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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small  Baccalauréat TL }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat TL Métropole juin 1999~\decofourright}

\end{center} 

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, on donnera chaque résultat sous forme d'une fraction irréductible.}

\medskip
 
Une urne contient quatre boules blanches et cinq boules noires. Ces boules étant indiscernables au toucher, on conviendra que tous les tirages possibles d'une boule sont équiprobables.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On tire simultanément deux boules de cette urne. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule de chaque couleur ? 
\item On tire une boule et on la remet dans l'urne, puis on effectue un second 
tirage d'une boule. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir d'abord une noire, puis une blanche ? 
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir successivement une boule de chaque 
couleur ?
	\end{enumerate} 
\item  On tire une boule et on note sa couleur. Si elle est noire on la remet dans l'urne, sinon on ne la remet pas. Dans les deux cas, on effectue un second tirage d'une boule.
 
Quelle est la probabilité de tirer une boule de chaque couleur ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $P$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[P(x) = x^2 + 9x - \np{4140}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(60)$. 
		\item Résoudre $P(x) = 0$ et en déduire le signe de $P(x)$ en fonction de $x$.
		\item Dresser le tableau de variations de $P$.
\end{enumerate}
\item On dispose d'une subvention de \np{414000}~F pour atteindre dans un désert une nappe d'eau souterraine. Le coût du forage est fixé à \np{1000}~F pour le premier mètre creusé, \np{1200}~F pour le deuxième, \np{1400}~F pour le troisième et ainsi de suite en augmentant de 200~F par mètre creusé.
 
On désigne par $u_{n}$ le coût en francs du du $n$-ième mètre creusé $(n \in \N*)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $u_{5}$. Préciser la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ et exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Pour tout entier non nul $n$, on désigne par $S_{n}$ le coût total en francs d'un puits de $n$ mètres (par exemple, le coût total d'un puits de 3 mètres est $\np{1000} + \np{1200} + \np{1400} = \np{3600}$). 

Montrer que le coût total d'un puits de $n$ mètres est $100n^2 + 900n$.
		\item À l'aide de la question 1., indiquer la profondeur maximale du forage que l'on peut réaliser. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Probl\`eme} \hfill 11 points}

\medskip

\emph{On prendra soin de faire figurer sur la copie les calculs intermédiaires conduisant aux résultats présentés.}

\medskip
 
Le plan étant rapporté à un repère orthonormal \Oij, la courbe $\mathcal{C}$ tracée ci-dessous représente la fonction $f$ définie sur $\R$ par

\[f(x) = \dfrac{x + 1}{\text{e}^x} - x.\]

\medskip
 
Le but du problème est d'étudier la fonction $f$ puis d'encadrer une intégrale. 

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A - Étude d'une fonction auxiliaire}~\boldmath $g$ \unboldmath \end{center}

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = x + \text{e}^x$. 

\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée de $g$ et étudier les variations de $g$. Déterminer les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. 
\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $\R$ et justifier l'encadrement $-0,57 < \alpha < -0,56$.
\item En déduire le signe de $g(x)$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\begin{center}\textbf{Partie B - Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath et de la courbe \boldmath $\mathcal{C}$ \unboldmath} \end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Sachant que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$, déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. On admettra 
que la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$ est égale à $- \infty$. 
\item Montrer que $f'(x) = - \dfrac{g(x)}{\text{e}^x}$. Déduire de la \textbf{partie A} le sens de variation de $f$. 
\item  En utilisant la question 2. de la \textbf{partie A}, montrer que $f(\alpha) = - 1 - \dfrac{1}{\alpha} - \alpha$. 
\item  Montrer que la droite $D$ d'équation $y = - x$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$. Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à D et préciser les coordonnées de leur point d'intersection. ~ 
\item  Montrer qu'il existe un point A de $\mathcal{C}$ tel que la tangente en ce point soit parallèle à $D$.
 
Déterminer l'équation de cette tangente que l'on appellera T. 
\item  Construire sur le graphique ci-dessous les droites $D$ et T. 
\item  En observant la représentation graphique, indiquer quelles semblent être les valeurs de $m$ pour lesquelles l'équation $f(x) = -x + m$, d'inconnue $x$, admet une solution unique.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie C - Étude d'une intégrale} \end{center}

On pose J = $\displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\:\text{d}x$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une interprétation graphique, justifier l'encadrement $1 < \text{J} < 2$.  
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x) =  (x + 2)\text{e}^{-x}$. 
		\item En déduire une primitive de $f$ sur $\R$. 
		\item Calculer la valeur exacte de J.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{document}