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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat L spécialité }
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{23 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat L spécialité ~\decofourright\\Métropole--La Réunion 23 juin 2010}} 
    
\vspace{0,8cm}

%L'usage d'une calculatrice est autorisé \hfill 3 heures

%\medskip

%Deux annexes sont à rendre avec la copie

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 5 points}

\medskip
 
%Un immeuble a la forme du solide ABCDEFGHIJKL dont une représentation en perspective parallèle est donnée ci-dessous. 

%\medskip

%\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(0,-0.5)(6.5,13)
%\psline(4.6,0)(4.6,3.6)%MN
%\pspolygon(0,0.7)(4.6,0)(6.2,2.15)(6.2,11.8)(1.6,12.5)(0,10.4)%BMFKLGB
%\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,0.7)(1.7,2.8)(6.2,2.15)%BAF
%\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](1.7,2.8)(1.6,12.5)%AL
%\psline(2.3,0.4)(2.3,10.05)(3.1,11.1)(5.4,10.75)(5.4,1.1)%CHIJE
%\psline(0,10.4)(2.3,10.05)%GH
%\psline(3.1,11.1)(3.1,1.4)%ID
%\psline(2.3,0.35)(3.1,1.4)(5.4,1.1)%CDE
%\psline(5.4,10.75)(6.2,11.8)%JK
%\uput[ul](1.7,2.8){A} \uput[l](0,0.7){B} \uput[d](2.3,0.35){C} 
%\uput[dr](3.1,1.4){D} \uput[dr](5.4,1.1){E} \uput[dr](6.2,2.15){F} 
%\uput[l](0,10.4){G} \uput[ul](2.3,10.05){H} \uput[u](3.1,11.1){I} 
%\uput[ul](5.4,10.75){J} \uput[ur](6.2,11.8){K} \uput[u](1.6,12.5){L} 
%\uput[d](4.6,0){M} \uput[u](4.6,3.6){N} 
%\end{pspicture}} 
%\hfill
%\parbox{0.45\linewidth}{Une esplanade, qui a la forme du carré CDEM, jouxte cet immeuble.

%\bigskip
 
%À un coin de cette esplanade se trouve un mât vertical représenté par [MN]. 

%\bigskip

%ABMF est un carré de centre D.

%\bigskip
% 
%Les points E et C sont les milieux respectifs des segments [MF] et [MB].}

%\medskip 

%\textbf{Trois dessins sont donnés en annexe. Ils sont à compléter et à rendre avec la copie, en laissant apparents les traits de construction.}

 
\begin{enumerate}
\item %On place un projecteur, qui est donc une source de lumière ponctuelle, au point H. 
%Le dessin donné en \textbf{annexe 1} est une représentation de l'immeuble en perspective parallèle. 
	\begin{enumerate}
		\item %Sur ce dessin représenter l'ombre du mât sur le sol.
\texttt{n} extrémité de l'ombre du mat est l'intersection de la droite (HN) et de la droite (BM).

L'ombre du m\^at est le segment [M$n$]. 
		\item %On note P le milieu du mât. Construire l'ombre \texttt{p} du point P.
\texttt{p} ombre du point P est l'intersection de la droite (HP) et de la droite (BM).
	\end{enumerate} 
\item %À une certaine heure, les rayons du soleil sont parallèles à la droite (GC). Le dessin donné en \textbf{annexe 2} est encore une représentation de l'immeuble en perspective parallèle. 
	\begin{enumerate}
		\item %Sur ce dessin représenter l'ombre au soleil du mât sur le sol à cette heure.
On construit N$_{1}$ intersection de la droite (BM) et de la parallèle à (GC) contenant N. L'ombre du m\^at est le segment MN$_{1}$.  
		\item %L'ombre au soleil du milieu du mât est-elle le milieu de l'ombre du mât ? Justifier.
Oui le projeté du milieu est le milieu des projetés (Thalès).
	\end{enumerate} 
\item %En \textbf{annexe 3} on a amorcé une représentation en perspective centrale de cet immeuble.
 
%On suppose que la face BCHG est située dans un plan frontal.
 
%Les points \texttt{b,~g,~k,~f} et \texttt{m} sont les images des points B, G, K, F et M dans cette perspective. La droite ($\delta$) est la ligne d'horizon. 
	\begin{enumerate}
		\item %Construire les images \texttt{c,~d} et \texttt{e} des points C, D et E (l'ordre de construction n'est pas imposé).
Comme C milieu de [BM] est dans le plan frontal, \texttt{c}	est le milieu de [\texttt{b}\texttt{m}].

\texttt{d} est le point d'intersection de (\texttt{bf}) et de (\texttt{c}F).

Enfin \texttt{e} est le point d'intersection de (\texttt{mf}) et la parallèle à (\texttt{bm}) contenant \texttt{d}.	 
		\item %Compléter la représentation en perspective centrale de l'immeuble. \emph{On ne représentera ni le mât ni les arêtes cachées.}
\texttt{h} est obtenu comme quatrième sommet du rectangle construit sur \texttt{c, b, g}.

\texttt{i} est le point commun à (\texttt{h}F) et de la verticale contenant \texttt{d}.

\texttt{j} est obtenu comme quatrième sommet du rectangle construit sur \texttt{e, d, i}.

\texttt{k} est le point commun à (\texttt{j}F) et de la verticale contenant \texttt{f}.

Enfin \texttt{l} est le point commun à (\texttt{g}F) et de l'horizontale contenant \texttt{k}.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

%Soit la suite U de terme général U$_{n}$ définie par U$_{0} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$, par : 

%\[\text{U}_{n+1} =  \text{U}_{n} + 2 (n + 1).\]
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que %U$_{1} = 2$ et que U$_{2} = 6$. Calculer U$_{3}$·
U$_{1} = \text{U}_{0} + 2 (0 + 1) = 0  + 2 = 2$ ;

U$_{2} = \text{U}_{1} + 2 (1 + 1) = 2  + 4 = 6$ ;

U$_{3} = \text{U}_{2} + 2 (2 + 1) = 6  + 6 = 12$ ; 
\item %Chacune des trois propositions suivantes est-elle vraie ou fausse ? 

%Justifier les réponses.

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[] Proposition 1 : %\og La suite U est arithmétique. \fg 
U$_{2}- \text{U}_{1} \neq \text{U}_{3} - \text{U}_{2}$, donc la suite n'est pas arithmétique. 
\item[] Proposition 2 : %\og Il existe au moins une valeur de $n$ pour laquelle U$_{n} = n^2 + 1$. \fg 
U$_{2} = 1^2 + 1$ :vrai pour $n = 2$.
\item[] Proposition 3 : %\og Pour toutes les valeurs de $n$, on a U$_{n} = n^2 + 1$. \fg
U$_{0} = 0 \neq 0^2 + 1$ : faux.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item On considère l'algorithme suivant :

%\begin{tabular}{p{1.5cm}l l} 
%&Entrée :&N un entier naturel non nul\\ 
%&Initialisation : &P = 0 \\
%&Traitement : &Pour K allant de 0 à N :\\
%&&\begin{tabular}{p{0.5cm}|l} 
%&Affecter à P la valeur P + K\\
%& Afficher P\\
%\end{tabular} \\
%&Fin de l'algorithme&\\
%\end{tabular} 
	\begin{enumerate}
		\item %Faire fonctionner cet algorithme avec N = 3. 
P = 0, K = 0 Affichage 0

		K = 1 Affichage 1
		
		K = 2 Affichage 3
		
		K = 3 Affichage 6		
%Obtient-on à l'affichage les valeurs des quatre premiers termes de la suite U ? 
On n'obtient pas les quatre premiers termes de la suite.
		\item %Modifier cet algorithme de manière à obtenir à l'affichage les valeurs des N premiers termes de la suite U.
		Il suffit de remplacer \og Affecter à P la valeur P + K \fg{} par \og Affecter à P la valeur P + 2K \fg{}.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout entier naturel $k,~\left(k^2 + k\right) + 2(k + 1) = (k + 1)^2 + k + 1.$ 
On a $\left(k^2 + k\right) + 2(k + 1) = k^2 + k + 2k + 2 = k^2 + 2k + 1 + k + 1 = (k + 1)^2 + (k + 1)$.
		\item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,~ \text{U}_{n} = n^2 + n$.
$\bullet~$ On a $U_{0} = 0^2 + 0 = 0$ : vrai.

$\bullet~$ Supposons qu'il existe $k \in \N$ tel que $\text{U}_{k} = k^2 + k$.

Par définition de la suite : U$_{k+1} = \text{U} _{k} + 2(k + 1) = k^2 + k + 2(k + 1) =$

$(k + 1)^2 + (k + 1)$, d'après le résultat précédent.

On a donc U$_{k+1} = (k + 1)^2 + (k + 1)$ la propriété est \og héréditaire \fg{}, donc quel que soit $n \in \N$, on a $U$_{n} = n^2 + n$.

Ainsi U$_{3} = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip 

%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~15] par 

%\[f(x) = 2 + 3\ln x.\]

%On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal. 

%On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. 

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $f'(x)$, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~15].
On a $f'(x) = 3 \times \dfrac{1}{x}$ puisque $x \neq 0$.

Sur [1~;~15], $f'(x) = \dfrac{3}{x}$. 
\item %Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ en son point d'abscisse 1.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ en son point d'abscisse 1 est égal au nombre dérivé $f'(1) = \dfrac{3}{1} = 3.$ 
\item %Résoudre l'équation $f(x) = 8$.
On a $f(x) = 8$ si  $2 + 3\ln x = 8 $ ou $3\ln x = 6$ ou $\ln x = 2$ ou $\ln x = \ln \text{e}^2$ et finalement $x =  \text{e}^2$.

La seule solution de l'équation $f(x) = 8$ est le nombre e$^2$.
\item %Parmi les trois représentations graphiques données ci-dessous, une seule représente la fonction $f$.
 
%Préciser quelle est cette représentation et justifier l'élimination de chacune des deux autres.
$\bullet~$ On a vu que sur [1 ; 15], $f'(x) = \dfrac{3}{x}$ : ce nombre est positif sur [1 ; 15], donc la fonction est croissante.

On peut donc éliminer la deuxième courbe.

$\bullet~$ On a vu que $f\left(\text{e}^2\right) = 8$, soit à peu près $f(7,38) \approx 8.

On peut donc éliminer la troisième courbe puisque l'image de 7,38 est à peu près égale à 4,5 et non à 8.

$\bullet~$ Reste la première courbe : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item elle représente bien une fonction croissante sur [1 ; 15] ;
\item $f(1) = 2 = 2 + 3\ln 1$ ;
\item $f(7,38) \approx 8$ ;
\item L'image de 15 est à peu près égale à $10$ et $f(15) = 2 + 3\ln 15 \approx 10,12$
\end{itemize}
\setlength\parindent{5mm}

Seule la première courbe peut être la représentation graphique de $f$.
\end{enumerate}

%\vspace{0,75cm}

%\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
%\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.5cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(16,11)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(16.1,11)
%\rput(8,12){\no 1}\uput[d](16,0){$x$}\uput[l](0,11){$y$}
%\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{15}{x ln 3 mul 2 add}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(16,11)
%\end{pspicture}&\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.5cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(16,11)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(16.1,11)
%\rput(8,12){\no 2}\uput[d](16,0){$x$}\uput[l](0,11){$y$}
%%\pscurve[linewidth=1.25pt](1,10)(3,6.7)(4,5.7)(6,4.55)(8,3.75)(10,3.1)(12,2.5)(15,1.85)
%\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{15}{10 0.25 x mul 0.75 add  div}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(16,11)
%\end{pspicture}\\
%\end{tabularx}

%\bigskip

%\begin{center}
%\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.5cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(16,11)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(16.1,11)
%\rput(8,12){\no 3}\uput[d](16,0){$x$}\uput[l](0,11){$y$}
%\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{15}{2.71828 x 1 sub  6.6 div exp     2 add}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(16,11)
%\end{pspicture}
%\end{center} 


\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que $10^3 \equiv -1 (\text{modulo}~~ 13)$.
On a $10 \equiv -3 \quad (\text{modulo}~~ 13)$.

Donc $10^3 \equiv (-3)^3 \quad (\text{modulo}~~ 13)$, soit 

$10^3 \equiv - 27 \quad (\text{modulo}~~ 13)$.

Or $- 27 \equiv - 1 \quad (\text{modulo}~~ 13)$.

Finalement $10^3 \equiv -1 \quad (\text{modulo}~~ 13)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %En déduire le reste de la division euclidienne de $10^6$ par $13$.
Comme $10^6 = \left(10^3 \right)^2$, $10^3 \equiv -1 \quad(\text{modulo}~~ 13)$ entra\^{\i}ne que $10^6 \equiv (-1)^2 \quad(\text{modulo}~~ 13)$, soit

$10^6 \equiv 1 \quad(\text{modulo}~~ 13)$, ce qui signifie que le reste de la division euclidienne de $10^6$ par 13 est égal à 1. 
		\item %Montrer que $10^9 \equiv -1 (\text{modulo}~~ 13)$ et que $10^{12} \equiv 1 (\text{modulo}~~ 13)$.
De même, comme $10^9 = \left(10^3 \right)^3$ et  $10^{12} = \left(10^3 \right)^4$,

$10^3 \equiv -1  \quad(\text{modulo}~~ 13)$ entra\^{\i}ne $\left(10^3\right)^3 \equiv (-1)^3  \quad(\text{modulo}~~ 13)$, soit 

$10^9 \equiv -1  \quad(\text{modulo}~~ 13)$ et 

$10^3 \equiv -1  \quad(\text{modulo}~~ 13)$ entra\^{\i}ne $\left(10^3\right)^4 \equiv (-1)^4  \quad(\text{modulo}~~ 13)$, soit 

$10^{12} \equiv 1 (\text{modulo}~~ 13)$.
	\end{enumerate} 
\item %Soit l'entier N = \np{5292729824628}. 
	\begin{enumerate}
		\item %En remarquant qu'une autre écriture de N est :
		 
%\[\text{N} = 5 \times 10^{12} + 292 \times 10^9 + 729 \times 10^6 + 824 \times 10^3 + 628\] 

%démontrer que N est congru à $246$ modulo 13. 
En utilisant les résultats des questions 1. et 2.

$10^{12} \equiv 1 (\text{modulo}~~ 13)$ entra\^{\i}ne $5 \times 10^{12} \equiv 5 \times 1 \quad(\text{modulo}~~ 13)$ ;

$10^9 \equiv -1 (\text{modulo}~~ 13)$  entra\^{\i}ne $292 \times 10^9 \equiv 292\times (-1) \quad(\text{modulo}~~ 13)$ ;

$10^6 \equiv 1 (\text{modulo}~~ 13)$ entra\^{\i}ne  $729 \times 10^6 \equiv 729 \times 1 \quad(\text{modulo}~~ 13)$ ;

$10^3 \equiv -1 (\text{modulo}~~ 13)$ entra\^{\i}ne $824 \times 10^3 \equiv 824 \times (-1) \quad(\text{modulo}~~ 13)$.

En sommant membres à membres :

5 \times 10^{12} + 292 \times 10^9 + 729 \times 10^6 + 824 \times 10^3 + 628 \equiv 5 - 292 + 729 - 824 + 628\quad (\text{modulo}~~ 13)$, soit 

N $ \equiv 246 (\text{modulo}~~ 13)$.
		\item %N est-il divisible par $13$ ?
On a $246 = 13 \times 19 - 1$ soit $246 \equiv - 1\quad (\text{modulo}~~ 13)$, donc on a N $ \equiv - 1 \quad(\text{modulo}~~ 13)$ qui signifie que  N n'est pas divisible par 13.
		 
\item %\emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Démontrer que le nombre $10^{2010} + 12$ est divisible par $13$.
On a $2010 = 2 \times 729 + 20 \times 3^3 + 4 \times 3$.

Donc $10^{2010} = 10^{2\times 3^6 + 20 \times 3^3 + 4 \times 3} = 10^{2\times 3^6} \times  10^{20 \times 3^3} \times 10^{4 \times 3} =$

$ \left(10^{3^6} \right)^2 \times \left(10^{3^3} \right)^{20} \times \left(10^3 \right)^4$.

Or $10^{3^6} \equiv 1 \quad(\text{modulo}~~ 13)$, donc $\left(10^{3^6} \right)^2 \equiv 1 \quad(\text{modulo}~~ 13)$

$10^{3^3} \equiv 1 \quad(\text{modulo}~~ 13)$, donc $\left(10^{3^3} \right)^{20} \equiv 1 \quad(\text{modulo}~~ 13)$,

$10^3 \equiv -1 \quad(\text{modulo}~~ 13)$, donc $\left(10^3 \right)^4 \equiv 1 \quad(\text{modulo}~~ 13)$

et enfin par produit $\left(10^{3^6} \right)^2 \times \left(10^{3^3} \right)^{20} \times \left(10^3 \right)^4 = 10^{2010} \equiv 1 \quad (\text{modulo}~~ 13)$.

Or $12 \equiv - 1 \quad(\text{modulo}~~ 13)$ et finalement :

$10^{2010} + 12 \equiv 1 - 1\quad (\text{modulo}~~ 13)$ ou $10^{2010} + 12 \equiv 0 \quad(\text{modulo}~~ 13)$, ce qui signifie que $10^{2010} + 12$ est un multiple de 13.

\emph{Autre méthode (plus rapide)} :

On a démontré plus haut que 

$10^3 \equiv - 1 \quad \pmod{13}$ \quad (1).

Donc $10^{\np{2010}} = 10^{3 \times 670} = \left(10^3\right)^{670}$ ;

En utilisant le résultat (1) :

$10^{3 \times 670} \equiv (- 1)^{670} \quad \pmod{13}$ ou

$10^{3 \times 670} \equiv 1 \quad \pmod{13}$.

Finalement : $10^{\np{2010}} + 12  \equiv  1 + 12  \quad \pmod{13}$ et 

$10^{\np{2010}} + 12$ est multiple de $13$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXES (à compléter et à rendre avec la copie)}
\end{center}
\begin{tabular}{l l}
\textbf{Annexe 1 -- Exercice 1}

\medskip

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.)(6.5,13)
%\psgrid
\psline(4.6,0)(4.6,3.6)%MN
\pspolygon(0,0.7)(4.6,0)(6.2,2.15)(6.2,11.8)(1.6,12.5)(0,10.4)%BMFKLGB
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,0.7)(1.7,2.8)(6.2,2.15)%BAF
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](1.7,2.8)(1.6,12.5)%AL
\psline(2.3,0.4)(2.3,10.05)(3.1,11.1)(5.4,10.75)(5.4,1.1)%CHIJE
\psline(0,10.4)(2.3,10.05)%GH
\psline(3.1,11.1)(3.1,1.4)%ID
\psline(2.3,0.35)(3.1,1.4)(5.4,1.1)%CDE
\psline(5.4,10.75)(6.2,11.8)%JK
\uput[ul](1.7,2.8){A} \uput[l](0,0.7){B} \uput[d](2.3,0.35){C} 
\uput[dr](3.1,1.4){D} \uput[dr](5.4,1.1){E} \uput[dr](6.2,2.15){F} 
\uput[l](0,10.4){G} \uput[ul](2.3,10.05){H} \uput[u](3.1,11.1){I} 
\uput[ul](5.4,10.75){J} \uput[ur](6.2,11.8){K} \uput[u](1.6,12.5){L} 
\uput[d](4.6,0){M} \uput[u](4.6,3.6){N}
\psline[linestyle=dashed](2.3,10.05)(4.6,3.6)(6.9,-3.85)
\psline[linestyle=dashed](2.3,0.35)(4.6,0)(6.9,-0.35) \uput[ur](5.8,-0.2){\texttt{n}}
\uput[l](4.6,1.8){P}\uput[ur](5.17,-0.1){\texttt{p}}
\psline[linestyle=dashed](2.3,10.05)(4.6,1.8)(5.75,-2.325) 
\end{pspicture*}\\
\textbf{Annexe 2 -- Exercice 1}

\medskip

\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(-0.5,-1)(6.5,13)
%\psgrid
\psline(4.6,0)(4.6,3.6)%MN
\pspolygon(0,0.7)(4.6,0)(6.2,2.15)(6.2,11.8)(1.6,12.5)(0,10.4)%BMFKLGB
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,0.7)(1.7,2.8)(6.2,2.15)%BAF
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](1.7,2.8)(1.6,12.5)%AL
\psline(2.3,0.4)(2.3,10.05)(3.1,11.1)(5.4,10.75)(5.4,1.1)%CHIJE
\psline(0,10.4)(2.3,10.05)%GH
\psline(3.1,11.1)(3.1,1.4)%ID
\psline(2.3,0.35)(3.1,1.4)(5.4,1.1)%CDE
\psline(5.4,10.75)(6.2,11.8)%JK
\uput[ul](1.7,2.8){A} \uput[l](0,0.7){B} \uput[d](2.3,0.35){C} 
\uput[dr](3.1,1.4){D} \uput[dr](5.4,1.1){E} \uput[dr](6.2,2.15){F} 
\uput[l](0,10.4){G} \uput[ul](2.3,10.05){H} \uput[u](3.1,11.1){I} 
\uput[ul](5.4,10.75){J} \uput[ur](6.2,11.8){K} \uput[u](1.6,12.5){L} 
\uput[d](4.6,0){M} \uput[u](4.6,3.6){N}\uput[l](4.6,1.8){P}
\psline[linestyle=dashed](2.3,0.35)(4.6,0)(6.9,-0.35)
\psline[linecolor=blue](0,10.4)(2.3,0.35)
\psline[linecolor=blue](4.6,3.6)(5.75,-1.11)
\psline[linecolor=blue](4.6,1.8)(5.05,-0.08)
\uput[dl](5.7,-0.18){N$_{1}$} 
\end{pspicture}\\
\end{tabular}
\newpage

\begin{landscape}
\begin{center}\textbf{Annexe 3 -- Exercice 1} \end{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(15.5,15)
%\psgrid
\psline(0,14.4)(15.5,14.4)
\psline(3.8,11.5)(3.8,0)(9.4,0)(10.8,4.25)(10.8,12.3)
\uput[u](0.3,14.4){$\delta$}
\uput[l](3.8,11.5){\texttt{g}}
\uput[dl](3.8,0){\texttt{b}}
\uput[dr](9.4,0){\texttt{m}}
\uput[dr](10.8,4.25){\texttt{f}} 
\uput[r](10.8,12.3){\texttt{k}}
\psdots(3.8,11.5)(3.8,0)(9.4,0)(10.8,4.25)(10.8,12.3)
\uput[u](14.1435,14.4){F}
\psline[linestyle=dashed](6.6,0)(14.1435,14.4)%cF
\psline[linestyle=dashed](10.8,4.25)(14.1435,14.4)%fF
\uput[d](6.6,0){\texttt{c}}
\psline[linestyle=dashed](3.8,0)(10.8,4.25)%bf
\uput[ul](7.95,2.5){\texttt{d}}
\psline(3.8,11.5)(6.6,11.5)(6.6,0)
\uput[dl](6.6,11.5){\texttt{h}}
\psline(7.95,2.5)(10.2,2.5)%de
\psline(7.95,2.5)(7.95,12)%di
\psline(10.2,12)(10.8,12.3)%jk
\psline(10.2,2.5)(10.2,12)(7.95,12)%eji
\uput[dr](10.2,12){\texttt{j}}
\uput[dr](10.2,2.5){\texttt{e}}
\uput[dr](7.95,12){\texttt{i}}
\uput[ul](6.75,12.3){\texttt{l}}
\psline(10.8,12.3)(6.75,12.3)(3.8,11.5)%%klg
\psline(6.6,0)(7.95,2.5)%cd
\psline(6.6,11.5)(7.95,12)%hi
\psline[linestyle=dashed](3.8,11.5)(14.1435,14.4)%gF
\psline[linestyle=dashed](6.6,11.5)(14.1435,14.4)%hF
\psline[linestyle=dashed](10.8,12.3)(14.1435,14.4)%kF 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}