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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}\lhead{\small Bac L facultatif}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2001}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L Métropole septembre 2001~\decofourright}}}\end{center}

\begin{center}Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient : 4  \end{center}
    
Une feuille de papier millimétré, qui sera utilisée dans le problème, est remise au candidat avec le sujet.

L'usage des calculatrices est autorisé.

Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.

\vspace{0,25cm}   

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre le système	\renewcommand\arraystretch{1.8}$\left\{\begin{array}{l c l}
u +\dfrac{1}{2}v&=&0\\
u - \dfrac{1}{4}v&=&\dfrac{3}{2}\\
\end{array}\right. \renewcommand\arraystretch{1}\qquad $ 	($u$  et $v$ réels).
\item Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = a\text{e}^x + \dfrac{b}{\text{e}^x + 1} \quad (a \quad \text{et} 
\quad b \quad \text{réels}).\]

Trouver les valeurs des réels $a$ et $b$, sachant que la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère \Oij~ passe par O et que la tangente à la
 courbe en ce point est parallèle à la droite $\Delta$
d'équation $y = \dfrac{3}{2}x - 2$.

\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[g(x) = \text{e}^x - \dfrac{2}{\text{e}^x + 1}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $g(x) = 0$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $g(x) \geqslant 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\emph{Dans cet exercice, les questions} 1, 2 et 3 \emph{sont indépendantes}.

Une urne A contient trois pièces de monnaie en cuivre et deux pièces en 
argent. Une urne B contient quatre pièces de monnaie en cuivre et une pièce
 en argent. On considère que dans chaque urne, toutes les pièces étant 
indiscernables au toucher, chaque pièce a la même probabilité d'être tirée.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On enlève une pièce de l'urne A et une pièce de B. Quelle est
 la probabilité pour que, à l'issue de ces deux opérations, les deux urnes
 aient la même composition ?
\item Les urnes ont la composition donnée au début de l'exercice.
 
On tire simultanément trois pièces de l'urne A ; ces pièces sont ensuite 
placées dans B. Soit $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de pièces en cuivre contenues dans B à l'issue de ces opérations.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la valeur minimale prise par $X$ est 5. 
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}
\item Les urnes ont à nouveau la composition donnée au début de 
l'exercice. On tire une pièce de A, que l'on place dans B, puis on enlève
 une pièce de B. Quelle est la probabilité pour que l'urne B ne contienne 
que des pièces en cuivre à l'issue de ces opérations ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Problème} \hfill 11 points}

\medskip

\emph{On prendra soin de faire figurer sur la copie les calculs intermédiaires conduisant aux résultats présentés.}

On considère la fonction $f$ définie sur $]1~;~ + \infty[$ par 

\[f(x) = 2x + \ln (x - 1) - \ln x.\]

Le plan étant rapporté à un repère orthogonal \Oij, on appelle 
$\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{ Partie A : étude de la fonction\boldmath $f$ \unboldmath
et de la courbe \boldmath $\mathcal{C}$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $f'(x) = 2 + \dfrac{1}{x(x-1)}$	et en déduire le sens de
 variations de $f$ sur $]1~;~+ \infty[$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la limite de $f$ en 1.
		\item Vérifier que $f(x) = 2x + \ln \left(1 - \dfrac{1}{x}\right)$ et en déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate} 
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Montrer que la droite d'équation $y = 2x$ est asymptote à la courbe 
$\mathcal{C}$ en $+ \infty$.

Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\Delta$.
\item Montrer que, sur l'intervalle [2 ; 3], l'équation $f(x) =  4$ admet une unique solution $\alpha$. Donner une valeur approchée de $\alpha$ au centième près.
\item Construire la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\Delta$ sur une feuille de papier millimétré (on prendra comme unités : 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées).
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la fonction $F$ définie par $F(x) = x^2 + (x - 1) \ln (x - 1) - x \ln x$ est une primitive de $f$ sur $]1~ ;~ + \infty[$.
		\item En déduire l'aire, exprimée en unités d'aires, du domaine du plan compris entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 2$ et $x =  3$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ Partie B : étude d'une suite}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)_{n \geqslant 2}$ de terme général 
$u_n =f(n) - 2n$ ($n$ entier naturel supérieur ou égal à 2).

\begin{enumerate} 
\item Étudier le signe de $u_n$ en fonction de $n$.
\item Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, on pose $S_n = u_2 + u_3 + 
\ldots + u_n.$
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $S_n = \ln \dfrac{1}{n}$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(S_n\right)_{n\geqslant 2}$.%
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}