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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\lfoot{\small{La Réunion}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat L La Réunion juin 2004~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}
    
Le candidat traitera obligatoirement trois exercices

\textbf{OBLIGATOIREMENT} L'exercice 1 et l'exercice 2

\textbf{AU CHOIX :} L'exercice 3 ou l'exercice 4.

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire} \hfill  7 points}

\medskip

On considère  la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle [1~;~12] 
par :

\[f(x) = x - 1 - 4 \ln x.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction 
$f$ dans un repère  orthonormal d'unité graphique : 1~cm.

\begin{enumerate}
\item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$. Vérifier que, pour tout 
$x$ de l'intervalle [1~;~12] , $f'(x)$ peut s'écrire :

\[f'(x) = \dfrac{x  - 4}{x}.\]

		\item Étudier le signe de $f'$ sur l'intervalle [1 ; 12], et en déduire le tableau de variation de $f$.
		\item Déterminer une équation de la tangente $\Delta$ à la courbe en son point B d'abscisse 1.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Recopier et compléter le tableau suivant en donnant 
les valeurs arrondies à 0,1 près.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	& 1	&2 	&3 	&4 	&6 	&8 	&10 	&11 	&12\\ \hline
$f(x)$ 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\Delta$ dans le même repère sur la feuille de papier millimétré fournie.

\textbf{Formulaire :} La dérivée de la fonction $\ln$ sur l'intervalle 
$]0~;~+ \infty[$ est la fonction qui, à $x$, associe $\dfrac{1}{x}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill  7 points}

\medskip

\textsl{Il est assez curieux qu'une infinité de termes positifs que l'on  ajoute au fur et à mesure puisse donner un résultat fini. Ainsi le Grec Zénon prétendait, au} 
IV$\up{e}$ \textsl{siècle avant J-C., démontrer qu'il est impossible d'aller d'un point à un autre car \og avant d'atteindre le but, il faut arriver au milieu de la route, puis atteindre le milieu du trajet à parcourir, et ainsi de suite . Comme  il y a une infinité d'étapes à observer, on ne peut arriver au bout de son  voyage \fg{}.}

\begin{flushright}Les nombres et leurs mystères - A. Warusfel 
\end{flushright}

\bigskip

\textbf{I - Construction de la figure :}

\medskip

Construire un segment [AB] puis,

\begin{enumerate}
\item le milieu A$_0$ de [AB],
\item le milieu A$_1$de [A$_O$B],
\item le milieu A$_2$ de [A$_1$B].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II - Utilisation d'une suite numérique :}

\medskip

On construit ainsi une suite de points $A_n$ tels que pour tout $n$ entier supérieur ou égal à 1, $A_n$ est le milieu du segment [$A_{n-1}$B].

On suppose que AB = 2. On pose $d_0$ = AA$_0,~ d_1$ = A$_0$A$_1,~ 
d_2$ = A$_1$A$_2$ et pour  tout entier $n \geqslant 1 ~:~ d_n = A_{n-1}A_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a $d_0 = 1$ ; calculer $d_1$ et $d_2$.
\item On admet que, pour tout entier naturel $n~ :~ d_{n+1} = 
\dfrac{1}{2}d_n$.
	\begin{enumerate}
		\item En déduire que la suite $(d_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier tenue et la raison.
		\item Donner l'expression de $d_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item On pose $S_n = d_0 + d_1 + d_2 +  \cdots + d_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $S_n = 2\left[1 - 
\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right]$.
		\item Quelle est la limite de $S_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini ?
		\item En donner une interprétation géométrique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Formulaire :} Somme des $n + 1$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ (avec $q ? 1$) :

\[S_n = u_0 + u_1 + u_2 + \cdots  + u_n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.\]

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 au choix }\hfill 6 points}

\medskip

Le Code Barre à 13 chiffres ou EAN 13 (European Article Number) est un code constitué de 13 chiffres compris entre 0 et 9, utilisé pour classifier les produits de la grande distribution :

\[a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7a_8a_9a_{10}a_{11}a_{12}a_{13}\]

On calcule $S = a_1 + 3a_2 +a_3 + 3a_4 + a_5 + 3a_6 +a_7 + 3a_8 +a_9 +   
3a_{10} +a_{11} + 3a_{12} + a_{13}.$

Le code est accepté lorsque : $S \equiv  0$~ [modulo 10], il est refusé sinon.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En pratique

On considère le code A = 97 80130 51518 6.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que A est accepté.
		\item Au lieu du code A, on a saisi le code B = 97 70130 51518 6 en commettant une erreur sur le troisième chiffre.
Montrer que le code B est refusé.
		\item Lors de la saisie du code A, deux chiffres voisins ont été permutés.
	
Le code C = 97 80135 01518 6 est-il accepté ou refusé ?

Le code D = 97 80130 15518 6 est-il accepté ou refusé ?
	\end{enumerate}
\item Effet d'une erreur de saisie sur le quatrième chiffre
	\begin{enumerate}
		\item On désigne par E le code 97 8$n$130 515186 où $n$ représente un chiffre. Si $n = 0$, on retrouve le code A donc E est accepté.

Déterminer toutes les valeurs de $n$ pour lesquelles E est accepté.
		\item En déduire qu'une erreur de saisie sur le quatrième chiffre du code A est toujours détectée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 au choix} \hfill 6 points}

\medskip

On lance simultanément deux dés équilibrés (un bleu et un vert), dont 
les faces sont numérotées de 1 à 6.

(On suppose qu'il y a équiprobabilité pour tous les couples de nombres 
possibles).

On note $S$ la somme des nombres obtenus.

(N. B. : Tous les résultats des calculs de probabilité seront donnés sous 
forme de fractions).

\medskip

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau 
\no 1 (en annexe, à rendre avec la  copie si l'exercice 4 est choisi) par la somme des nombres obtenus.
		\item Compléter le tableau \no 2 (en annexe, à rendre avec la copie si l'exercice 4 est choisi)

($P(S)$ représente la probabilité que la somme des deux dés soit égale à 
$S$).
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement 
A : \og $5 \leqslant  S \leqslant 9$ \fg{}.
		\item Montrer que la probabilité d'obtenir une somme $S$ impaire est égale  à $\dfrac{1}{2}$.
	\end{enumerate}
\item On lance les deux dés, trois fois de suite. À l'issue de chaque 
lancer on note la somme obtenue.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité d'obtenir exactement trois fois une somme impaire est égale à $\dfrac{1}{8}$.
		\item Calculer la probabilité d'obtenir exactement deux fois une somme impaire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Annexe de l'exercice 4 (à rendre avec la copie si l'exercice 4 est choisi)} \end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{Tableau \no 1 : Somme des nombres obtenus.}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\backslashbox{vert}{bleu} & 1 & 2& 3& 4& 5&  6 \\ \hline
1&	2& & & & & \\ \hline
2&	3& & & & & \\ \hline
3&	4& & & & & \\ \hline
4&	5& & 7  & & & \\ \hline	
5&	6& 7 & & & & \\ \hline	
6&	7& & & & & \\ \hline
\end{tabularx} \end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{Tableau \no 2 :}

\medskip
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 $S$& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8 & 9&	10& 11& 12\\ \hline
$P(S)$ &\rule[-3mm]{0mm}{8mm} & & & & $\dfrac{5}{36}$& & & & & & \\ \hline
\end{tabularx}
\end{document}