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%tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{Polynésie juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat L Polynésie juin 2004 \decofourright}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisée \hfill 3 heures

L'annexe est à rendre avec la copie

\vspace{0,25cm}

Le candidat doit traiter \textbf{trois} exercices

Obligatoirement : l'exercice 1 et l'exercice 2

Au choix : l'exercice 3 \textbf{ou} l'exercice 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire} \hfill 8 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1 ; 5] par 

\[f(x) = \dfrac{4}{x} + 2.\]

On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté
 à un repère orthonormal \Oij.
 
\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de la
 fonction $f$.
\item Compléter le tableau de valeurs de la fonction $f$ donné sur l'annexe (à rendre avec la copie).
\item Placer les points A, B, C, D, L, M sur l'annexe (à rendre avec
 la copie). Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ sur l'annexe.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note F le point de coordonnées (2 ; 0) et G le point de coordonnées
 (4 ; 0). On a construit sur  l'annexe le rectangle R$_1$ dont la longueur 
mesure $f\left(\dfrac{3}{2}\right)$, dont une largeur est le segment [EF] et 
tel que le point K se situe sur la largeur opposée.

Construire de manière analogue les rectangles R$_2$ et R$_3$ définis de la manière suivante :

$\bullet~$ R$_2$ est le rectangle dont la longueur mesure $f(3)$ dont une largeur
 est le segment [GF] et tel que le point L se situe sur la largeur opposée ; 

$\bullet~$ R$_3$ est le rectangle dont la longueur mesure $f\left(\dfrac{9}{2}\right)$, dont une largeur est le segment [GH] et tel que le point M se situe sur la largeur opposée.
\item Calculer la somme $A_1$, des aires de R$_1 $, R$_2$ et R$_3$. En donner une 
valeur approchée à 0,01 près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle [1~;~5] par 

\[F(x) = 4 \ln x + 2x.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $F'(x) =  f(x)$.
\item On admet que l'aire du domaine du plan limité par l'axe des 
abscisses. la courbe $(\mathcal{C})$ et les droites d'équations 
respectives $x = 1,~ x = 5$  est donnée par $F(5) - F(1)$.

Calculer l'aire $A_2$  de ce domaine. En donner une valeur approchée à 0,01 près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Une étude a été faite dans un lycée en début d'année scolaire, concernant la création d'un journal. Tous les élèves ont été interrogés.

Au lycée il a 55\,\% de filles.

À la question : \og achèteriez-vous le journal du lycée ? \fg{}, $72\,\%$ des filles ont  répondu OUI, 60\,\% des garçons ont répondu OUI.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On choisit au hasard un élève du lycée. Chaque élève a donc la même probabilité
 d'être choisi. 

On appelle F l'évènement \og l'élève choisi est une fille \fg{}. 

On appelle O l'évènement \og l'élève choisi a répondu OUI \fg{}. 

On note $\overline{\text{F}}$  l'évènement contraire de F et $\overline{\text{O}}$ l'évènement contraire de O.
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous (on notera sur chaque branche la probabilité correspondante).

\begin{center}
\psset{nodesep{3pt}}
\pstree[linecolor=red]{\TR{}}
{
  \pstree{\TR{F}}
     {
     \TR{O}
     \TR{$\overline{\text{O}}$} 
     }
  \pstree{\TR{$\overline{\text{F}}$}}
    {
    \TR{O} 
    \TR{$\overline{\text{O}}$}
     }
}

\end{center}

\item Calculer la probabilité que l'élève choisi soit une fille et que cet élève ait répondu OUI.
\item Calculer la probabilité quel élève choisi soit un garçon et que cet élève ait répondu OUI.
\item En déduire la probabilité que l'élève choisi ait répondu OUI.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

Le journal est créé au lycée et son premier numéro parait au mois
 de décembre, puis une fois par mois jusqu'au mois de mai inclus.

On interroge un élève du lycée au mois de juin. On suppose que chaque mois de parution, la probabilité que l'élève achète le journal est 0,6 et cela de façon indépendante chaque mois. Cette probabilité ne change pas au cours de l'année.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que cet élève n'ait jamais acheté le journal.
\item Calculer la probabilité que cet élève ait acheté le journal au moins une fois.
\item Calculer la probabilité que cet élève ait acheté le journal exactement deux
 fois.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On se propose de crypter un message en remplaçant chaque lettre du message par une autre lettre. Pour cela on attribue à chaque lettre de l'alphabet un rang (A a le rang 0, B a le rang 1, ... et Z a le rang 25). 

On donne ci-dessous le rang des lettres de l'alphabet :

\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\footnotesize lettre & A & B & C & D & E & F& G & H & I & J & K & L & M\\ \hline
\begin{tabular}{c}\footnotesize rang de\\
 \footnotesize la lettre\\ \end{tabular}& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline
\footnotesize lettre & N	&O & P & Q & R & S & T & U & V & W & X &  Y & Z\\ \hline
\begin{tabular}{c}\footnotesize rang de\\
 \footnotesize la lettre\\ \end{tabular} & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25\\ \hline
\end{tabularx} \end{center}
 
On remplace la lettre de rang $x$ par la lettre de rang $y~ (0 \leqslant 
y \leqslant 25)$ tel que $y \equiv 7x + 3\quad  $(modulo 26).

{\footnotesize Par exemple : pour crypter le lettre R,\\
$\bullet~$ on repère son rang (ici $x = 17$) ;\\
$\bullet~$ on calcule $y$ ; on obtient alors :\\
$y \equiv 7 \times 17 + 3 \quad $ (modulo 26)\\
$y \equiv 122\quad $ (modulo 26) :\\
$y \equiv 18 \quad $ (modulo 26) puisque $122 =  4 \times 26 + 18$ ;\\
donc $y =	18$.\\
$\bullet~$ on remplace R par la lettre de rang 18, qui est la 
lettre S.}

Crypter le mot S E C R E T

\item  On se propose maintenant de décrypter.

{\footnotesize Par exemple, pour trouver quelle est la lettre qui a été
 remplacée par la lettre N de rang $y = 13$\\
$\bullet~$ Il suffit de résoudre l'équation $13 \equiv 7x + 3 \quad$ (modulo 
26) :\\
$\bullet~$	Cela revient à chercher $x$ tel qu'on puisse écrire $7x \equiv 
 10 - 26n$ avec $n$ entier naturel\\
$\bullet~$	En donnant à $n$ les valeurs entières successives 0, 1,  2, . . .
 on trouve $x =  20$. La lettre qui a été remplacée par la lettre N a pour rang 20,
 c'est donc la lettre U.}

On a reçu le message suivant : S F N Z Z H G F.

Décrypter le message reçu.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  6 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par son premier terme $u_0 = 
0,7$ et par la relation de récurrence

\[u_{n+1} = 2u_n - 0,4 \qquad  (n \quad  \text{entier naturel}).\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1,~u_2,~u_3$.

\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout $n$ entier naturel par $
v_n = u_n - 0,4.$
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_n.$
		\item Montrer que $v_{n+1}  =  2v_n$.
		\item En déduire la nature de la suite.
		\item Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La règle de Titius-Bode (connue vers 1770) permet de retrouver approximativement la distance au Soleil de la plupart des planètes du système solaire. 

Pour cela, on prend comme unité la distance de la Terre au Soleil qui vaut environ
 150 millions de kilomètres. Cette unité est appelée unité astronomique (u.a.).
Ainsi 1 u.a. $\approx  15 \times 10^7$ km.

En écriture moderne, la loi de Titius-Bode s'exprime par la formule suivante :

\[u_n = 0,4 + 0,3 \times 2^n\]

où pour une planète donnée $u_n$ est la distance au Soleil de cette planète 
(en u.a.) et $n$ est le rang de la planète, défini dans le tableau ci-dessous :

\begin{center} \begin{tabular}{|l|*{7}{c |}}\hline
Planète & Vénus & Terre & Mars & (Cérès)* & Jupiter & Saturne & Uranus \\ \hline
Rang $n$&	0&	1&	2&	3&	4&5&	6\\ \hline
\end{tabular} \end{center}

{\footnotesize (*) La lacune observée entre les orbites de Mars et Jupiter fut comblée en 1801 par la découverte de la planète Cérès, puis plus tard de milliers 
d'astéroïdes.}

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{center} \begin{tabular}{|l|*{7}{c |}}\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline
$u_n$ & & & & & & & \\ \hline
\end{tabular} \end{center}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la distance approximative au Soleil de la planète Uranus
 (on donnera le résultat en millions de kilomètres).
		\item Calculer le rang de la planète dont la distance approximative au
 soleil est $780$ millions de kilomètres. De quelle planète s'agit-il ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\newpage
 
\begin{center}
\textbf{Annexe de l'exercice 1}

\vspace{0,4cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{0,4cm}

Tableau de valeurs de la fonction $f$ à compléter

\vspace{0,4cm}

\renewcommand\arraystretch{2.3}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c| *{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
point & A & B & C & D & K & L & M \\ \hline
$x$ & 1 & 2 & 4 & 5 & $\dfrac{3}{2}$ & 3 & $\dfrac{9}{2}$\\ 
\hline
$f(x)$ & & & & & $\dfrac{14}{3}$ & & $\dfrac{26}{9}$\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

Représentation graphique de la fonction $f$

\vspace{0,4cm}
         
\psset{unit=1.8cm}
\begin{pspicture}(5,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,griddots=10,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=1.3pt]
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(5.5,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,6.5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0,0){O} \uput[d](1,0){E} \uput[d](2,0){F} \uput[d](4,0){G} 
\uput[d](5,0){H}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[l](0,4.6667){$f\left(\dfrac{3}{2}\right)$}
\psframe[fillstyle=vlines](1,0)(2,4.6667)
\psline(1.5,0)(1.5,4.6667)
\psline(1.45,4.7167)(1.55,4.6167)
\psline(1.45,4.6167)(1.55,4.7167)
\uput[ur](1.5,4.6667){K}
\psline[linestyle=dotted](0,4.6667)(1.5,4.667)
\end{pspicture}
\end{center}	 
\end{document}