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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{ juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat TL Polynésie juin 2007~\decofourright}} 
\end{center}

\vspace*{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 1  \hfill 5 points}

\medskip

Pour tout nombre entier $n\geqslant 1$, on considère le nombre entier $11^n+5^n-7$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le reste de 11 dans la division euclidienne par 10 ?
		\item Démontrer que, pour tout nombre entier $n\geqslant 1$, \quad $11^n \equiv 1\pmod{10}$.

	\end{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout nombre entier $n\geqslant 1$, \quad $5^n\equiv \pmod{10}$.

(On pourra utiliser un raisonnement par récurrence ou s'appuyer sur des propriétés de divisibilité).

\item Quel est le chiffre des unités du nombre $11^{\np{2007}}+5^{\np{2007}}-7$ ? Justifier la réponse donnée.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 2  \hfill 5 points}

\medskip

Dans un jeu, on dispose d'une urne contenant une boule noire et quatre boules blanches, ainsi qu'un dé bien équilibré.

Une partie consiste pour un joueur à prélever au hasard une boule dans l'urne, puis :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item si la boule tirée est blanche, il lance le dé et gagne si le numéro obtenu est inférieur ou égal à 4,
\item si la boule tirée est noire, il lance le dé et gagne si le numéro obtenu est pair.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On considère les évènements suivants :

\hspace*{10mm} $B$ : \og le joueur tire une boule blanche \fg .

\hspace*{10mm} $G$ : \og le joueur gagne la partie \fg .

On note $\overline{B}$ et $\overline{G}$ les évènements contraires de $B$ et $G$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le joueur tire une boule blanche.
\item Calculer la probabilité que le joueur gagne la partie sachant qu'il a tiré une boule blanche.
\item Reproduire et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(8,3)
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm,nodesepB=3mm]{\TR{}}%
{
\pstree[levelsep=3cm,thistreesep=1.5cm,nodesep=3mm]{\Tr{$B$}} {\Tr{$G$} \Tr{$\overline{G}$}}
\pstree[levelsep=3cm,thistreesep=1.5cm,nodesep=3mm]{\Tr{$\overline{B}$}} {\Tr{$G$} \Tr{$\overline{G}$}}
}
%\end{pspicture}
\end{center}

\item Montrer que la probabilité que le joueur gagne la partie est égale à $\dfrac{19}{30}$.
\item Le joueur gagne la partie. Quelle est la probabilité qu'il ait tiré une boule blanche ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 3  \hfill 5 points}

\medskip

Un robot miniature se déplace sur un cercle de centre $O$ et de rayon 1 mètre. Il est déposé au point $A_0$ puis il parcourt le cercle en tournant dans le sens direct (sens de la flèche sur la figure).

Il est décidé que son trajet s'effectuera en plusieurs étapes (voir figure).

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item \textbf{Étape 1} : il parcourt le demi-cercle de $A_0$ à $A_1$, la distance parcourue est notée $d_1$.
\item \textbf{Étape 2} : il parcourt le quart de cercle de $A_1$ à $A_2$, la distance parcourue est notée $d_2$.
\item \textbf{Étape $n$, avec $n\geqslant 2$} : il parcourt l'arc de cercle allant de $A_{n-1}$ à $A_n$, la distance parcourue, notée $d_n$, étant la moitié de celle parcourue à l'étape précédente.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}\psset{unit=0.8cm,dotscale=0.1}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4.2)
\pscircle(0,0){4}
\SpecialCoor
\psline[linestyle=dashed](4;0)(4;180)
\psline[linestyle=dashed](4;45)(4;225)
\psline[linestyle=dashed](4;90)(4;-90)
\psline[linestyle=dashed](4;135)(4;-45)
\uput[r](4;0){$A_{0}$}\uput[l](4;180){$A_{1}$}
\uput[d](4;-90){$A_{2}$} \uput[dr](0,0){O}
\psarc{->}(0,0){4.5}{48}{75}\end{pspicture}
\end{center}

On rappelle que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Le périmètre d'une cercle de rayon 1 mètre est égal à $2\pi$ mètres.
\item[$\bullet$] \(1+q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$, pour tout nombre réel $q\not= 1$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $d_1$ et $d_2$ en fonction de $\pi$.
		\item Reproduire la figure, puis placer le point $A_3$. Justifier que $(d_3=\frac{\pi}{4}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $(d_n)$ ? Justifier la réponse donnée.
		\item Montrer que, pour tout nombre entier $n\geqslant 1$, \quad \(d_n=\pi\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.
	\end{enumerate}
\item On s'intéresse à la distance totale, notée $D_n$, parcourue par le robot sur le cercle à la fin de l'étape $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $D_2$.
		\item Démontrer que, pour tout nombre entier $n\geqslant 1$, \quad \(D_n=2\pi\left (1-\left( \dfrac{1}{2}\right )^n\right )$.
		\item Déterminer la limite de la suite $(D_n)$.
		\item Justifier que, pour tout nombre entier $n\geqslant 1$, \quad $D_n< 2\pi$.
		
Que peut-on en déduire pour le déplacement du robot sur le cercle ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice} 4  \hfill 5 points}

\medskip

Suivant la prescription de son médecin, Pascal s'administre un médicament, lequel passe progressivement dans le sang comme il est aussi progressivement éliminé. Une documentation technique propose la fonction $f$ définie sur $[0\,;\,5]$ par 

\[f(t)=5t\mathrm{e}^{-t}\]

 pour décrire la concentration, en mg/L, en fonction du temps écoulé $t$, en heures, valable pour les $5$~heures après la prise.
 
Par ailleurs il est bien indiqué, pour prendre le volant de sa voiture, d'attendre que cette concentration soit inférieure à $0,25$~mg/L.

Une courbe représentative de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.

\begin{center} 
\psset{unit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1)(5.3,2.7)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,linestyle=dashed](-0.5,-1)(5,2.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.5,-1)(5.3,2.6)
%  \pstGeonode[PosAngle=-135,PointSymbol=+](0,0){O}
%\multido{\n=-0.5+0.5}{12}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed,linecolor=orange](\n,-1)(\n,2.5)}
%\multido{\n=-0.5+0.5}{7}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed,linecolor=orange](-0.7,\n)(5.3,\n)}
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.001}{5}{5 x mul 2.71828  x  exp div}
\rput(5.2,0.1){$x$}
\rput(0.1,2.4){$y$}
%\rput[d](-0.55,-0.15){\textbf{$-0,5$}}
%\rput[d](0.5,-0.15){\textbf{$0,5$}}
%\rput[d](1,-0.15){\textbf{$1$}}
%\rput[d](1.5,-0.15){\textbf{$1,5$}}
%\rput[d](2,-0.15){\textbf{$2$}}
%\rput[d](2.5,-0.15){\textbf{$2,5$}}
%\rput[d](3,-0.15){\textbf{$3$}}
%\rput[d](3.5,-0.15){\textbf{$3,5$}}
%\rput[d](4,-0.15){\textbf{$4$}}
%\rput[d](4.5,-0.15){\textbf{$4,5$}}
%\rput[d](5,-0.15){\textbf{$5$}}
%\rput[l](-0.3,-0.5){\textbf{$-0,5$}}
%\rput[l](-0.2,0.5){\textbf{$0,5$}}
%\rput[l](-0.1,1){\textbf{$1$}}
%\rput[l](-0.2,1.5){\textbf{$1,5$}}
%\rput[l](-0.1,2){\textbf{$2$}}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,linestyle=dashed](-0.5,-1)(5,2.5)
\psaxes{->}(0,0)(-0.5,-0.95)(5.2,2.6)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Étude de la fonction $f$ sur $[0\,;\,5]$.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Vérifier que $f'(t)=5(1-t)\mathrm{e}^{-t}$.
		\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur $[0\,;\,5]$.
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Utilisation de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Au bout de combien de temps la concentration du médicament est-elle la plus élevée ?
		\item Il ne faut pas conduire tant que la concentration est supérieure ou égale à $0,25$ mg/L.

Par lecture graphique, déterminer, avec la précision permise par le graphique, au bout de combien de temps après la prise de médicament Pascal pourra reprendre le volant.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\footnotesize{Note informative}

\footnotesize{La documentation sur le médicament, administré de façon non intraveineuse, précise que les échanges concernés par le passage dans le sang comme par l'élimination se font esseniellement dans un seul sens, suivant des lois qui mettent en jeu des constantes de temps voisines ; les coefficients sont bien sûr adaptés à la morphologie de Pascal.}
\end{document}