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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité }
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{3 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Liban 3 juin 2010~\decofourright}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisé \hfill 3 heures

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 5 points}

\medskip

Dans cet exercice, pour chacune des questions, \textbf{une et une seule} des réponses proposées est exacte.
 
Aucune justification n'est attendue, il est seulement demandé de répondre en donnant le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse correcte.
 
Chaque bonne réponse rapporte 1 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\small}p{3.75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Questions& A &B &C \\ \hline
\begin{tabular}{p{3.75cm}}
\textbf{1.} Le nombre de solutions réelles de 
l'équation $\left(\text{e}^x + 1\right)\left(\text{e}^x - 2\right) = 0$ est :\\
\end{tabular}& 0 &1 &2\\ \hline 
\begin{tabular}{p{3.75cm}}
\textbf{2.} L'ensemble des solutions dans $\R$ de 
l'inéquation $\left(\text{e}^x - 1\right)(1- x) \geqslant 0$ est l'intervalle : \\
\end{tabular}&[0~;~1]& $]-\infty~;~1]$& $[1~;~+\infty[$\\ \hline 
\begin{tabular}{p{3.75cm}}
\textbf{3.} La fonction dérivée de la fonction $f$ 
définie sur $\R$ par $f(x) = \left(x^2 + 1\right)\text{e}^x$ est telle que: \\
\end{tabular}&$f'(x) = 2x + \text{e}^x$ &\small $f'(x) = (x + 1)^2 \text{e}^x$ &$f'(x) = 2x\text{e}^x$\\ \hline 
\begin{tabular}{p{3.75cm}}
\textbf{4.} Pour tous les réels strictement positifs $a$ et $b$, le réel $\text{e}^{\ln (a) + \ln (b)}$ est égal à : \\
\end{tabular}&$ab$ &$a + b$ &$\dfrac{a}{b}$\\ \hline 
\begin{tabular}{p{3.75cm}}
\textbf{5.} La suite définie sur $\N$ par $u_{n} = 2^n + 2^{n+1}$ est :\\
\end{tabular}&Une suite arithmétique&Une suite géométrique&\footnotesize Une suite ni arithmétique, ni géométrique\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Lors d'une étude statistique sur les performances d'un joueur professionnel de basket, il a été établi que lorsqu'il joue à domicile (sur le terrain de son équipe), il marque le panier sur 68\,\% de ses tirs mais que lorsqu'il joue à l'extérieur (sur le terrain de l'équipe adverse), il ne marque le panier que sur 42\,\% de ses tirs.

De plus, lors d'une saison, il joue 60\,\% de ses matchs à domicile.
 
\begin{enumerate}
\item Ce joueur dispute un match à domicile. Il effectue successivement deux tirs. On admet que les résultats de ces deux tirs sont indépendants. 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la probabilité $p_{1}$ que le joueur marque deux paniers ? 
		\item  Quelle est la probabilité $p_{2}$ que le joueur marque au moins un panier ?
	\end{enumerate} 
\item On regarde un match à la télévision auquel participe ce joueur mais sans savoir s'il joue à domicile ou à l'extérieur. Il effectue un tir.
 
On note $D$ l'évènement \og Le joueur dispute son match à domicile \fg{} et $M$ l'évènement \og Le joueur marque le panier \fg.
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la probabilité $p(D)$ de l'évènement $D$ et la probabilité $p_{D}(M)$ de $M$  sachant $D$. 
		\item Calculer la probabilité $p(M \cap D)$ de l'évènement $M \cap D$. 
		\item Démontrer que la probabilité de l'évènement M est $p(M) = 0,576$. 
		\item Le joueur marque le panier. Quelle est la probabilité qu'il joue à domicile ? On arrondira au millième. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Alain et Alice ont l'habitude d'échanger entre eux des messages secrets. Afin que ces messages ne puissent être déchiffrés, ils décident de les coder.
 
Leurs messages ne sont écrits qu'en lettres majuscules, sans espace entre les mots.
 
À chaque lettre de l'alphabet, on fait correspondre un rang selon le tableau ci-dessous.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\textbf{Lettre} &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\ \hline
\textbf{Rang}& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline\hline 
\textbf{Lettre} &N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 
\textbf{Rang} &13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24&25\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
La lettre de rang $x$ est codée par la lettre de rang $r$, où $r$ est le reste de la division euclidienne de $3x + 20$ par 26.
 
Par exemple, la lettre $T$ a pour rang 19. Le reste de la division euclidienne de $3 \times 19 + 20 = 77$ par $26$ est $25$, qui est le rang de la lettre $Z$. Ainsi $T$ est codée par $Z$.
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que la lettre M est codée par la lettre E. 
\item Coder le message suivant: \og MATHS \fg. 
\item On veut déterminer la lettre codée par B. On appelle $x$ son rang.
 
Montrer que $3x \equiv  7\quad [\text{mod}~ 26]$ et conclure. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Recopier le tableau ci-dessous et le compléter pour décoder le message \og JUASBG \fg{} en expliquant la démarche : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Lettre}		& F &	&	&I 	&	&\\ \hline
\textbf{Rang}				& 5	&	&	& 8 &	&\\ \hline
\textbf{Rang lettre codée}	& 9 &20 &0 	&18 &1 &6\\ \hline 
\textbf{Lettre codée}		& J &U 	&A 	&S 	&B &G\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip
 
La figure ci-dessous est la représentation en perspective parallèle d'un élément de cuisine ayant la forme d'un pavé $ABCDEFGH$. Le rectangle $EJJF$ qui représente un tiroir est tel que  $EI = \dfrac{1}{4} EB$. Le point $O$, centre du rectangle $EIJF$ représente la poignée du tiroir.

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,4.25)
\psframe(6.2,2.8)
\psline(6.2,0)(7.4,1)(7.4,3.8)(1.2,3.8)(0,2.8)
\psline(6.2,2.8)(7.4,3.8)
\psline(0,2)(6.2,2)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.2,1)(1.2,3.8)
\psline[linestyle=dashed](1.2,1)(7.4,1)
\psdots(3.1,2.4) 
\uput[l](1.2,1){$A$} \uput[dl](0,0){$B$} \uput[dr](6.2,0){$C$} 
\uput[r](7.4,1){$D$} \uput[l](0,2.8){$E$} \uput[ul](6.2,2.8){$F$} 
\uput[ur](7.4,3.8){$G$} \uput[ul](1.2,3.8){$H$} \uput[l](0,2){$I$} 
\uput[r](6.2,2){$J$} \uput[r](3.1,2.4){$O$} 
\end{pspicture}
\end{center} 

\textbf{On complètera les figures données en annexe et on laissera apparents tous les traits de construction.}

\begin{enumerate}
\item La figure 1 donnée en annexe amorce une représentation en perspective centrale du meuble. La face $ABCD$ est horizontale et l'arête $[BE]$ est dans un plan frontal.
 
Les points $A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, O$ sont respectivement représentés par les points $a,~b,~e,~d,~e,~j,~ g,~ h,~i,~j,~o$. La droite $\Delta$ est la ligne d'horizon. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire les points de fuite $f_{1}$ et $f_{2}$ des droites $(ab)$ et $(bc)$. 
		\item Construire les points $d,\:e,\:f,\:g,\:h$. 
		\item Placer les points $i,\:j,\:o$.
	\end{enumerate} 
\item La face EFGH de ce meuble est un plan de travail que l'on souhaite carreler avec des carreaux carrés de deux couleurs comme indiqué ci-dessous. 

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,3)
\psframe(6,3) \psline(1.5,0)(1.5,3) \psline(3,0)(3,3) \psline(4.5,0)(4.5,3) \psline(0,1.5)(6,1.5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.5,1.5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.5,1.5)(3,3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3,0)(4.5,1.5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.5,1.5)(6,3)
\uput[dl](0,0){$E$} \uput[dr](6,0){$F$} \uput[ur](6,3){$G$} \uput[ul](0,3){$H$} 
\end{pspicture}
\end{center}  

\medskip

Sur la figure 2 de l'annexe, on a commencé la représentation en perspective centrale de ce plan de travail en supposant que $[EF]$ est dans un plan frontal. La droite $\Delta$ est la ligne d'horizon.
 
Représenter le carrelage et griser les carreaux foncés. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie }

\bigskip

\begin{flushleft}
Figure 1 \end{flushleft} 

\begin{pspicture}(12,8)
\psline(0,8)(12,8)
\psline(6,1)(8.5,3.85)
\psline(6,1)(6,3.7)
\psline(6,1)(4.1,3)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](4.1,3)(8.5,3.85)(6,3.7)
\uput[l](4.1,3){$a$}\uput[d](6,1){$b$}\uput[r](8.5,3.85){$c$}\uput[l](6,3.7){$e$}\uput[d](0.2,8){$\Delta$}
\end{pspicture}

\bigskip

\begin{flushleft}
Figure 2 \end{flushleft} 

\begin{pspicture}(12,9)
\psline(1.7,1)(8,1)(9.8,3.35)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](1.7,1)(8,1)(9.8,3.35)
\psline(0,8.4)(12,8.4)
\uput[d](0.2,9){$\Delta$}
\uput[d](1.7,1){$e$}\uput[dr](8,1){$f$}\uput[r](9.8,3.35){$g$}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}