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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité }
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{23 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Métropole--La Réunion~\decofourright\\23 juin 2010}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisé \hfill 3 heures

\medskip

Deux annexes sont à rendre avec la copie

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 5 points}

\medskip
 
Un immeuble a la forme du solide ABCDEFGHIJKL dont une représentation en perspective parallèle est donnée ci-dessous. 

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(0,-0.5)(6.5,13)
\psline(4.6,0)(4.6,3.6)%MN
\pspolygon(0,0.7)(4.6,0)(6.2,2.15)(6.2,11.8)(1.6,12.5)(0,10.4)%BMFKLGB
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,0.7)(1.7,2.8)(6.2,2.15)%BAF
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](1.7,2.8)(1.6,12.5)%AL
\psline(2.3,0.4)(2.3,10.05)(3.1,11.1)(5.4,10.75)(5.4,1.1)%CHIJE
\psline(0,10.4)(2.3,10.05)%GH
\psline(3.1,11.1)(3.1,1.4)%ID
\psline(2.3,0.35)(3.1,1.4)(5.4,1.1)%CDE
\psline(5.4,10.75)(6.2,11.8)%JK
\uput[ul](1.7,2.8){A} \uput[l](0,0.7){B} \uput[d](2.3,0.35){C} 
\uput[dr](3.1,1.4){D} \uput[dr](5.4,1.1){E} \uput[dr](6.2,2.15){F} 
\uput[l](0,10.4){G} \uput[ul](2.3,10.05){H} \uput[u](3.1,11.1){I} 
\uput[ul](5.4,10.75){J} \uput[ur](6.2,11.8){K} \uput[u](1.6,12.5){L} 
\uput[d](4.6,0){M} \uput[u](4.6,3.6){N} 
\end{pspicture}} 
\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{Une esplanade, qui a la forme du carré CDEM, jouxte cet immeuble.

\medskip
 
À un coin de cette esplanade se trouve un mât vertical représenté par [MN]. 

\medskip

ABMF est un carré de centre D.

\medskip
 
Les points E et C sont les milieux respectifs des segments [MF] et [MB].}

\medskip 

\textbf{Trois dessins sont donnés en annexe. Ils sont à compléter et à rendre avec la copie, en laissant apparents les traits de construction.}

 
\begin{enumerate}
\item On place un projecteur, qui est donc une source de lumière ponctuelle, au point H. 
Le dessin donné en \textbf{annexe 1} est une représentation de l'immeuble en perspective parallèle. 
	\begin{enumerate}
		\item Sur ce dessin représenter l'ombre du mât sur le sol. 
		\item On note P le milieu du mât. Construire l'ombre \texttt{p} du point P.
	\end{enumerate} 
\item À une certaine heure, les rayons du soleil sont parallèles à la droite (GC). Le dessin donné en \textbf{annexe 2} est encore une représentation de l'immeuble en perspective parallèle. 
	\begin{enumerate}
		\item Sur ce dessin représenter l'ombre au soleil du mât sur le sol à cette heure.
		\item L'ombre au soleil du milieu du mât est-elle le milieu de l'ombre du mât ? Justifier.
	\end{enumerate} 
\item En \textbf{annexe 3} on a amorcé une représentation en perspective centrale de cet immeuble.
 
On suppose que la face BCHG est située dans un plan frontal.
 
Les points \texttt{b,~g,~k,~f} et \texttt{m} sont les images des points B, G, K, F et M dans cette perspective. La droite ($\delta$) est la ligne d'horizon. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire les images \texttt{c,~d} et \texttt{e} des points C, D et E (l'ordre de construction n'est pas imposé). 
		\item Compléter la représentation en perspective centrale de l'immeuble. \emph{On ne représentera ni le mât ni les arêtes cachées.}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Soit la suite U de terme général U$_{n}$ définie par U$_{0} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$, par : 

\[\text{U}_{n+1} =  \text{U}_{n} + 2 (n + 1).\]
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que U$_{1} = 2$ et que U$_{2} = 6$. Calculer U$_{3}$· 
\item Chacune des trois propositions suivantes est-elle vraie ou fausse ? 

Justifier les réponses.

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[] Proposition 1 : \og La suite U est arithmétique. \fg 
\item[] Proposition 2 : \og Il existe au moins une valeur de $n$ pour laquelle

 U$_{n} = n^2 + 1$. \fg 
\item[] Proposition 3 : \og Pour toutes les valeurs de $n$, on a U$_{n} = n^2 + 1$. \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{tabular}{p{1.5cm}l l} 
&Entrée :&N un entier naturel non nul\\ 
&Initialisation : &P = 0 \\
&Traitement : &Pour K allant de 0 à N :\\
&&\begin{tabular}{p{0.5cm}|l} 
&Affecter à P la valeur P + K\\
& Afficher P\\
\end{tabular} \\
&Fin de l'algorithme&\\
\end{tabular} 
	\begin{enumerate}
		\item Faire fonctionner cet algorithme avec N = 3. 
		
Obtient-on à l'affichage les valeurs des quatre premiers termes de la suite U ? 
		\item Modifier cet algorithme de manière à obtenir à l'affichage les valeurs des N premiers termes de la suite U.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $k,~\left(k^2 + k\right) + 2(k + 1) = (k + 1)^2 + k + 1.$ 
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,~ \text{U}_{n} = n^2 + n$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip 

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~15] par 

\[f(x) = 2 + 3\ln x.\]

On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal. 

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~15]. 
\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ en son point d'abscisse 1. 
\item Résoudre l'équation $f(x) = 8$. 
\item Parmi les trois représentations graphiques données ci-dessous, une seule représente la fonction $f$.
 
Préciser quelle est cette représentation et justifier l'élimination de chacune des deux autres.
\end{enumerate}

\vspace{0,75cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.5cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(16,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(16.1,11)
\rput(8,12){\no 1}\uput[d](16,0){$x$}\uput[l](0,11){$y$}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{15}{x ln 3 mul 2 add}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(16,11)
\end{pspicture}&\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.5cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(16,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(16.1,11)
\rput(8,12){\no 2}\uput[d](16,0){$x$}\uput[l](0,11){$y$}
%\pscurve[linewidth=1.25pt](1,10)(3,6.7)(4,5.7)(6,4.55)(8,3.75)(10,3.1)(12,2.5)(15,1.85)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{15}{10 0.25 x mul 0.75 add  div}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(16,11)
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.5cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(16,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(16.1,11)
\rput(8,12){\no 3}\uput[d](16,0){$x$}\uput[l](0,11){$y$}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=4000]{1}{15}{2.71828 x 1 sub  6.6 div exp 2 add}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(16,11)
\end{pspicture}
\end{center} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $10^3 \equiv -1 (\text{modulo}~~ 13)$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item En déduire le reste de la division euclidienne de $10^6$ par $13$. 
		\item Montrer que $10^9 \equiv -1 (\text{modulo}~~ 13)$ et que $10^{12} \equiv 1 (\text{modulo}~~ 13)$.
	\end{enumerate} 
\item Soit l'entier N = \np{5292729824628}. 
	\begin{enumerate}
		\item En remarquant qu'une autre écriture de N est :
		 
\[\text{N} = 5 \times 10^{12} + 292 \times 10^9 + 729 \times 10^6 + 824 \times 10^3 + 628\] 

démontrer que N est congru à $246$ modulo 13. 
		\item N est-il divisible par $13$ ?		 
		\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Démontrer que le nombre $10^{2010} + 12$ est divisible par $13$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXES (à compléter et à rendre avec la copie)}
\end{center}

\textbf{Annexe 1 -- Exercice 1}

\medskip

\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(0,-0.5)(6.5,13)
\psline(4.6,0)(4.6,3.6)%MN
\pspolygon(0,0.7)(4.6,0)(6.2,2.15)(6.2,11.8)(1.6,12.5)(0,10.4)%BMFKLGB
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,0.7)(1.7,2.8)(6.2,2.15)%BAF
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](1.7,2.8)(1.6,12.5)%AL
\psline(2.3,0.4)(2.3,10.05)(3.1,11.1)(5.4,10.75)(5.4,1.1)%CHIJE
\psline(0,10.4)(2.3,10.05)%GH
\psline(3.1,11.1)(3.1,1.4)%ID
\psline(2.3,0.35)(3.1,1.4)(5.4,1.1)%CDE
\psline(5.4,10.75)(6.2,11.8)%JK
\uput[ul](1.7,2.8){A} \uput[l](0,0.7){B} \uput[d](2.3,0.35){C} 
\uput[dr](3.1,1.4){D} \uput[dr](5.4,1.1){E} \uput[dr](6.2,2.15){F} 
\uput[l](0,10.4){G} \uput[ul](2.3,10.05){H} \uput[u](3.1,11.1){I} 
\uput[ul](5.4,10.75){J} \uput[ur](6.2,11.8){K} \uput[u](1.6,12.5){L} 
\uput[d](4.6,0){M} \uput[u](4.6,3.6){N} 
\end{pspicture}

\medskip

\textbf{Annexe 2 -- Exercice 1}

\medskip

\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(0,-0.5)(6.5,13)
\psline(4.6,0)(4.6,3.6)%MN
\pspolygon(0,0.7)(4.6,0)(6.2,2.15)(6.2,11.8)(1.6,12.5)(0,10.4)%BMFKLGB
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,0.7)(1.7,2.8)(6.2,2.15)%BAF
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](1.7,2.8)(1.6,12.5)%AL
\psline(2.3,0.4)(2.3,10.05)(3.1,11.1)(5.4,10.75)(5.4,1.1)%CHIJE
\psline(0,10.4)(2.3,10.05)%GH
\psline(3.1,11.1)(3.1,1.4)%ID
\psline(2.3,0.35)(3.1,1.4)(5.4,1.1)%CDE
\psline(5.4,10.75)(6.2,11.8)%JK
\uput[ul](1.7,2.8){A} \uput[l](0,0.7){B} \uput[d](2.3,0.35){C} 
\uput[dr](3.1,1.4){D} \uput[dr](5.4,1.1){E} \uput[dr](6.2,2.15){F} 
\uput[l](0,10.4){G} \uput[ul](2.3,10.05){H} \uput[u](3.1,11.1){I} 
\uput[ul](5.4,10.75){J} \uput[ur](6.2,11.8){K} \uput[u](1.6,12.5){L} 
\uput[d](4.6,0){M} \uput[u](4.6,3.6){N} 
\end{pspicture}

\newpage

\begin{landscape}
\begin{center}\textbf{Annexe 3 -- Exercice 1} \end{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(15.5,15)
\psline(0,14.4)(15.5,14.4)
\psline(3.8,11.5)(3.8,0)(9.4,0)(10.8,4.25)(10.8,12.3)
\uput[u](0.3,14.4){$\delta$}
\uput[l](3.8,11.5){\texttt{g}}\uput[dl](3.8,0){\texttt{b}}
\uput[dr](9.4,0){\texttt{m}} \uput[dr](10.8,4.25){\texttt{f}} 
\uput[r](10.8,12.3){\texttt{k}}
\psdots(3.8,11.5)(3.8,0)(9.4,0)(10.8,4.25)(10.8,12.3) 
\end{pspicture}
\end{landscape}
\end{document}