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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\lfoot{\small{Japon}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L Japon juin 2004~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}
    
Le candidat traitera obligatoirement trois exercices

\textbf{OBLIGATOIREMENT} L'exercice 1 et l'exercice 2

\textbf{AU CHOIX :} L'exercice 3 ou l'exercice 4.

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire} \hfill  7 points}
 
\medskip

La courbe ($\mathcal{C}$) ci-dessous est la représentation graphique dans le plan 
muni d'un repère orthonormal d'une fonction $f$ définie sur 
l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.  On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

La droite (D) est la tangente à la courbe ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse 4 et 
est parallèle à l'axe des abscisses.

L'axe des ordonnées est asymptote à la courbe.

\begin{center} \psset{unit=0.4615cm} \begin{pspicture}(0,-2)(26,7)
\psaxes(0,0)(0,-1.9)(26,7)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[u](20,1){($\mathcal{C}$)} 
\psline(0,5.77259)(26,5.77259)
\uput[u](20,5.77259){(D)}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.031}{26}{5 x 0.5 mul sub x ln 2 mul add}
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A : Lectures graphiques}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item 
 	\begin{enumerate}
		\item Donner par lecture graphique, une 
    valeur approchée à 0,5 près de $f(2)$ et $f(20)$.
		\item Donner la valeur exacte de $f'(4)$.
	\end{enumerate}
\item Donner par lecture graphique, le tableau de variations de la fonction 
$f$ ainsi que le signe de la dérivée $f'$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B : Vérifications algébriques}

\medskip

On suppose que $f(x)$ est de la forme $ax + b + c \ln x$ où $a,~ b$ 
et $c$ sont trois réels et $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
		\item Exprimer $f'(x)$ en fonction 
de $a,~c$ et $x$.
		\item Le maximum de $f$ étant obtenu pour $x$ égal à 4, en déduire une relation entre $a$ et $c$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que la courbe représentative de $f$ passe par le point A(1 ; 4,5), donner une relation entre $a$ et $b$.
		\item On sait que le point B(e ; $7 - 0,5$e) appartient à la courbe représentative de $f$. En déduire une relation entre $a,~b$ et $c$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déduire des questions précédentes que l'on a 

\[f(x) = - 0,5x + 5 +  2 \ln x.\]

		\item En déduire les valeurs exactes de $f(2)$ et $f(20)$ et du maximum de $f$.
		\item Déterminer la limite en $0$ de $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill 7 points}

\vspace{0,3cm}

\textbf{Partie A} 

\medskip

Une retenue d'eau artificielle est alimentée par un ruisseau  dont le débit diminue de 20\,\% d'un jour sur l' autre à cause de la chaleur. Pour la journée 
du 1\up{er}  juin le débit D$_{0}$ est égal à 300~m$^3$ par jour.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer le débit D$_{1}$ pour le 2 juin.
\item Soit $D_{n}$ le débit pour le $n\up{e}$ jour après le $1\up{er}$ juin. Exprimer D$_{n+1}$ en fonction de $D_{n}$. Quelle est la nature de la suite $(D_{n})$ ?
\item Exprimer $D_{n}$ en fonction de $n$. Calculer le débit D$_{29}$ pour la journée du 30 juin. On arrondira au dixième de mètre cube.
\item Calculer le volume d'eau apporté dans la retenue au cours des 30 jours du mois de juin. On arrondira le résultat au mètre cube.
	
\[\text{On rappelle que} \quad  1 +b + \cdots + b^n = \dfrac{1 - b^{n+1}}{1- b}.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

À partir du 1\up{er} juillet, le débit du ruisseau peut-être considéré
 comme nul (inférieur à 0,5 m$^3$/jour).

La chaleur provoque dans la retenue une évaporation de $4\,\%$ du volume total de l'eau par jour.

De plus, on doit libérer de la retenue 500 m$^3$ d'eau chaque soir, après évaporation, à cause de la sécheresse.

Le 1\up{er} juillet au matin, la retenue contient 
V$_0 = \np{100000}$ m$^3$ d'eau.

\begin{enumerate}
\item Soit $V_{n}$ le volume d'eau au 
$n\up{e}$ matin après le 1\up{er} juillet.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $V_{1}$ est égal à \np{95500}~m$^3$.
		\item Exprimer $V_{n+1}$ en fonction de $V_{n}$.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite de terme général $U_{n}$ définie pour tout entier $n$ 
par : $U_{n } = V_{n} + \np{12500}$.

Montrez que la suite $(U_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,96 dont  on calculera le premier terme $U_{0}$.
\item Exprimer le terme général $U_{n}$ en fonction de $n$. En déduire 
l'expression de $V_{n}$ en fonction de $n$.
\item Calculer $V_{31}$ le volume restant au matin du 1\up{er} août.
(On arrondira le résultat au mètre cube).
\item À quelle date la retenue sera-t-elle à \og sec \fg{} ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 au choix} \hfill 6 points}

\medskip

Le code d'identification d'un article est formé de sept chiffres entre 0 
et 9. Les six premiers chiffres identifient l'article, le septième est une clé de contrôle destinée à déceler une erreur dans l'écriture des six premiers.

On notera $x_1x_2x_3x_4x_5x_6x_7$ un tel code. La clé de contrôle 
$x_{7}$ est le reste de la division euclidienne par 10 de la
somme : $N = (x_1 + x_3 + x_5) + 7(x_2 + x_4 + x_6)$.

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
		\item Vérifier que le code suivant est correct : 2 3 4 1 5 4 7.
		\item Calculer la clé du code suivant : 9 2 3 4 5 1 $\bullet$.
		\item Un des chiffres du code suivant a été effacé : 1 1 2 $\bullet$ 7 7 4. Le  calculer.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question un des chiffres du code est erroné au lieu de 
saisir $x_1x_2x_3x_4x_5x_6x_7$, le dactylographe a frappé $x_1x_2x_3x_5x_6x_7$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire les sommes $N_1$ et $N_2$ associées respectivement    aux deux codes précédents puis calculer la différence $N_1 - N_2$.
		\item Montrer que l'équation $7a \equiv  0$~ [modulo 10] où $a$ est un entier compris entre 0 et 9, a pour seule solution 0.
		\item L'erreur de frappe sera-t-elle détectée ?
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, deux des chiffres du code ont été intervertis : 
au lieu de saisir $x_1x_2x_3x_4x_5x_6x_7$, le dactylographe a frappé $x_1x_3x_2x_4x_5x_6x_7$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire les sommes $N_1$ et $N_2$ associées à ces deux codes, puis   calculer la différence $N_1 - N_2$.
		\item Donner un exemple de valeurs de $x_2$ et $x_3$ pour lesquelles la clé de contrôle ne détecte pas l'erreur.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 au choix }\hfill  6 points}

\medskip

Dans cet exercice, on a choisi une unité de longueur qui n 'est pas 
précisée.

On considère trois cercles concentriques (C$_1$), (C$_2$), (C$_3$) de centre O et 
de rayons respectifs 2, 4 et 8 unités.

La figure correspondante est donnée sur la feuille annexe À RENDRE AVEC 
LA COPIE.

Elle sera complétée au fur et à mesure de l'exercice en faisant 
apparaître les traits de construction utiles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire à la règle et au compas la tangente au point I au  cercle (C$_{1}$). Cette droite coupe le cercle (C$_{2}$) aux points A et B et le cercle (C$_{3}$) au point C.
\item Calculer les distances AI, AB et IC.
\item Montrer que AC = $2\sqrt{3}\left(1 + \sqrt{5}\right)$ et vérifier 
que $\dfrac{\text{AC}}{\text{AB}} = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$. On note $\Phi$ le nombre $\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
\item Le point C$'$ est placé sur la figure.
	\begin{enumerate}
		\item Construire, à la règle et au compas, le point D 
du segment [AC$'$] tel  que $\dfrac{\text{AC}'}{\text{AD}} = \Phi$.
		\item Construire un triangle AB$'$C$'$ isocèle en B$'$ que $\dfrac{\text{AC}'}{\text{AB}'} = \Phi$. Un tel triangle 
est appelé un triangle d'or.

Les traits de construction doivent figurer sur la feuille.

Combien y-a-t-il de solutions ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}
    
\vspace{0,25cm}
    
\textsl{L'unité de longueur n'est pas le centimètre}

\vspace{0,25cm}

\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(13,13)
\pscircle(6.3,6.3){1.575}
\pscircle(6.3,6.3){3.15}
\pscircle(6.3,6.3){6.3}
\psline(6.3,7.7)(6.3,8)
\uput[ur](6.3,7.85){I}
\psline(6.2,6.4)(6.4,6.2)
\psline(6.2,6.2)(6.4,6.4)
\uput[ul](3.7,8){A} \uput[ur](9.05,7.8){B}
\uput[ur](12.6,8){C} \uput[dl](6.3,6.3){O}
\uput[dl](4.4,3.7){(C$_{2}$)} 
\uput[dl](5.5,5){(C$_{1}$)} 
\uput[dl](2.3,1.5){(C$_{3}$)}
\uput[ur](11.8,1.6){C$'$}
\psline(11.7,1.7)(11.9,1.5)
\psline(11.7,1.5)(11.9,1.7)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}