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%TapuscritDenis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm} 
\lhead{\small Baccalauréat  L}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2011}}

\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat L Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\
Épreuve de spécialité - novembre 2011\\Durée : 3 heures}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Les parties A  et B sont indépendantes.}
 
\textbf{Dans cet exercice, on utilise l'annexe 1 qui sera rendue avec la copie.}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Dans cette partie, on considère la fonction définie sur [-5~;~3] par 

\[f(x) = (ax + b)\text{e}^{0,5x},\]

où $a$ et $b$ sont deux réels fixés.
 
On donne en annexe 1, la courbe représentative de la fonction $f$ ainsi que la tangente à cette courbe au point d'abscisse $0$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En s'aidant uniquement du graphique répondre aux questions suivantes : 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de $f(0)$. 
		\item Expliquer pourquoi $f^{\prime}(0) = 4$.
	\end{enumerate} 
\item Calculer $a$ et $b$ et en déduire une expression de $f(x)$. 
\item En s'aidant du graphique, déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$.
 
On précisera le signe des solutions et on fera apparaître les traits de construction sur le graphique donné en annexe 1.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on considère la fonction $g$ définie sur [-5~;~3] par 

\[g(x) = (3x + 2)\text{e}^{0,5x}.\]

On admet que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[-5~;~3]$,

$g^{\prime}(x) = (1,5x + 4)\text{e}^{0,5x}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur [-5~;~3] et dresser son tableau de variation. 
\item Donner une équation de la tangente à la courbe représentant $g$ au point d'abscisse $1$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}

\medskip

Une banque attribue à chacun de ses clients un numéro de compte à 7 chiffres. Les 6 premiers chiffres sont donnés. Le septième chiffre est une clé de contrôle, c'est-à-dire qu'il sert à déceler les éventuelles erreurs de saisie du numéro de compte.

\medskip
 
Pour déterminer ce dernier chiffre on procède de la façon suivante :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] On effectue la division euclidienne du nombre constitué des 6 premiers chiffres par 12.
 
On obtient un reste $R$.
\item[$\bullet~~$] On exprime ce reste $R$ en base 12 et on obtient le septième chiffre.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Remarque : Si $R = 10$, le dernier chiffre est $A$ et si $R = 11$, le dernier chiffre est $B$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le nombre 1231309 est-il un numéro de compte possible ? 
\item Déterminer la clé du numéro de compte dont les 6 premiers chiffres sont 425629. 
\item Eric a fait une tache d'encre sur son numéro de compte. Elle cache le quatrième chiffre de ce numéro. On note $a$ le chiffre manquant. Son numéro de compte est de la forme $124a55B$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le reste de la division euclidienne de 55 par 12. 
		\item Démontrer que $10^2 \equiv  4 \:\:(\text{mod}\: 12)$ et $10^3 \equiv 4 \:\: (\text{mod}\: 12)$.
		\item Déduire de la question b. les restes respectifs des divisions euclidiennes de $10^4$ et $10^5$ par 12. 
		\item En utilisant les questions précédentes, démontrer que le chiffre $a$ vérifie : 
		
\[11 + 4a \equiv  11 \quad (\text{mod}\: 12).\]

		\item Quelles sont les valeurs possibles de $a$ ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\medskip

Deux urnes sont notées U$_{1}$ et U$_{2}$. Chacune contient cinq boules.
 
Dans l'urne U$_{1}$, il y a deux boules blanches et trois boules noires.

Dans l'urne U$_{2}$, il y a une boule blanche et quatre boules noires.

\medskip
 
Un jeu consiste à lancer un dé à 6 faces.

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Si le résultat est 6, le joueur tire une boule dans U$_{1}$. 
\item[$\bullet~~$] Sinon, il tire une boule dans U$_{2}$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Le joueur gagne lorsqu'il tire une boule blanche.
 
On note les évènements suivant :
 
$S$ : \og le joueur obtient 6 \fg, $\overline{S}$ est son évènement contraire.

$G$ : \og le joueur gagne\fg{} et $\overline{G}$ : \og le joueur perd \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner, sous forme de fraction, les probabilités suivantes : 

$P(S),\: P\left(\overline{S}\right),\:P_{S}(G),\:P_{\overline{S}}\left(\overline{G}\right)$. 
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous : 

\begin{center}\psset{arrows=->,nodesepB=6pt}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$S$\phantom{a}}}
	  { 
		  \TR{$G$}
		  \TR{$\overline{G}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{S}$\phantom{a}}}
	  {
		  \TR{$G$}
		  \TR{$\overline{G}$}	  
	  }
	
}
\end{center}

\item Montrer que la probabilité que le joueur gagne est $P(G) = \dfrac{7}{30}$. 
\item Un joueur a gagné. Quelle est la probabilité que la boule provienne de l'urne U$_{1}$ ? 
\item Les évènements $G$ et $S$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement $G \cup S$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points}

\medskip

La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH représenté en perspective cavalière. Sur la face ABFE, les points I, J, K et L sont les milieux respectifs des segments [AE], [EF], [FB] et [BA].

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(5,5)
\psframe(4,4)
\psline(4,0)(5.2,1)(5.2,5)(4,4)%CGFB
\psline(5.2,5)(1.2,5)(0,4)%FEA
\pspolygon(2,4)(4.6,4.5)(3.2,5)(0.6,4.5)%LKJI
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.2,1)(5.2,1)%DHG
\psline[linestyle=dashed](1.2,1)(1.2,5)%HE
\uput[l](0,4){A} \uput[r](4,4){B} \uput[d](4,0){C} \uput[d](0,0){D} 
\uput[u](1.2,5){E} \uput[u](5.2,5){F} \uput[r](5.2,1){G} \uput[ul](1.2,1){H} 
\uput[l](0.6,4.5){I} \uput[u](3.2,5){J} \uput[r](4.6,4.5){K} \uput[d](2,4){L} 
\end{pspicture}
\end{center} 

Le but de l'exercice est de faire une représentation en perspective centrale de cette figure. Les représentations des points A, B, C, \ldots sont nommées \texttt{a, b, c,} \ldots Les droites (DG) et (BC) sont frontales.
 
Les questions 1., 2., 3. et 4. seront traitées sur l'annexe 2 à rendre avec la copie.
 
On a tracé la ligne d'horizon ainsi que les représentations des segments [DG] et [BC].

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Placer les points de fuite des droites (\texttt{dc}) et (\texttt{cg}).  
\item Placer le point \texttt{h}, représentant le point H 
\item Placer les points \texttt{a} et \texttt{f}, puis terminer la représentation du cube. 
\item Tracer la représentation du motif IJKL. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft} 
\textbf{EXERCICE 1 - Partie A }
\end{flushleft}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-3)(4,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-3)(4,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.3pt]
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{0.727}{3 x mul 2 add 2.71828 0.5 x mul exp mul}
\end{pspicture}

\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft} 
\textbf{EXERCICE 4}
\end{flushleft}

\vspace{2cm}

\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(15.6,15)
\psline(0,13)(15.6,13)
\psline(5.2,10)(9,10)
\psline(7,7.3)(7,9.3)
\psdots(5.2,10)(9,10)(7,7.3)(7,9.3)
\uput[u](5.2,10){\texttt{d}} \uput[u](9,10){\texttt{g}} \uput[r](7,7.3){\texttt{c}} \uput[r](7,9.3){\texttt{b}} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}