépendant du fait de prendre ou rater le bus qui  passe à 7~h~30 un autre jour dans la semaine.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la probabilité que Valérie prenne le bus qui passe à 7~h~30 quatre fois dans la semaine.
\item Calculer la probabilité qu'elle prenne le bus qui passe à 7~h~30 exactement deux fois dans la semaine.

On rappelle la formule donnant la probabilité de E sachant F : 

\[p_{\text{F}} (\text{E}) = \dfrac{p(\text{E} \cap 
\text{F})}{p(\text{F}}.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3   au choix  \hfill 6 points}

\medskip

Le but de cet exercice est de démontrer que, pour tout entier naturel $n$ 
entier non nul, le nombre $A = n(n^2-1)$ est un multiple de 6.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Dans chacun des cas suivants calculer $A$ et déterminer le reste dans la division euclidienne de $A$ par 6.
	\begin{enumerate} 
		\item $n = 5 $ ; 
		\item $n = 16$ ; 
		\item $n = 32$.
	\end{enumerate}
\item On suppose maintenant que le reste de la division  eucidienne de
 $n$ par 6 est 5 ; on peut donc écrire

\[n \equiv 5 \qquad [\text{mod}~ 6].\]

	\begin{enumerate}
		\item	Que peut-on en conclure pour $(n - 1)$ et $(n + 1)$ ?
		\item	Quel est le reste de la division euclidienne de $(n^2- 1)$ par 6 ?
		\item Justifier alors que $n(n^2 - 1)$ est un multiple de 6.
	\end{enumerate}
\item Recopier et complter le tableau.

\begin{center} \begin{tabular}{| c |c |c |c |c |}\hline
Reste de la& Reste de la& Reste de la& Reste de la&	Reste de la\\
division de& division de& division de& division de& division de\\
$n$ par 6&	$(n-1)$ par 6& $(n+1)$ par 6& $(n^2-1)$ par 6&	$n(n^2-1)$ par 
6\\ \hline
0&&&&\\ \hline
1&&&&\\ \hline
2&&&&\\ \hline
3&	2&	4&	2&	0\\ \hline
4&&&&\\ \hline
5&&&&\\ \hline
\end{tabular} \end{center}

\item Conclure.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4   au choix  \hfill 6 points}

\medskip

Un jardinier a à sa disposition un sac rempli de \np{1000} bulbes de tulipes. Parmi ceux-ci :

$60\,\%$ sont des bulbes de tulipe jaune ;

$25\,\%$ sont des bulbes de tulipe rouge ;

le reste est constitué de bulbes de tulipe noire.

Par ailleurs :

$28\,\%$ de la totalité de ces bulbes ne fleuriront pas ;

$80\,\%$ des bulbes de tulipe jaune fleuriront ;

60 bulbes de tulipe noire ne fleuriront pas.

\bigskip
	
\textbf{Partie A}

\medskip

Recopier et compl\`eter le tableau ci-dessous

\begin{center}
\begin{tabular}{l | c | c | c | c}
&Nombre de& 	Nombre de&	Nombre de& \\
&bulbes de&	bulbes de&	bulbes de&	Total\\ 
&tulipe jaune& 	tulipe rouge& 	tulipe noire& \\ \hline
Nombre de bulbes de tulipe & & 150&&\\
qui fleuriront&&&&\\ \hline		
Nombre de bulbes de tulipe&&&&\\
 qui ne fleuriront pas&&&&\\ \hline
Total&&&&1000\\ \hline
\end{tabular} 
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le jardinier tire dans son sac un bulbe au hasard.

On note :

F l'évènement : \og Le bulbe fleurira \fg{} ;

J : \og Le bulbe est celui d'une tulipe jaune \fg{} ;

R : \og Le bulbe est celui d'une tulipe rouge \fg{} ;

N : \og Le bulbe est celui d'une tulipe noire \fg.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer les probabilités des évènements suivants : J ~$\cap$~ F,~ J,~ F, J~$\cup$~F.
\item Les évènements J et F sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la probabilité que le bulbe soit celui d'une
 tulipe noire, sachant qu'il fleurira est  $0,125$.
		\item Sachant que le bulbe est celui d'une tulipe noire, déterminer la probabilité qu'il ne fleurisse pas.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On rappelle : 

- la formule donnant la probabilité de B sachant A : 

$p_{\text{A}}(\text{B}) = \dfrac{p(\text{A} \cap \text{B})}{p(\text{A})}$

- la définition de l'indépendance de B vis--vis de A :
 
$p_{\text{A}}(\text{B}) = p(\text{B})$.
\end{document}