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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat  L spécialité }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{ juin 2004}}
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\begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat L facultatif Métropole juin 2004~\decofourright}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisée \hfill 3 heures

Ce sujet nécessite une feuille de papier millimétré

\vspace{0,5cm}

Le candidat doit traiter \textbf{trois} exercices

Obligatoirement : l'exercice 1 et l'exercice 2

Au choix : l'exercice 3 \textbf{ou} l'exercice 4

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire} \hfill 7 points}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle I = [0 ; 10] par 

\[f(x) = x^2 - 10x + 100.\]

\begin{enumerate} 
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle I et montrer 
qu'elle admet un minimum que l'on précisera. 
\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal avec pour unités un centimètre sur l'axe des abscisses et deux millimètres sur l'axe
 des ordonnées. 
\item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 81$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie II}

On considère un triangle équilatéral ABC dont les côtés ont pour longueur 
10 centimètres et un point $M$ du segment [AB]. 

Le point $N$ est le point du segment [AC] tel que A$N$ = A$M$.

Le point $H$ est le pied de la hauteur issue de $N$ dans le triangle A$N$B.

\begin{enumerate}
\item Faire une figure. 
\item L'objectif de cette question est de déterminer par le calcul le point $M$ du segment [AB] pour lequel la distance B$N$ est minimale. Les distances  sont exprimées en centimètres. 

On pose A$M = x$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer L'intervalle des valeurs possibles pour $x$. 
		\item Déterminer en fonction de $x$ la distance $H$B. 
		\item Montrer que $HN = \dfrac{\sqrt{3}}{2}x$.
		\item Déterminer en fonction de $x$ la valeur de B$N^2$. 
		\item En utilisant les résultats précédents, déterminer le point $M$ du segment [AB] pour lequel B$N^2$ est minimal.
	\end{enumerate}

\item L'objectif de cette question est de retrouver géométriquement le résultat de la question précédente.
	\begin{enumerate}
		 \item Montrer que la distance B$N$ est minimale lorsque l'angle 
$\widehat{\text{A}N\text{B}}$ est droit. 
		\item Vérifier que l'on retrouve bien la réponse à la question \textbf{2.}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill 6 points} 

\medskip

Au 1\up{er} janvier 2004, j'ai une somme $u_0$ de \np{1000}~\euro{}
 sur mon compte rémunéré en intérêts composés à 2\,\% par an. 

On note $u_0 = \np{1000}$. 

Les intérêts sont versés chaque année le 31 décembre. 

Je décide qu'à partir de 2005 je retirerai chaque année 100~\euro{} le 1\up{er}
janvier.

J'appelle $u_n$ le solde au 1\up{er} janvier de l'année (2004 $+ n$) 
après mon retrait de 100~\euro.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les soldes $u_1$ et $u_2$ de ce compte.
		\item La suite de terme général $u_n$ est-elle arithmétique ? Est-elle géométrique ?
		\item Montrer que pour tout $n$ entier naturel, $u_{n+1} = 1,02u_n - 100$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On pose, pour tout $n$ entier naturel, $v_n = u_n - \np{5000}$. Calculer  $v_0$.
		\item Montrer que pour tout $n,~ v_{n+1} = 1,02v_n$.
		\item Exprimer le terme général $v_n$ de la suite $\left(v_n\right)$ en fonction de $n$.
 \end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		 \item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Calculer $u_{10}$ en arrondissant à 0,01 près.
		\item À partir du $1\up{er}$ janvier de quelle année mon compte aura-t-il un solde négatif pour la première fois ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3 au choix} \hfill 7 points}

\medskip

Le but de l'exercice est de prouver pour les nombres à quatre chiffres, le critère de divisibilité : \og Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3 \fg{}.

\begin{enumerate}
\item Un exemple
	\begin{enumerate}
		\item Pour un entier naturel $n$, que signifie La phrase \og $n$ est congru  à 1 modulo 3 \fg{} ?

Traduire à l'aide d'une congruence \og $n$ est divisible par 3 \fg{}.
		\item Pour chacun des nombres suivants, donner l'entier positif le plus petit auquel il est congru modulo 3 : 10, 100, 1 000, $10 ^p$ où $p$ est un entier positif.
		\item Déterminer le plus petit entier, positif auquel est congru le nombre 4520  modulo 3.

On remarquera que $\np{4520}  = 4 \times \np{1000} + 5 \times 100 + 2 \times 10$.
		\item En utilisant la \textbf{question b.} trouver le reste de la division de \np{5112} par 3.
	\end{enumerate}
\item Quelques généralisations

On considère un entier $N$ à quatre chiffres, quatre entiers $a,~ b,~ 
c$ et $d$ entre 0 et 9 tels que $a \neq 0$ et $N = \np{1000}a + 100b + 10c + d$.

Le chiffre des unités est $d$, celui des dizaines $c$, des centaines 
$b$ et des milliers $a$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $N \equiv a + b + c + d \quad  \text{modulo}\quad  3$.
		\item Justifier, pour les nombres à quatre chiffres, le critère de divisibilité par 3 énoncé au début de l'exercice.
		\item Énoncer un critère analogue de divisibilité par 9 et le démontrer pour les  nombres à quatre chiffres.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 au choix} \hfill 7 points}

\medskip

À l'université de sciences économiques, les étudiants de licence sont répartis en deux filières A et B. Un tiers des étudiants de licence est dans la filière A.

Parmi les étudiants de la filière A, $60\,\%$ sont inscrits dans l'option droit.

Parmi les étudiants de la filière B, $90\,\%$ sont inscrits dans L'option droit.

\begin{enumerate}
\item On interroge un étudiant de licence au hasard. 

On note A l'évènement \og l'étudiant est dans la filière A \fg{}. 

On note D l'évènement \og l'étudiant est inscrit à l'option droit \fg{}.

	\begin{enumerate}
		\item Traduire la situation ci-dessus par un arbre.
		\item Montrer que la probabilité pour que l'étudiant soit inscrit dans l'option droit est $p$(D) = 0,8.
		\item Déterminer la probabilité $p_{\overline{\text{D}}}(\text{A})$, probabilité pour que l'étudiant appartienne  à la filière A sachant qu'il n'est pas inscrit dans l'option droit.
	\end{enumerate}
\item On interroge au hasard successivement trois étudiants de licence. On 
s'intéresse au nombre d'étudiants inscrits dans l'option droit, parmi 
les trois étudiants interrogés.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité pour que les trois étudiants soient inscrits dans l'option droit.
		\item Calculer la probabilité pour que deux étudiants exactement soient inscrits dans l'option droit.
		\item Calculer la probabilité pour qu'aucun des trois étudiants ne soit inscrit dans l'option droit.
		\item Calculer la probabilité pour qu'au moins un des trois étudiants ne soit pas  inscrit dans l'option droit.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}