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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat L facultatif}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L facultatif La Réunion juin 2002~\decofourright}} 
\end{center}
    
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire}\hfill 7 points}

\medskip

On veut construire le long d'un bâtiment une aire de jeu rectangulaire 
de 450~m$^2$. De plus, on souhaite que les dimensions de ce rectangle soient supérieures ou égales à 10 m. Cet espace de jeu est entouré sur trois cotés d'une allée de 3 m de large comme l'indique le croquis ci-dessous.

\begin{center} 
\begin{pspicture}(7,4)
\psframe(1,0)(5.6,3)
\psline(0,3)(6.2,3)
\psframe(1.7,0.7)(5,3)
\psline{<->}(1,2.7)(1.7,2.7)
\uput[d](1.45,2.7){3}
\psline{<->}(1.7,0.5)(5,0.5)
\uput[d](3.35,0.5){$y$}
\psline{<->}(5.2,0.7)(5.2,3)
\uput[r](5.2,1.85){$x$}
\rput(3.2,2.5){aire de jeu}
\rput(3.2,3.4){bâtiment}
\multips(0.3,3)(0.8,0){8}{\psline(0,0)(0.5,0.6)}
\uput[dl](1,0){B} \uput[dl](1,3){A} \uput[dr](5.6,0){C} 
\uput[dr](5.6,3){D}
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,5cm}

L'ensemble est clôturé sur les trois côtés [AB], [BC] et [CD]. On s'intéresse à la longueur $L$ de la clôture : $L$ = AB + BC + CD.

On note $x$ et $y$ les dimensions en mètres de l'aire de jeu.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que $y = \dfrac{450}{x}$, puis justifier que $x$ appartient à l'intervalle [10 ; 45].
		\item Exprimer la longueur $L$ en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [10 ; 45] par 

\[f(x) = 2x + 12 + \dfrac{450}{x}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à [10 ; 45], $f'(x)$ a le même signe que $(x^2 -225)$. En déduire le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Déduire de l'étude précédente les dimensions à donner à l'aire de jeu pour que la longueur de la clôture soit la plus petite possible. Quelle est alors cette longueur ?
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill 7 points}

\medskip

Un mobile part d'un point et avance sur une droite. À chaque minute, il se déplace d'un mètre augmenté de la moitié de la distance parcourue pendant la minute précédente.

On pose $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel non nul $n$, on appelle $u_n$ la distance, en mètres, parcourue durant la $n$-ième minute. Ainsi $u_1 = 1$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $u_2$

\item Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a :

\[u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 1.\]

\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie sur $\N$ par $v_n =  u_n - 2$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $v_0,~ v_1,~ v_2$.
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a:

\[v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_n.\]

		\item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
		\item On rappelle que, pour tout réel $b$ différent de 1 et tout entier naturel $n$ supérieur à 2,

\[1 + b + b^2 +. \cdots + b^n = \dfrac{1 - b^{n+1}}{1 - b}.\]

Calculer $v_0 + v_1 + \cdots  + v_{10}$.
	\end{enumerate}
\item On désire connaître la distance $d$ parcourue par le mobile au bout de dix minutes, c'est-à-dire $d = u_0 + u_1 + \cdots + u_{10}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que $d = v_0 +v_1 + \cdots +  + v_{10} + 22.$
		\item En déduire la valeur exacte de $d$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ Le candidat traitera au choix l'exercice 3 ou l'exercice 4}

\medskip

\textbf{\textsc{ Exercice 3 au choix} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Les parties I et II sont indépendantes.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie I}

\medskip

Nathalie communique avec une amie en fabriquant des messages codés. Chaque lettre de l'alphabet est repérée par son rang $x,~1 \leqslant  x \leqslant  26$ : 1 pour A, 2 pour B, etc.

La lettre de rang $x$ est codée par la lettre de rang $y$ tel que :

\[1 \leqslant y \leqslant 26 \quad  \text{et} \quad  y \equiv x + 10 
\quad  (\text{modulo} \quad 26).\]

\textbf{Exemple} :  la lettre V a pour rang $x = 22$ ; 

on a $1 \leqslant y \leqslant 26$ et $y \equiv 32 \quad $(modulo 26), 
donc $y = 6$. La lettre V est codée par la lettre F.

\begin{enumerate} 
\item Recopier et dresser le tableau ci-dessous pour toutes les lettres de l'alphabet.

\begin{center} \begin{tabular}{|c|c| l|c | l |}\hline
Lettre &	A & \ldots~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ & 	V& \ldots ~~~~~~~~~~~~~~~\\ \hline
$x$ & 1 & &	22& \\ \hline
y&	11& & 6 & \\ \hline
Codage&	K&&	F& \\ \hline
\end{tabular} \end{center}
\item Retrouver le codage du mot \og ARITHMETIOUE \fg{}.
\item Décoder le mot \og OEBY \fg{}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ Partie II}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item En remarquant que $999 = 27 \times 37$, démontrer que :

\[10^3 \equiv  1\quad  (\text{modulo} \quad  37)\quad  \text{et}\quad  
10^{30} \equiv   1 \quad  (\text{modulo} \quad  37).\]

\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : 
$10^{3n} \equiv 1 \quad  (\text{modulo} \quad  37)$.
\item En déduire que le nombre $N = 10^{10} + 10^{20} + 10^{30}$  est un multiple de 37.

(On pourra remarquer que $10^{10} = 10^9 \times 10$).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 4  au choix }\hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Dans cet exercice on donnera les résultats arrondis 
à} \boldmath  $10^{-2}$ \unboldmath.

Une urne contient dix boules indiscernables au toucher : une jaune, sept rouges et deux bleues. 

Un jeu consiste à tirer d'abord au hasard une boule de l'urne : si 
cette boule est jaune, alors le jeu s'arrête, sinon on effectue un second tirage sans remettre la première boule tirée dans l'urne.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la probabilité de tirer une boule jaune au premier tirage ?
		\item Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge au premier tirage ?
		\item Quelle est la probabilité que le joueur tire une boule jaune au deuxième tirage sachant qu'il a tiré un boule rouge au premier tirage ?
 	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on pourra utiliser un arbre de probabilité.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue au premier tirage et une boule rouge au second tirage ?
		\item Démontrer que la probabilité de tirer une boule rouge au second tirage est $\dfrac{28}{45}$.
	\end{enumerate}
\item Un joueur gagne s'il tire une boule rouge au second tirage. Quatre personnes participent à ce jeu indépendamment les unes des autres.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité qu'aucune de ces quatre personnes ne gagne.
		\item Calculer la probabilité qu'une au moins de ces quatre personnes gagne.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}