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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité }
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Liban juin 2009~\decofourright}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisé \hfill 3 heures

Deux annexes sont à rendre avec la copie

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 4 points}

\medskip

Un supermarché organise une campagne publicitaire en offrant, à chaque client qui passe à la caisse, un ticket de jeu sur lequel il y a une grille de 28 cases.
 
Chaque grille contient 3 cases noires et 25~cases blanches réparties au hasard parmi les 28 cases ; la couleur de chaque case est cachée et il faut gratter la case pour la découvrir. 

La règle du jeu est la suivante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] Chaque joueur gratte deux cases de la grille ; 
\item[] s'il découvre deux cases noires, il gagne un bon d'achat de 10~\euro{} ; 
\item[] s'il ne découvre qu'une seule case noire, il gagne un bon d'achat de 2~\euro{} ; sinon il ne gagne rien. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On appelle N$_{1}$, N$_{2}$, B$_{1}$ et B$_{2}$ les évènements suivants : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] N$_{4}$ : \og la première case grattée est noire \fg, 
\item[] N$_{2}$ : \og la deuxième case grattée est noire \fg, 
\item[] B$_{1}$ : \og la première case grattée est blanche \fg,
\item[] B$_{2}$ : \og la deuxième case grattée est blanche \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{Sauf pour la question $2$, il est demandé de justifier la réponse à chaque question. Les probabilités demandées seront données sous la forme de fractions irréductibles.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Un client gratte au hasard une première case. 
		
Quelle est la probabilité qu'il découvre une case blanche ? 
		\item Un client a découvert une case blanche en grattant la première case.
	 
Démontrer que la probabilité qu'il découvre une case noire en grattant la seconde case est égale à $\dfrac{1}{9}$. 
	\end{enumerate}
 \item Recopier sur la copie et compléter l'arbre de probabilité suivant (on ne demande pas de justification). 

\begin{center}\psset{arrows=->}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{N$_{1}$}}
	  { 
		  \TR{N$_{2}$}
		  \TR{B$_{2}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{B$_{1}$}}
	  {
		  \TR{N$_{2}$}\taput{$\frac{1}{9}$}
		  \TR{B$_{2}$}
	  }
}
\end{center}
 
Soit E l'évènement \og le client a gagné un bon d'achat de 10~\euro{} \fg{} et F l'évènement \og le client a gagné un bon d'achat de 2~\euro{} \fg. 

Quelle est la probabilité de E ? 

Démontrer que la probabilité de F est égale à $\dfrac{25}{126}$.  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 } \hfill 6 points}
 
\medskip
 
On considère l'algorithme suivant : 

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{l c l}
Entrée&:& $N$ est un entier naturel\\
Initialisation &:&  Donner à $P$ la valeur $0$\\
&& Donner à $U$ la valeur 4\\
&& Donner à $S$ la valeur 4\\ 
Traitement &:& Tant que $P < N$\\ 
&&\begin{tabular}{|l}
Donner à $P$ la valeur $P + 1$\\
Donner à $U$ la valeur $4 + 2P$\\
Donner à $S$ la valeur $S + U$\\
\end{tabular}\\ 
Sortie &:& Afficher $S$\\
\end{tabular} 
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Faire fonctionner l'algorithme pour $N = 5$. 
 
On fera apparaître les différentes étapes du déroulement de l'algorithme dans un tableau comme ci-dessous à reproduire sur la copie.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|*{3}{>{\centering \arraybackslash }X|}} \hline
&Valeur de $P$& Valeur de $U$& Valeur de $S$ \\ \hline
Initialisation &0& 4& 4 \\ \hline
Étape 1& 1 &6 &10 \\ \hline
Étape 2&2&& \\ \hline
\ldots &&&\\ 
\ldots &&&\\ 
\ldots &&&\\ \hline 
Affichage &&& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item On considère la suite $\left(U_{n}\right)$ définie sur $\N$ par : 
\[U_{n+1} = U_{n} + 2\quad  \text{et} \quad  U_{0} = 4.\] 

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $U_{1},~U_{2}$ et $U_{3}$. 
		\item Soit $p$ un nombre entier naturel.
	 
Donner, en fonction de $p$, la valeur de $U_{p}$. Calculer $U_{21}$. 
	\end{enumerate}	
\item On fait fonctionner l'algorithme pour $N = 20$, la valeur affichée par $S$ est alors 504. 
	
Quelle est la valeur affichée par $S$ si on fait fonctionner l'algorithme pour 

$N = 21$ ? 
\item On fait fonctionner l'algorithme pour un entier naturel $N$ quelconque.
 
Exprimer la valeur affichée $S$ à l'aide des termes de la suite $\left(U_{n}\right)$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\medskip
 
On considère la fonction $T$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par :
 
\[T(x) = 40\text{e}^{-0,1x} + 20 \]

\begin{enumerate}
\item Calculer $T(0)$. 
\item On désigne par $T'$ la fonction dérivée de $T$. 
	\begin{enumerate}
		\item pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, calculer $T'(x)$. 
		\item En déduire que la fonction est décroissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
	\end{enumerate}
\item Résoudre dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$ l'équation $T(x) = 30$. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

La température du circuit de refroidissement par eau d'une machine est régulée par un système qui se déclenche quand la température de l'eau atteint 60~degrés Celsius et cesse de fonctionner dès qu'elle atteint 30~degrés Celsius.
 
On admet que la température de l'eau, en degrés Celsius, $x$ secondes après le déclenchement du système est égale à $T(x)$.
 
Quelle est la durée de la phase de refroidissement du circuit ? On arrondira à la seconde.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\medskip
 
Dans une salle d'un musée, les {\oe}uvres d'art sont présentées à l'intérieur de pavés droits en plexiglas. Chaque pavé droit est posé sur sa base carrée et recouvre quatre carreaux carrés du sol.

\medskip
 
\textbf{On laissera apparents, dans tout l'exercice. tous les traits de construction et repassera en couleur les représentations demandées.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On a représenté en \textbf{annexe 1}, le dessin en perspective cavalière du pavé MNOPQRST en plexiglas posé sur le sol.
 
Le point L représente l'endroit où se trouve la source lumineuse et le point R$'$ est l'ombre du sommet R sur le sol.
 
Terminer le dessin de l'ombre du pavé en plexiglas sur le sol. On fera apparaître l'ombre de chacune des arêtes du pavé.
 
\item En \textbf{annexe 2}, on a donné les représentations $[mn]$ et $[mq]$ en perspective centrale des arêtes [MN] et [MQ] du pavé en plexiglas, situées dans un plan frontal. Le point $\omega$ est le point de fuite principal et le point $d_{1}$ un point de distance. 
	\begin{enumerate}
		\item Terminer, sur l'annexe 2, la représentation du carrelage situé sous le pavé. 
		\item Représenter le pavé. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
{\large \textbf{ANNEXE 1}}

\bigskip

\textbf{Cette annexe est à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,12.5)
\psdots[dotstyle=*](0,12.2)(9.85,0)\uput[dr](9.85,0){R$'$} \uput[l](0,12.2){L}
\uput[dl](1.2,1.7){M}\uput[dr](3.9,1.7){N}\uput[r](4.8,3.1){O}\uput[l](2.1,3.1){P}
\uput[l](1.2,7.4){Q}\uput[r](3.9,7.4){R}\uput[ur](4.8,8.8){S}\uput[ul](2.1,8.8){T}
\pspolygon(1.2,1.7)(3.9,1.7)(4.8,3.1)(2.1,3.1)
\pspolygon(1.2,7.4)(3.9,7.4)(4.8,8.8)(2.1,8.8)
\psline(1.2,1.7)(1.2,7.4) \psline(3.9,1.7)(3.9,7.4)  \psline(4.8,3.1)(4.8,8.8) \psline(2.1,3.1)(2.1,8.8)
\psline(2.55,1.7)(3.45,3.1) \psline(1.65,2.4)(4.35,2.4)
\end{pspicture}

\end{center}

\newpage

\begin{center}
{\large \textbf{ANNEXE 2}}

\bigskip

\textbf{Cette annexe est à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,12.5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](5.3,4.2)(8.8,4.2)\uput[u](5.3,4.2){$\omega$} \uput[u](8.8,4.2){$d_{1}$}
\uput[dl](0,0){$m$} \uput[d](2.7,0){$n$} \uput[l](0,5.8){$q$} \psline(2.7,0)(0,0)(0,5.8)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}