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%tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} 
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité }
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~TL spécialité Centres étrangers juin 2010~\decofourright}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisé \hfill 3 heures

\medskip

Deux annexes sont à rendre avec la copie

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~3]$ par

\[f(x) = x + 4\ln (3x + 1) + 3.\]
 
\begin{enumerate}
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur [0~;~3]. 
 	 
Montrer que, pour tout nombre $x$ appartenant à [0~;~3], $f'(x) = \dfrac{3x+ 13}{3x + 1}$. 
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur [0~;~3] et dresser son tableau de variation.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Dans cette partie, on considère un enfant dont le poids à la naissance est 3~kg.
 
Pendant les trois premières années de la vie de l'enfant, on estime que son poids (en kg) est donné en fonction de son âge $x$ (en année) par $f(x) = x + 4\ln (3x + 1) + 3$.
 
\emph{La courbe représentative de la fonction $f$ est donnée dans l'Annexe 1 à rendre avec la copie.}
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le poids de cet enfant à l'âge de 6~mois. On donnera une valeur arrondie au dixième. 
\item Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, l'âge correspondant à un poids de $12$~kg. On laissera apparents les traits de construction utiles à la lecture.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n,~ 10^n \equiv  1 \quad  (\text{modulo}~ 9)$. 
		\item  On considère quatre nombres entiers naturels $a,~b,~c$ et $d$ compris entre $0$ et $9,~ a$ différent 
de $0$. On pose $N = \np{1000}a + 100 b + 10c + d$.

Montrer que $N \equiv  a + b + c + d \quad  (\text{modulo}~ 9)$.

\medskip
 
\emph{Dans la suite, on admettra que le résultat que l'on vient de montrer pour un nombre à quatre chiffres est valable pour tout nombre entier naturel, quel que soit son nombre de chiffres. Autrement dit, tout nombre entier naturel $N$ est congru modulo $9$ à la somme de ses chiffres.}
	\end{enumerate} 
\item En utilisant le résultat précédent, déterminer les restes dans les divisions par 9 des nombres \np{321765} et \np{415283}. 
\item En déduire le reste dans la division par 9 du produit $\np{321765} \times  \np{415283}$. 
\item Jules a posé la multiplication $\np{321765} \times  \np{415283}$ et a obtenu \np{133623534485}.
 
Peut-on affirmer, sans effectuer l'opération, que le résultat n'est pas correct ? Justifier la réponse donnée. 
\end{enumerate}  

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

Le dessin donné dans la figure 1 de l'annexe 2 montre une partie du mur qui divisait Berlin. Le mur est vertical et de hauteur constante, il est bordé d'une allée horizontale et rectangulaire. La photo montre également l'ombre du mur, portée par le soleil sur le sol de l'allée. La ligne d'horizon est parallèle au bord inférieur du dessin.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dessiner sur la figure 1 de l'annexe 2 les lignes de fuite du haut et du bas du mur puis la ligne d'horizon. Pour une meilleure lisibilité des tracés, on prolongera les lignes en dehors du cadre de la photo. 
\item La figure 2 de l'annexe 2 est le début d'un dessin en perspective centrale de ce site. Le quadrilatère \texttt{abcd} est l'image du mur, le segment [\texttt{be}] est l'image de l'entrée de l'allée. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que les deux droites (\texttt{ab}) et (\texttt{cd}) ont le même point de fuite $\omega$. Placer ce point sur le dessin. 
		\item Compléter le quadrilatère \texttt{abef} image de l'allée. 
		\item À l'entrée de l'allée est posé un bac à fleur parallélépipédique EGHIJKLM.
		 
La base EGHI repose sur le sol et la face EGKJ est frontale. 
Les images \texttt{e,~g,~h} et \texttt{k} des points E, G, H et K sont placées sur la figure 2. Compléter sur le dessin l'image \texttt{eghijklm} de ce bac.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\medskip 

\textbf{Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante}

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère l'algorithme suivant :

\medskip

\begin{tabular}{|l c l}
Entrée			&:& Saisir deux nombres entiers naturels non nuls $m$ et $n$.\\
				&& Créer une liste vide L. \\
Initialisation	&:&Affecter à $i$ la valeur $1$. \\
Traitement		&:&Tant que $i \leqslant n + 1$\\ 
				&&\begin{tabular}{l|l}
\hspace{0,5cm}	&Affecter à $r$ le reste de la division de $m$ par $n$.\\
\hspace{0,5cm}	&Affecter à $m$ la valeur de $10r$.\\ 
\hspace{0,5cm}	&Ajouter le quotient de la division de $m$ par $n$ à la fin de la liste L.\\
\hspace{0,5cm}	& Affecter à $i$ la valeur $i + 1$.
\end{tabular}\\ 
Sortie&:		& Afficher la liste L.\\
\end{tabular}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Appliquer cet algorithme à $m = 13$ et $n = 7$.
 
On reproduira sur la copie un tableau analogue à celui donné ci-dessous et on le complétera. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}p{3cm}|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
&$r$&$m$&Liste L&$i$\\ \hline
Initialisation&&13&&1\\ \hline
Fin étape 1 &&&&\\ \hline
Fin étape 2 &&&&\\ \hline
\ldots\ldots &&&&\\ \hline
\ldots\ldots &&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Écrire le début du développement décimal de $\dfrac{13}{7}$, obtenu à la calculatrice.
 
Que représente la liste L pour le nombre $\dfrac{13}{7}$ ? 
\item Le nombre $\dfrac{13}{7}$ est-il un nombre décimal ? Justifier la réponse donnée.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère le nombre B dont l'écriture décimale illimitée est \np{0,375375375}... où $375$ est répété indéfiniment. Le nombre B est-il rationnel ? Justifier la réponse donnée. 
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par son premier terme $u_{1} = 0,375$ et, pour tout nombre entier naturel $n,~ u_{n+1} = 10^{-3}u_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
		\item On considère, pour tout nombre entier naturel $n$, la somme $S_{n}$ des $n$ premiers  termes de la suite $\left(u_{n}\right)$. On a donc $S_{n} = u_{1} + u_{2} + ..\ldots + u_{n}$·
		 
Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite $\left(S_{n}\right)$. 
		\item En déduire l'écriture du nombre B sous la forme d'une fraction irréductible.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
On considère le nombre C dont l'écriture décimale illimitée est \np{2,585858}... où $58$ est répété indéfiniment. Écrire le nombre C sous la forme d'un quotient de deux nombres entiers. 

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1 (à compléter et à rendre avec la copie)}

\vspace{4cm}

\psset{xunit=3.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-0.166667,-1)(3.5,17)
\multido{\n=-0.1666667+0.1666667}{22}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-1)(\n,17)}
\multido{\n=-1.0+0.2}{91}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](-0.1666667,\n)(3.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.1,-1)(3.5,17)
\uput[u](3.25,0){Âge en année}
\uput[r](0,16.5){Poids en kg}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{3}{3 x mul 1 add ln 4 mul 3 add x add}
\end{pspicture} 

\newpage

\textbf{Annexe 2 (à compléter et à rendre avec la copie)}


\medskip

\psset{unit=1cm}

\begin{pspicture}(8.5,8.3)
\psframe(8.5,8.3)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8.5,0)(8.5,8.3)(0.5,3.6)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](8.5,0)(0.5,3.6)(3.1,0)
\rput(6,4){Mur} \rput(4,1){Ombre}\rput(4.25,-0.5){figure 1 }
\end{pspicture}

\vspace{4cm}

figure 2
 
\psset{unit=1cm}

\begin{pspicture}(12,9)
\pspolygon(0.2,0)(12,0)(12,8.3)(5.1,4)(5.1,3.2)(12,0)
\psline(3.5,0.95)(3.5,0)(3.8,1.3)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0.2,0)(12,0)(12,8.3)(5.1,4)(3.5,0.95)(3.5,0)(3.8,1.3)(5.1,3.2)
\uput[d](0.2,0){\texttt{e}} \uput[d](3.5,0){\textt{g}} \uput[l](3.5,0.95){\texttt{k}} \uput[r](3.8,1.3){\texttt{h}} 
\uput[d](12,0){\texttt{b}} \uput[u](12,8.3){\texttt{c}} \uput[u](5.1,4){\texttt{d}} \uput[d](5.1,3.2){\texttt{a}} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}