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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%
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%Tapuscrit Denis Vergès
\def\({$\displaystyle}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.} 
\lhead{\small Baccalauréat L}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{8 juin 2012}}
\thispagestyle{empty}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat TL-Enseignement de spécialité~\decofourright\\Polynésie 8 juin 2012}} 
\end{center}

\vspace*{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 5 points}

\medskip

La ville de Mathheim a deux clubs de football, l'Olympique et le Sporting.
 
Pour le match opposant ces deux clubs un pari est organisé auprès des supporters des deux équipes. 
Parmi les parieurs, 75\,\% sont des supporters de l'Olympique et 25\,\% des supporters du Sporting. Aucun parieur n'est supporter des deux équipes.
 
On sait que :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 80\,\% des supporters de l'Olympique ont parié la victoire de leur équipe, 10\,\% sa défaite et 10 \,\% un match nul. 
\item[$\bullet~~$] 70\,\% des supporters du Sporting ont parié la victoire de leur équipe, 20\,\% sa défaite et 10\,\% un match nul.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On prend au hasard l'un des parieurs et on note :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement \og le parieur est supporter de l'Olympique \fg, 
\item[$\bullet~~$] $O$ l'évènement \og le parieur a pronostiqué la victoire de l'Olympique \fg, 
\item[$\bullet~~$] $S$ l'évènement \og le parieur a pronostiqué la victoire du Sporting \fg, 
\item[$\bullet~~$] $N$ l'évènement \og le parieur a pronostiqué le match nul \fg. 
\item[$\bullet~~$] $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item D'après l'énoncé quelles sont les probabilités $P(A)$ de l'évènement $A$ et $P_{A}(O)$ de l'évènement $O$ sachant $A$ ? 
\item Calculer la probabilité que le parieur soit supporter de l'Olympique et donne son équipe gagnante. 
\item Démontrer que $P(O) = 0,65$ et $P(N) = 0,1$. 
\item Calculer la probabilité que le parieur soit un supporter de l'Olympique sachant qu'il a donné l'Olympique gagnant. \emph{On donnera une valeur approchée au millième}. 
\item Les évènements $A$ et $O$ sont-ils indépendants ? 
\end{enumerate} 

\vspace*{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 } \hfill 5 points}

\medskip

Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte.
 
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Pour chaque question, une seule réponse est acceptée. Aucune justification n'est demandée.
 
\emph{Une réponse exacte apporte $1$ point; une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte ni n'enlève de points.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x\text{e}^{-x}$.
 
La fonction dérivée $f^{\prime}$ de $f$ est définie pour tout nombre réel $x$ par : 
	\begin{enumerate}
		\item $f^{\prime}(x) = - \text{e}^{-x}$ 
		\item $f^{\prime}(x) = x\text{e}^{-x} - x$ 
		\item $f^{\prime}(x) = (1 - x)\text{e}^{-x}$ 
		\item Aucune des expressions précédentes.
	\end{enumerate} 
\item On donne ci-dessous la représentation graphique d'une fonction $g$ et la tangente (AB) à la courbe au point B d'abscisse $0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Cette tangente a pour équation $y = 0,52x + 0,6$ 
		\item Cette tangente a pour équation $y = - 0,52x - 0,6$ 
		\item Cette tangente a pour équation $y = - 0,52x + 0,6$ 
		\item Cette tangente n'a pour équation aucune des expressions précédentes. 
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(6,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridwidth=0.15pt,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2)(6,3)
\psline[linestyle=dashed](-1.739,-1.5)(6,2.52)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.739}{6}{0.52 x mul x dup mul 0.08 mul sub 0.6 sub}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\item On considère l'algorithme suivant :

\medskip

\begin{tabular}{|l l} 
\textbf{Entrée :}&	$N$ un entier naturel\\
&\\ 
\textbf{Initialisation :}& Affecter à $U$ la valeur $N$\\ 
&\\
\textbf{Traitement :}& Tant que $U \geqslant 7$\\ 
&\hspace{1cm} Affecter à $U$ la valeur $U - 7$\\
& Fin Tant que\\
& \\
\textbf{Sortie :}& Afficher $U$\\
\end{tabular}

\medskip
 
Soit $N$ un entier naturel quelconque.
 
On fait fonctionner cet algorithme avec un nombre entier naturel $N$. Le nombre $U$ obtenu en sortie :
 
	\begin{enumerate}
		\item est le reste de la division euclidienne de $N$ par $7$. 
		\item est le quotient de la division euclidienne de $N$ par $7$. 
		\item est le PGCD de $N$ et de $7$. 
		\item n'est aucun des nombres précédents.
	\end{enumerate} 
\item Soit $n$ un nombre entier naturel.
 
Quand on effectue la division euclidienne de ce nombre entier naturel $n$ par $97$ le reste est $57$. 

Quand on effectue sa division euclidienne par $98$ le quotient est inchangé mais le reste vaut $37$. 
	\begin{enumerate}
		\item $n = \np{11503}$ 
		\item $n = \np{1900}$ 
		\item $n = \np{1997}$ 
		\item $n$ n'est égal à aucun des nombres précédents.
	\end{enumerate}		 
\item On sait que $\np{9117} \equiv 3  \quad \text{modulo} \quad  7$. 
	\begin{enumerate}
		\item $\np{9117}^7 \equiv	1 \quad \text{modulo}\quad  7$ 
		\item $\np{9117}^7 \equiv	3  \quad \text{modulo} \quad  7$ 
		\item $\np{9117}^7 \equiv	0  \quad \text{modulo} \quad  7$ 
		\item Aucune des congruences précédentes n'est exacte. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	 

\vspace*{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 } \hfill 5 points}

\medskip

Rappels :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] On note log la fonction logarithme décimal. 
\item[$\bullet~~$] log $10 = 1$ et log $1 = 0$. 
\item[$\bullet~~$] Quels que soient les nombres réels strictement positifs $a$ et $b$ et quel que soit le nombre entier $n$ on a : 
$\log(ab) = \log a + \log b$ ; 
 
$\log \dfrac{1}{b} = - \log b$ ;
 
$\log \left(a^n\right) = n \log a$ ;
 
$\log a = b \iff  a = 10^b$ ; 

$\log a \leqslant  \log b \iff a \leqslant  b$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip
 
\textbf{L'échelle de Richter}

\medskip
 
L'échelle de Richter, basée sur les mesures faites par les sismographes, exprime la magnitude $M$ d'un séisme. 

Cette magnitude se calcule selon la formule $M = \log \left(\dfrac{A}{A_{0}}\right)$, où $A$ représente l'amplitude maximale  relevée par le sismographe et $A_{0}$ une amplitude de référence. 


\medskip

\begin{enumerate}
\item Que vaut la magnitude $M$ lorsque $A = A_{0}$ ? Lorsque $A = 10 \times A_{0}$ ? Lorsque $A = \np{10000} \times A_{0}$ ?
\item Un séisme est dit \og léger \fg, provoquant des secousses d'objets à l'intérieur des maisons et quelques faibles dommages, lorsque sa magnitude est comprise entre 4 et 5. 

Montrer qu'alors son amplitude est telle que $10^4 \times  A_{0} \leqslant  A \leqslant 10^5 \times  A_{0}$. 
\item La magnitude connue la plus importante est de 9,5. Elle a été enregistrée au Chili en mai 1960.
 
Exprimer son amplitude $A$ en fonction de $A_{0}$.
 
\emph{On donnera une valeur approchée de l'amplitude sous la forme $ a \times 10^b \times A_{0}$ avec $0 < a < 10$ et $b$ entier naturel}. 
\item Un pays vient de connaître un séisme de magnitude 8 suivi d'une réplique de magnitude 4. 

Un journaliste écrit alors que la réplique a été deux fois moins puissante que le premier séisme. 

Que pensez-vous de cette affirmation du journaliste ? Argumentez votre réponse. 
\end{enumerate}
 
\vspace*{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip
 
Un infographiste a commencé le dessin de l'entrée d'une salle de cinéma.
 
Ce dessin, en perspective centrale, est donné en annexe. Il est à compléter au fur et à mesure des questions, et à rendre avec la copie, \textbf{en laissant apparents les traits de construction}. 

Une vue en perspective parallèle de cette salle est donnée ci-dessous: 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,8)

\psline(0,4)(0,0)(6.4,0)(11.6,3.2)(11.6,7.2)(5.2,7.2)(0,4)(6.4,4)(6.4,0)%ABFGHDCB
\psline(6.4,4)(11.6,7.2)%CG
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,4)(1.6,4)(4.2,5.6)(2.6,5.6)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.2,4)(4.8,4)(7.4,5.6)(5.8,5.6)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.2,5.6)(5.8,5.6)(8.4,7.2)(6.8,7.2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7.4,5.6)(9,5.6)(11.6,7.2)(10,7.2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.4,0)(4,0)(9.2,3.2)(7.6,3.2)
\psframe*(2.4,0)(2.55,0.8)\psframe*(5,1.6)(5.15,2.4)\psframe*(7.6,3.2)(7.75,4)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(5.2,3.2)(5.2,7.2)%AEH
\psline[linestyle=dashed](5.2,3.2)(11.6,3.2)%EF
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](6.4,0){B} \uput[u](6.4,4){C} \uput[ul](0,4){D} \uput[ur](5.2,3.2){E} 
\uput[r](11.6,3.2){F} \uput[ur](11.6,7.2){G} \uput[u](5.2,7.2){H} \uput[d](2.4,0){I} \uput[u](2.6,0.8){J} 
\uput[u](5,2.4){K} \uput[u](7.6,4){L} \uput[d](4,0){M} \uput[ur](9.2,3.2){N} \uput[ul](7.6,3.2){P} \uput[ul](5,1.6){Q}
%\psgrid
\end{pspicture}
\end{center}

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] ABFEDCGH est un pavé droit. 
\item[$\bullet~~$] Au sol est disposé un tapis rectangulaire IMNP tel que AI = MB et dont les côtés [IP] et [MN] sont parallèles à la longueur [AE] de la salle, 
\item[$\bullet~~$] Sur le bord gauche du tapis sont disposés trois piliers [IJ], [QK] et [PL], espacés régulièrement et de même hauteur, 
\item[$\bullet~~$] Le plafond comporte huit dalles identiques, alternativement blanches et noires.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On notera respectivement $a, b, \ldots$ les points de la vue en perspective centrale représentant A, B,  \ldots

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sur le dessin donné en annexe, ABCD est dans un plan frontal. Placer le point de fuite principal $\omega$. 
\item L'image du bord gauche [IP] du tapis est dessinée. Construire l'image du bord droit de ce tapis, puis colorier la surface du tapis. 
\item L'image du premier pilier [IJ] est dessinée. Construire les images des deux autres piliers. 
\item Construire les huit dalles du plafond et les colorier. 
\end{enumerate} 

\newpage

{\large\textbf{Annexe - à rendre avec la copie}} 

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.9cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(13,20)
\psframe(12.6,20)
\psline(0,0)(3.6,5.6)%bf
\psline(7.7,5.6)(12.6,0)%gc
\psline(0,12.3)(3.6,9.7)%ip
\psline(0,20)(3.6,12.3)%ae
\psline(7.7,12.3)(12.6,20)%hd
\psframe(3.6,5.6)(7.7,12.3)
\psframe*(0,12.3)(2.7,12.15)%ij
\rput{-90}(-0.3,20){$a$} \rput{-90}(-0.30,0){$b$} \rput{-90}(12.9,0){$c$} \rput{-90}(12.9,20){$d$} 
\rput{-90}(3.6,12.6){$e$} \rput{-90}(3.6,5.3){$f$} \rput{-90}(7.7,5.3){$g$} \rput{-90}(7.7,12.6){$h$} 
\rput{-90}(-0.3,12.3){$i$} \rput{-90}(3,12.3){$j$} \rput{-90}(3.9,9.7){$p$} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}