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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  L}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{8 juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalaurat L Polynésie juin 2005~\decofourright}} 
    
\vspace{0,25cm}

 L'usage d'une calculatrice est autorisée \hfill 3 heures

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\medskip

Pour chacune des questions suivantes, parmi les réponses proposées, ii y a toujours une réponse exacte et une seule.

Le candidat répond sur sa copie en rappelant le numéro de la question et la lettre qui correspond selon lui, à la bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.

Chaque bonne réponse rapporte 0,5 point et chaque mauvaise réponse enlève 0,25 point ; la note totale de l'exercice ne pouvant être inférieure à 0.

\textbf{On rappelle que le nombre d'or, noté \boldmath $\varphi$\unboldmath, est défini par \boldmath $\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$\unboldmath.}

\begin{enumerate}
\item Le nombre d'or $\varphi$ vérifie une des 4 propositions suivantes, laquelle ?

\[\text{A} : ~\varphi^3 = \varphi^2 + 1 \quad 	\text{B} :~ \varphi = \varphi^2 + 1 \quad	\text{C} :~\varphi^2 = \varphi+1 \quad 
\text{D} :~ \sqrt{\varphi} = \varphi - 1.\]

\item Dans un dessin en perspective \textbf{cavalière}.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X}|}}
A : Les droites perpendiculaires sont toujours représentées par des droites perpendiculaires. & B : Les droites parallèles sont toujours représentées par des droites parallèles. & C : Les lignes de fuite se coupent. & D : Les longueurs des segments sont toujours conservées\\
\end{tabularx}
	
\item	Dans un dessin en perspective à \textbf{points de fuite} :

\hspace*{-0.7cm} \begin{tabular}{|*{4}{p{2.6cm}|}}
 A : Sur les plans frontaux, les parallèles sont concourantes.&B : Les points de fuite  sont sur  la ligne d'horizon. & C : Sur les lignes de  fuite les proportions sont respectées. & D : Un angle droit est  toujours représenté par un angle droit.\\
\end{tabular}

\item Dans un triangle équilatéral MNP de centre O :

A : $\widehat{\text{MON}} = 115\degres$

B : les médianes sont les bissectrices intérieures

C : $\widehat{\text{MNP}} = 72\degres$

\item L'angle de deux côtés consécutifs d'un pentagone régulier vaut

A : $100\degres$\quad 	B : $108\degres$ \quad  	C :$116\up{o}$ \quad D :  $122\degres$

\item	Si ABCDE est un pentagone régulier:

A :~AB/DE = $\varphi$\quad 	B : AB/AC = $\varphi$\quad	C : AD/BC = $\varphi$\quad
D : AC/AD = $\varphi$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Gaston hésite entre deux contrats d'embauche pour lesquels le salaire du premier mois est de \np{1600}~euros.

Contrat \no 1 : chaque mois à partir du deuxième mois le salaire mensuel augmente de 10 euros.

Contrat \no 2 : chaque mois à partir du deuxième mois le salaire augmente de $0,6\,\%$ par rapport au mois précédent.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour chacun des deux contrats, déterminer la nature de la suite des salaires mensuels, préciser le premier terme et la raison.
\item Pour chacun des deux contrats, calculer le total des salaires perçus pendant la première année.
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer à partir de quel mois le salaire mensuel correspondant au contrat n$\up{o} 2$ devient supérieur à celui du contrat n$\up{o} 1$ Justifier correctement la réponse.
\end{enumerate}

On rappelle que :

$\bullet~$ La somme $S$ des $n$ premiers termes d'une suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de raison $ q~

(q \neq 1)$ est :

\[S = u_{1} + u_{2}+ \cdots + u_{n} = \dfrac{1 - q^n}{1 - q}.\]

$\bullet~$La somme $S'$ des $n$ premiers termes d'une suite arithmétique $\left(v_{n}\right)$ de raison $r$ :

\[S' = 	v_{1} + v_{2}  + \cdots 	+ v_{n} = 	nv_{1} + r\dfrac{n(n -1)}{2}.\]

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

Voici les premiers vers d'un poème de Jacques Prévert : \og Le cancre \fg{}.

\begin{verse}
Il dit non avec la tête\\
Mais il dit oui avec le c{\oe}ur\\
Il dit oui à ce qu'il aime\\
Il dit non au professeur\\
\end{verse}

Chacun des 26 mots de ces vers est inscrit sur une carte. On obtient ainsi la répartition suivante :

\begin{center}\begin{tabular}{|c||*{8}{c|}}\hline
mots & il &dit & non  & avec & la & tête& mais & oui\\ \hline
effectif &5&4&2&2&1&1&1&2\\ \hline \hline
mots & le & c{\oe}ur & à & ce & qu &aime  & au & professeur\\ \hline
effectif & 1&1&1&1&1&1&1&1\\  \hline \hline
\end{tabular}\end{center}

On a ainsi un jeu de 26 cartes.

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

\begin{enumerate}
\item On tire successivement trois cartes au hasard parmi les 26.
	\begin{enumerate}
		\item Les tirages s'effectuent sans remise, calculer la probabilité d'obtenir, dans l'ordre \og il dit non \fg.
		\item Les tirages s'effectuent avec remise, calculer la probabilité d'obtenir exactement une fois le mot \og non \fg{}.
	\end{enumerate}
\item On tire au hasard et simultanément trois cartes au hasard parmi les 26.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité d'obtenir trois verbes.
		\item Calculer la probabilité d'obtenir ensemble les trois mots \og il \fg{}, \og dit \fg{} et \\\og non \fg{}.
		\item Calculer la probabilité d'obtenir au moins une fois le mot \og non \fg{}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\begin{center}\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}\end{center}

\textbf{PARTIE A}

\medskip

Pour effectuer un examen médical, on injecte par piqûre intramusculaire une dose de 3 cm$^3$ d'une substance médicamenteuse dans le sang d'un malade à l'instant $t =  0~ (t$ est exprimé en heures). Celle-ci passe alors progressivement dans le sang. La diffusion atteint son maximum au bout d'une heure.

La courbe de l'annexe représente la quantité de substance présente dans le sang à l'instant $t$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire sur la feuille annexe la tangente à la courbe au point d'abscisse 2, sachant que son coefficient directeur est égal à $(- 0,9)$.
\item À partir du graphique commenter l'évolution de la quantité de substance médicamenteuse contenue dans le sang.
\item Pour pouvoir effectuer l'examen, il faut que la quantité de substance médicamenteuse présente dans le sang soit supérieure ou égale à 0,5 cm$^3$. Déterminer graphiquement de combien de temps on dispose pour faire cet examen.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

On a injecté par piqûre intraveineuse 1 cm$^3$ de médicament à un malade à l'instant $t = 0$. La substance se répartit immédiatement dans le sang et elle est ensuite progressivement éliminée. Expérimentalement, on montre que la quantité $q(t)$ de substance présente dans le sang à l'instant $t$ est donnée par la relation $q(t) = \text{e}^{- 0,15t}$ où $t$ est exprimée en heures.

\begin{enumerate}
\item Quel volume de ce produit reste-t-il au bout de 90 minutes ?
\item Quel volume de ce produit le malade a-t-il éliminé au bout d'une demi-heure ? d'une heure ?
\item On donne $q'(t) = - 0,15\text{e}^{- 0,15t}$ où $q'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $q$.

Étudier les variations de la fonction $q$ sur l'intervalle [0~;~9] puis tracer sa représentation graphique dans un repère orthogonal en prenant pour unités 2~cm en abscisses et 10~cm en ordonnées.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}FEUILLE ANNEXE à rendre avec la copie

\vspace{3cm}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=2.5cm}\begin{pspicture}(8,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(8,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(8,3)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{2.71828 1 x sub exp x mul 2.41 mul}
\uput[r](0,3.1){Quantité présente dans le sang $\left(\text{en cm}^3\right)$}
\uput[d](7,-0.3){Instant $t$ en heures}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}

 