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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Métropole}
\lfoot{\small{Bac L facultatif }}
\rfoot{\small{juin 2001}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L Métropole juin 2001~\decofourright}} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Lors d'une fête foraine, une loterie est organisée toutes les heures. \`A
 chaque fois, trente billets sont vendus parmi lesquels dix sont gagnants (on admet que tous les billets ont la même probabilité d'être achetés).

On donnera pour chaque résultat la valeur exacte puis la valeur approchée arrondie au millième.

\begin{enumerate} 
\item Luc achète un billet. Quelle est la probabilité que ce billet soit gagnant ?
\item Marc participe à trois loteries consécutives pour lesquelles
 il prend à chaque fois un billet (on admet que les loteries sont indépendantes).
 
 Quelle est la probabilité que Marc ait au moins un billet gagnant ?
\item Pierre participe à une loterie, il achète simultanément trois
 billets.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la probabilité que Pierre n'ait pas de billet gagnant ?
		\item Quelle est la probabilité que Pierre ait au moins un billet gagnant ?
	\end{enumerate}
\item Qui de Pierre ou de Marc a le plus de chances d'avoir 
au moins un billet gagnant ?
\item La publicité annonce \og \emph{Un billet sur trois est 
gagnant ! Achetez trois billets !} \fg{} Ce texte suggère que, en achetant trois billets, on est sûr de gagner.

Que pensez-vous de l'énoncé de la publicité ?
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

On considère la suite	définie pour tout entier naturel $n$ par 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0			& =	&-\dfrac{3}{ 2}\\
u_{n+1}	&=	&\dfrac{2}{3}u_n - 1\\
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
		\item La suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est-elle arithmétique ?
 géométrique ?
 	\end{enumerate} 
\item On pose $v_n = u_n + 3$. Démontrer que la suite 
$\left(v_n\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique ; déterminer sa raison et son premier terme.
\item Donner l'expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction 
de $n$.
\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$.
\item On pose $s_n =  v_0 + v_1 + \cdots + v_{n-1}$.

Exprimer $s_n$ en fonction de $n$ et en déduire $\displaystyle\lim_{n 
\to + \infty} s_n$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip
	
\emph{On prendra soin de faire figurer sur la copie les calculs intermédiaires conduisant aux résultats présentés.}

Le plan étant rapporté à un repère orthonormal \Oij, la courbe 
$\mathcal{C}$ tracée sur la feuille annexe représente la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^{-2x} -4\text{e}^{-x} - 2x + 4.\]

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ (on pourra  factoriser $\text{e}^{-x}$ et utiliser la propriété $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{x} = 0$).

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Soit la droite $\Delta$ d'équation $y = -2x + 4$. Tracer la droite 
$\Delta$ sur la feuille annexe, qui sera remise avec la copie, et montrer que
 $\Delta$ est une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Calculer les coordonnées de A, point d'intersection de $\mathcal{C}$ et de $\Delta$.
		
Déterminer la position relative de $\mathcal{C}$ et de $\Delta$.
 	\end{enumerate}
\item Montrer que $f'(x) = -2 \left(\text{e}^{-x} -1\right)^2$. En déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur l'intervalle [1~;~2]
 une unique solution $\alpha$.

Soit K le point de la courbe qui a pour abscisse $\alpha$ ; placer ce point sur la figure.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une équation de la tangente D au point B d'abscisse $0$.
		\item Déterminer les coordonnées du point E de $\mathcal{C}$ o\`u la tangente D$'$ à la courbe est parallèle à la droite $\Delta$.
		\item Placer les points B et E sur la feuille annexe et construire les 
droites D et D$'$.
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par

\[g(x) = -2x + 4 - f(x).\]

Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{- \ln 4}^0 g(x)\: \text{d}x$. Donner une interprétation graphique de ce résultat en illustrant la réponse à l'aide de la feuille annexe.
 \end{enumerate}
 
\newpage
 
\begin{center} {\large \textbf{Feuille annexe à rendre avec la 
 feuille}}

\vspace{1,5cm} Problème : courbe représentative de la fonction $f$.

\vspace{1cm}

\begin{pspicture}(-3,-10)(9,8)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange](0,0)(-3,-10)(9,8)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-3,0)(9,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-10)(0,8)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.4,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.4){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.445}{7}{2.71828 x 2 mul neg exp 2.71828 x neg exp 4 mul sub 
x 2 mul sub 4 add}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}