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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat L Liban juin 2004~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire} \hfill  7 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie par

\[f(x) = 54\left(x^3 - 2x^2 + x\right)\]

sur l'intervalle [0~;~1].

\begin{enumerate}
\item
 	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ où $f'$ est
 la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 1].
		\item Vérifier que $f'(x)= 54(3x - 1)(x - 1)$ pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~1].
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0 ; 1].
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 1].
	\end{enumerate}
\item Donner le maximum de $f$ sur l'intervalle [0 ; 1]. Pour quelle valeur de $x$ est-il atteint ?
\item Recopier et compléter le tableau suivant par les valeurs de $f(x)$ 
arrondies à 0,1 près.
\item Tracer la représentation graphique de la fonction $f$ sur la feuille de papier millimétré jointe, en prenant pour unités graphiques 10 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill 6 points}

\medskip

Des chardons envahissent une pelouse de deux façons différentes. Ce 
dimanche 13 juin, ils couvrent 300 m$^2$ de la pelouse. Chaque semaine l'aire de la
 surface envahie par les chardons augmente d'une part de $4\,\%$ par la 
 prolifération des racines, d'autre part de 13 m$^2$ dus aux graines envolées des
 jardins voisins.

On appelle $u_n$ l'aire de pelouse, en m$^2$, envahie par les chardons au bout de $n$ semaines. On a donc $u_0 = 300$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1,~ u_2$ et $u_3$.
\item Justifier que pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1} = 1,04 \times 
u_n + 13$.
\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n + 325$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $v_{n+1} = 1,04v_n$.
		\item En déduire que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
	\end{enumerate}
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, en déduire que $u_n = 625 \times (1,04)^n -325$.
\item Au bout de combien de semaines les chardons auront-ils envahi plus de 700 m$^2$ de la pelouse ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3  au choix} \hfill  7 points}

\medskip

\og \textsl{La lutte incessante entre concepteurs et briseurs de codes a permis une série de remarquables percées scientifiques. Les concepteurs ont cherché à élaborer des codes toujours plus sophistiqués pour protéger les communications, alors que les décrypteurs imaginaient  perpétuellement des méthodes plus performantes pour les attaquer... Leur travail a accéléré le développement technologique, notamment dans le cas de l'ordinateur...}

\textsl{L'art de la communication secrète, aussi appelé cryptographie, fournira à 
l'âge de l'information ses verrous et ses clefs.} \fg{}

\begin{flushright} \emph{Histoire des codes secrets} - Simon Singh \end{flushright}

Le code ASCII (American Standards Code for Information Interchange) en informatique, permet d'associer à chaque caractère (lettre, signe de ponctuation, chiffre, ...) un nombre entier $n$, compris entre 0 et 255.

Le tableau ci-dessous donne les codes attribués aux lettres de l'alphabet :

\begin{center} 
\begin{tabular}{| *{15}{c|}}\hline
lettre&	A& B& C&D&E&F&G&H&I& 	J&K&L&M\\ \hline
code ASCII & 65&66& 67&68&69&70& 71&72& 73&74&75&76&77\\ \hline
lettre &N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y& Z\\ \hline
code ASCII&78&79&80&81&82&83&84&85&86&87&88&89&90\\ \hline
\end{tabular} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \og Chiffrement \fg{} à clé utilisant l'arithmétique :

Le procédé suivant permet de masquer le mot initial : à chaque nombre $n$, du 
Code ASCII correspondant à une lettre donnée, on associe le reste de la division 
de $7n$ par 256.

\textbf{Exemple :} lettre : B 	Code ASCII de la lettre B : 66

Calcul du nouveau code de la lettre B : $7 \times  66 = 462\qquad 	462 = 
256 \times  1 + 206.$

Nouveau code de la lettre B : 206

Ainsi le mot BONJOUR sera codé :

\begin{center}\begin{tabular}{|*{8}{c|}}\hline
MOT& B&  O&  N&  J & O &U &  R\\ \hline
Code ASCII&	66& 79&  78&  74&  79&  85& 82\\ \hline
nouveau codage& 206&  41  &34 &  6 & 	41 &  83 & 	62\\ \hline
\end{tabular} \end{center}
	
Codage du mot CLÉ :

	\begin{enumerate} 
		\item  Code ASCII de C : 67.
    
$7 \times  67 =  469$.

Déterminer le reste de la division euclidienne de 469 par 256, en déduire 
le nouveau code de la lettre C.
		\item De la même façon, déterminer le nouveau code de la lettre L, puis 
de la lettre E, et en déduire le codage du mot CLÉ.
	\end{enumerate}
\item \og Déchiffrement \fg{} :

Soit $x$ le nouveau code de la lettre à découvrir et $n$ son code ASCII.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $x \equiv 7n \quad 
[\text{modulo}~ 256]$.
		\item En déduire que $183x \equiv n \quad [\text{modulo}~ 256]$.

On admet que $n$ est le reste de la division euclidienne de $183x$ par $256$.
		\item Vérifier que pour $x = 206$ on a bien $n = 66$ qui correspond à la lettre B.
		\item Décoder le mot suivant :

\begin{center}
 \begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline
    206 & 199 & 213 \\ \hline
\end{tabular}
 \end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 au choix} \hfill 7 points}

\medskip

Au cours d'une expérience sur les animaux, on place un rat au départ 
d'un parcours et il doit choisir une porte de sortie parmi trois 
portes :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item s'il emprunte la porte A, il sort ;
\item s'il emprunte l'une des portes B ou C, il est ramené au départ, et 
cela jusqu'à ce qu'il choisisse la porte A.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\textsl{On donnera les résultats sous forme de fractions 
irréductibles.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On suppose que le rat n'a aucune mémoire : il choisit une porte au 
hasard et peut emprunter la même porte plusieurs fois de suite.

Chaque porte a donc la même probabilité d'être choisie.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité pour qu'il sorte dès 
le premier essai ?
\item Quelle est la probabilité pour qu'il ne sorte qu'au deuxième essai 
(le premier étant manqué et le deuxième est réussi) ?
\item Quelle est la probabilité pour qu'il ne sorte qu'au quatrième 
essai ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

On suppose que le rat a une mémoire parfaite : à chaque étape, il choisit 
au hasard l'une des portes qu'il n'a jamais empruntée.

\begin{enumerate}
\item Sur l'annexe jointe  à rendre avec la copie, compléter 
l'arbre par les pondérations.
\item $X$ désigne le nombre d'essais qu'il lui faut pour sortir. Quelles 
valeurs peut prendre le nombre $X$ ?
\item Compléter le tableau sur l'annexe jointe  à rendre avec la  copie.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center} \textbf{Annexe exercice 4 (à rendre avec la copie si 
l'exercice 4 est choisi)}\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{Partie B}

\textbf{a.}

\begin{center}\begin{pspicture}(9,7)
\psline(0,4)(3,7)
\psline(0,4)(3,4)
\psline(0,4)(3,1)
\psline(3.5,4)(6,5)
\psline(3.5,4)(6,3)
\psline(3.5,1)(6,2)
\psline(3.5,1)(6,0)
\uput[u](1.5,5.4){$\frac{1}{3}$}
\uput[d](1.5,4){\ldots}
\uput[d](1.5,1){\ldots}
\uput[u](4.5,4.5){\ldots}
\uput[d](4.5,3.5){\ldots}
\uput[u](4.5,1.5){\ldots}
\uput[d](4.5,0.5){\ldots}
\uput[u](7.5,3){\ldots}
\uput[u](7.5,0){\ldots}
\uput[r](3,1){C} \uput[r](3,4){B} \uput[r](3,7){A}
\uput[r](6,5){A} \uput[r](6,3){C} \uput[r](6,2){A}
\uput[r](6,0){B} \uput[r](9,3){A} \uput[r](9,0){A}
\psline(6.5,3)(9,3)
\psline(6.5,0)(9,0)
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{Partie B}

\textbf{c.}

\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{center} \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeur de $X$ & 1 & & \\ \hline
Probabilité & $\dfrac{1}{3}$ & & \\ \hline
\end{tabularx} \end{center}
    
\vspace{2cm}
%\begin{figure}%[htbp]
%\includegraphics[heigt=0.8cm]{139.eps}
%\end{figure}
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