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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\footskip 10 mm
\parindent 0pt
%
\textwidth 190 mm
\oddsidemargin -15 mm
\evensidemargin -15 mm
%Tapuscrit Claire Lacaze
\def\({$\displaystyle}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.} 
\lhead{\small Baccalauréat L}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\thispagestyle{empty}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
 
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat TL-Enseignement de spécialité~\decofourright\\Polynésie juin 2009}} 
\end{center}

\vspace*{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 5 points}

\medskip

On a réalisé une étude auprès d'une population étudiante d'une grande ville. Cette étude a permis d'établir que 60\,\% des étudiants lisent un quotidien et que 50\,\% des étudiants lisent un hebdomadaire. Parmi les étudiants lisant un quotidien, 75\,\% lisent un hebdomadaire.

On choisit au hasard un étudiant de cette ville.

On note $Q$ l'évènement \og{} l'étudiant lit un quotidien\fg{} et $H$ l'évènement \og{} l'étudiant lit un hebdomadaire\fg.

\medskip

On pourra s'aider d'un tableau pour traiter l'exercice.

Dans tout l'exercice, on donnera les solutions sous forme de fractions irréductibles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'évènement \og{} l'étudiant lit un quotidien et lit un hebdomadaire\fg{}.
\item Montrer que la probabilité de l'évènement \og{}l'étudiant lit un hebdomadaire et ne lit pas de quotidien\fg{} est égale à $\dfrac{1}{20}$.
\item Calculer la probabilité de l'évènement \og{}l'étudiant lit un hebdomadaire ou lit un  quotidien\fg{}.
\item Calculer la probabilité que l'étudiant lise un quotidien sachant qu'il ne lit pas d'hebdomadaire.
\item Les événements $Q$ et $H$ sont-ils indépendants ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

Pour tout nombre entier naturel $n$, on pose $A(n) = 5^n - 1$.

Le but de l'exercice est d'étudier la divisibilité de $A(n)$ par 13.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $A(2),~ A(3),~ A(4)$. Sont-ils divisibles par 13 ?
\item On considère l'algorithme suivant :

\textsc{Entrée} : Saisir un nombre entier naturel non nul $N$.

\textsc{Initialisation} : Affecter à $m$ la valeur $N$.

\textsc{Traitement} : Tant que $m>6$ affecter à $m$ la valeur $m-13$.

\textsc{Sortie} : Afficher $m$.

	\begin{enumerate}
		\item Faire fonctionner l'algorithme avec $N=25$ puis $N=125$.
		\item Qu'obtiendrait-on en sortie si on faisait fonctionner cet algorithme avec $N=5^4$ ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout nombre entier naturel $k$ :
		
$5^{4k}\equiv 1$\, modulo 13

$5^{4k+1}\equiv 5$\, modulo 13

$5^{4k+2}\equiv -1$\, modulo 13

$5^{4k+3}\equiv -5$\, modulo 13

		\item Application : Quel est le reste dans la division euclidienne de $5^{\np{2009}} - 1$ par 13 ?
		\item Pour quelles valeurs de l'entier $n$, l'entier $A(n)$ est-il divisible par 13 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 4 points}

\medskip

Cet exercice est un QCM. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées dont une seule est exacte.

Les questions sont indépendantes, on n'enlèvera pas de point en cas de réponse fausse.

Pour chaque question, recopier la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur le graphique ci-dessous sont représentées :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3\,;\,1]$;
\item la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $-2$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\psset{xunit=12mm,yunit=6mm,algebraic=true}
    
\begin{pspicture}(-5,-7.5)(3.5,7.2) 
\psplot{-4.2}{-0.75}{4*x+10}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,plotpoints=4000]{-3}{1}{x^3+2*x^2+2}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-7)(3.5,7)
\multido{\n=-5+1}{10}{\psline[linestyle=dotted](\n,-7)(\n,7)}
\multido{\n=-7+1}{15}{\psline[linestyle=dotted](-5,\n)(4,\n)}
%\multido{\n=-4+1}{4}{\uput[d](\n,0){\n}}
%\multido{\n=1+1}{3}{\uput[d](\n,0){\n}}
%\multido{\n=-7+1}{7}{\uput[l](-0.2,\n){\n}}
%\multido{\n=1+1}{6}{\uput[l](-0.2,\n){\n}}
\rput(-2.5,-5.1){$\mathcal{C}_f$}
\rput(-1.3,5.5){$\mathcal{D}$}

\end{pspicture} \end{center}

\begin{enumerate}
\begin{minipage}[t]{0.22\linewidth}
\item $f'(-2)=2$
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{0.22\linewidth}
\item $f'(-2)=4$
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{0.22\linewidth}
\item $f(0)=-2,5$
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{0.22\linewidth}
\item $f(-2,5)=0$
\end{minipage}\\
\end{enumerate}

\item La fonction $g$, définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\dfrac{\text{e}^x-1}{\text{e}^x+1}$, a pour dérivée la fonction $g'$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
	\begin{enumerate}
\begin{minipage}[t]{0.22\linewidth}
\item $g'(x)=1$
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{0.22\linewidth}
\item $g'(x)=\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+1}$
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{0.22\linewidth}
\item $g'(x)=\dfrac{2\text{e}^x}{(\text{e}^x+1)^2}$
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{0.22\linewidth}
\item $g'(x)=\dfrac{\text{e}^x-1}{\text{e}^x+1}$
\end{minipage}\\
\end{enumerate}
\item La fonction $h$, définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\text{e}^{2x}+7\text{e}^x+6$. L'image de $\ln{3}$ par $h$ est :
\begin{enumerate}
\begin{minipage}[t]{0.22\linewidth}
\item $h(\ln{3})=6$
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{0.22\linewidth}
\item $h(\ln{3})=30+\text{e}^2$
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{0.22\linewidth}
\item $h(\ln{3})=0$
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{0.22\linewidth}
\item $h(\ln{3})=36$
\end{minipage}\\
\end{enumerate}
\item On note $S$ l'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'inéquation $\ln{(x+2)}\leqslant 1$. On a :
\begin{enumerate}
\begin{minipage}[t]{0.22\linewidth}
\item $S=]-2~;~\text{e}-2]$
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{0.22\linewidth}
\item $S=]-\infty~;~\text{e}-2]$
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{0.22\linewidth}
\item $S=[\text{e}-2~;+\infty [$
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{0.22\linewidth}
\item $S=[-2~;~\text{e}-2[$\\
\end{minipage}\\
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}   \hfill 6 points}

\medskip

On a représenté en perspective cavalière un terrain de jeu carré horizontal et limité par deux murs verticaux. Le sol est pavé de dalles carrées et un lampadaire est positionné verticalement au centre du terrain.
 
\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,dotscale=0.1,linewidth=0.6pt}
\begin{pspicture}(-0.5,-.5)(11,6)
\psline{->}(11.2,5.03)(10.4,4.51)\rput[l](11.3,5.13){MUR}
\pstGeonode[PosAngle=-135](0,0){A}
\pstGeonode[PosAngle=-45,](6.9,0){B}
\pstGeonode[PosAngle=-20,](10.4,3.4){C}
\pstTranslation[PosAngle=-75]{B}{A}{C}[D]
\pstHomO[PointName=none,PointSymbol=none,HomCoef=.333333333]{A}{B}[m]
\pstHomO[PointName=none,PointSymbol=none,HomCoef=.666666667]{A}{B}[n]
\pstHomO[PointName=none,PointSymbol=none,HomCoef=.333333333]{B}{C}[e]
\pstHomO[PointName=none,PointSymbol=none,HomCoef=.666666667]{B}{C}[f]
\pstHomO[PointName=none,PointSymbol=none,HomCoef=.333333333]{C}{D}[o]
\pstHomO[PointName=none,PointSymbol=none,HomCoef=.666666667]{C}{D}[p]
\pstHomO[PointName=none,PointSymbol=none,HomCoef=.333333333]{A}{D}[l]
\pstHomO[PointName=none,PointSymbol=none,HomCoef=.666666667]{A}{D}[k]
\pstInterLL[PointName=none,PointSymbol=none]{n}{o}{e}{l}{h}
\pstInterLL[PointName=none,PointSymbol=none]{n}{o}{f}{k}{q}
\pstInterLL[PointName=none,PointSymbol=none]{m}{p}{e}{l}{i}
\pstInterLL[PointName=none,PointSymbol=none]{m}{p}{f}{k}{j}
\pstLineAB[linestyle=dotted]{n}{o}
\pstLineAB[linestyle=dotted]{m}{p}
\pstLineAB[linestyle=dotted]{l}{e}
\pstLineAB[linestyle=dotted]{k}{f}
\pstLineAB{A}{B}
\pstLineAB{C}{B}
\pstLineAB{A}{D}
\pstLineAB{D}{C}
\psline(3.5,5.7)(10.4,5.7)
\multido{\n=3.5+0.1}{70}{\psline(\n,3.4)(\n,5.7)}
\psline(0,2.3)(3.5,5.7)
\pstGeonode[PointName=none,PointSymbol=none](3.5,5.7){c}

\pstGeonode[PointName=none,PointSymbol=none](0,2.3){z}
\newcounter{petitn}
\FPeval{\coeff}{0}
\setcounter{petitn}{0}
\whiledo{\thepetitn < 22}{%
\FPeval{\coef}{\coeff}
\pstHomO[PointName=none,PointSymbol=none,HomCoef=\coef]{A}{D}[r]
\pstTranslation[PointName=none,PointSymbol=none,]{A}{z}{r}[t]
\pstLineAB{r}{t}
\FPeval{\coeff}{\coef +0.04762}

\addtocounter{petitn}{1}%
}
\psline[linewidth=1.7pt](5.2,1.65)(5.2,6.25)
\pstGeonode[PointName=none,PointSymbol=*,dotscale=1.8](5.2,6.25){d}
\FPeval{\numm}{0}
\FPeval{\nomm}{0}
\newcounter{petitm}
\setcounter{petitm}{0}
\whiledo{\thepetitm <14}{%
\FPeval{\num}{\numm}
\FPeval{\nom}{\nomm}
\pstHomO[PointName=none,PointSymbol=none,HomCoef=\num]{A}{D}[w]
\pstHomO[PointName=none,PointSymbol=none,HomCoef=\nom]{A}{z}[x]
\pstLineAB{w}{x}
\FPeval{\numm}{\num +0.04762}
\FPeval{\nomm}{\nom +0.076923}
\addtocounter{petitm}{1}%
}
\FPeval{\tumm}{0.04762*14}
\FPeval{\tomm}{0.04762}
\newcounter{petity}
\setcounter{petity}{0}
\whiledo{\thepetity <7}{%
\FPeval{\tum}{\tumm}
\FPeval{\tom}{\tomm}
\pstHomO[PointName=none,PointSymbol=none,HomCoef=\tum]{A}{D}[v]
\pstHomO[PointName=none,PointSymbol=none,HomCoef=\tom]{z}{c}[y]
\pstLineAB{v}{y}
\FPeval{\tumm}{\tum +0.04762}
\FPeval{\tomm}{\tom +0.04762}
\addtocounter{petity}{1}%
}
\FPeval{\rumm}{0.04762*8}
\FPeval{\romm}{0}
\newcounter{petitz}
\setcounter{petitz}{0}
\whiledo{\thepetitz <13}{%
\FPeval{\rum}{\rumm}
\FPeval{\rom}{\romm}
\pstHomO[PointName=none,PointSymbol=none,HomCoef=\rum]{z}{c}[b]
\pstHomO[PointName=none,PointSymbol=none,HomCoef=\rom]{D}{c}[d]
\pstLineAB{d}{b}
\FPeval{\rumm}{\rum +0.04762}
\FPeval{\romm}{\rom +0.076923}
\addtocounter{petitz}{1}%
}
\end{pspicture}
\end{center}

L'objectif de l'exercice est de représenter ce terrain en perspective centrale.
 
Toutes les constructions seront faites sur la feuille Annexe.

Le dessin devra être soigné et tous les traits de construction seront laissés apparents.

\medskip

Sur la feuille annexe sont tracés :
\begin{itemize}
\item le segment $[ab]$ représentant le côté $[AB]$;
\item la ligne d'horizon, le point de fuite principal $\omega$ et un point de distance $\delta$.
\end{itemize}

 On précise que la droite $(ab)$ est parallèle à la ligne d'horizon.

\begin{enumerate}
\item Justifier que les droites $(AD)$ et $(BC)$ ont le même point de fuite.

Est-ce le point de fuite principal ? Si oui, pourquoi ?
\item Sur la feuille annexe, compléter la figure en représentant le sol du terrain ainsi que son pavage.
\item Sachant que la hauteur des murs est le tiers de la longueur du côté du terrain, représenter les murs.
\item Sachant que la hauteur du lampadaire est le double de la hauteur de celle du mur, représenter le lampadaire.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{\Large{Feuille Annexe à rendre avec la copie}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,dotscale=0.1,linewidth=0.6pt}
\rotateright{\begin{pspicture}(0,0)(12,10)
\pstGeonode[PosAngle=-90,dotscale=1,PointSymbol=x](.87,0){a}
\pstGeonode[PosAngle=-90,dotscale=1,PointSymbol=x](9,0){b}
\pstGeonode[PosAngle=90,dotscale=1,PointSymbol=x,PointName=\omega](8.2,9.2){omega}
\pstGeonode[PosAngle=90,dotscale=1,PointSymbol=x,PointName=\delta](18.2,9.2){delta}
\psline(0,9.2)(20,9.2)
\pstLineAB{a}{b}
\end{pspicture}}
\end{center}
\end{document}