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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  L}
\rfoot{\small{avril 2005}}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat L  Pondichéry  avril 2005~\decofourright}

\end{center} 

\bigskip

\textsc{Durée de l'épreuve : 3 heures} 

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 5 points}

\medskip

Sophie et Marc s'envoient régulièrement des messages qu'ils codent afin de ne pas en révéler la teneur à n'importe qui. Sophie utilise le procédé suivant :

$\bullet~$	Tout d'abord, à chaque lettre de l'alphabet, elle associe son rang dans l'alphabet (ainsi 1 est associé à A, 2 à B, etc.). À chaque lettre, elle associe donc un nombre entier $x$.

$\bullet~$	Elle associe ensuite à $x$ un nouveau nombre entier $y$, en posant :
\[y \equiv  3x + 5 \quad (\text{modulo}~ 26) ~\text{avec}~ 0 \leqslant y \leqslant  25.\]

$\bullet~$	Elle envoie enfin le message crypté sous forme d'une suite de lettres en associant de nouveau au nombre $y$ la lettre qui lui correspond dans l'alphabet (à zéro elle associera la lettre Z, à 1 la lettre A, à 2 la lettre B, etc. et à 25 la lettre Y).

\begin{enumerate}
\item Vérifier qu'avec la méthode de Sophie :
	\begin{enumerate}
		\item le nombre $y$ associé à la lettre E est 20,
		\item la lettre P est codée par la lettre A.
	\end{enumerate}
\item Compléter le tableau de la feuille annexe n$\up{o} 1$ à rendre avec la copie (aucune justification n'est demandée).

\item Décrypter ensuite à l'aide de cette méthode le message :

\begin{center} S F S T O T J R H M C T R H M F D P T J.\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Sur la feuille annexe \no 2 à rendre avec la copie, la figure 1 représente un triangle ABD rectangle isocèle en A. Construire sur cette figure le point C tel que ABCD soit un carré, le point E symétrique de C par rapport à D et le point J milieu du segment [AD].

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Sur la figure 2 de la feuille annexe \no 2, sont représentés le tracé en perspective à points de fuite du triangle ABD rectangle isocèle en A et la ligne d'horizon $\Delta$ du plan de ce triangle.

\textsl{Toutes les constructions demandées devront être effectuées sur cette feuille et justifiées sur la copie.}

\begin{enumerate}
\item Placer le point de fuite F$_{1}$, de la direction de la droite (AB), le point de fuite F$_{2}$ de la direction de (BD) et F$_{3}$, celui de la direction de (AD).
\item Construire le point C tel que ABCD soit un carré.
\item Construire le point E, symétrique du point C par rapport au point D.
\item Construire le point J, milieu du segment [AD].
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

\textsl{Le but de cet exercice est l'étude du comportement d'une balle de golf en fonction de sa vitesse, de la résistance de l'air, de la texture de la balle. Les mesures ont été faites avec un champion, d'où la nature exceptionnelle des réponses.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On appelle $t$ le temps (en secondes) écoulé depuis la frappe de la balle par le joueur, et $h(t)$ la hauteur (en mètres) de la balle par rapport au sol à l'instant $t$, avant qu'elle ne retombe. Dans un premier temps, on considère que la fonction $h$ est définie pour $t$ réel positif ou nul, de la manière suivante

\[h(t) = - 0,008t^2 +  t.\]

\begin{enumerate}
\item À quel instant $t$ la balle retombera-t-elle sur le sol ?
\item Sur quel intervalle est-il utile d'étudier la fonction $h$ ? Justifier la réponse.
\item Calculer la fonction dérivée de la fonction $h$.
\item En déduire le tableau de variations de $h$ sur l'intervalle [0 ; 125].
\item À quel instant la balle atteint-elle sa hauteur maximale ? Quelle est cette hauteur ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Si on tient compte de la résistance de l'air et de la nature de la balle, la hauteur de la balle en fonction du temps est exprimée plus précisément par la fonction $g$ définie pour $t$ réel positif ou nul, par :

\[g(t) = - 0,008t^2 + t - \ln (t + 1).\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $g(0)$. Donner la signification du résultat.
\item En utilisant le fait que la dérivée de la fonction $t \longmapsto  \ln (t + 1)$ est la fonction $t  \longmapsto \dfrac{1}{t + 1}$, montrer que la dérivée de $g$ est donnée par :

\[g'(t) = \dfrac{- 0,016t^2 - 0,016t + t}{t + 1}.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $g$.
		\item À quel instant $t$ la balle atteint-elle sa hauteur maximale ? Donner une valeur approchée de la hauteur atteinte, arrondie au mètre.
	\end{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée, arrondie à la seconde, de l'instant où la
balle retombe sur le sol.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{FEUILLE ANNEXE N\up{o} 1 À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{0,5cm}

Exercice 1

\vspace{0,5cm}

\begin{tabular}{|*{14}{c|}}\hline
lettre&	A &	B &	C& D & E & F & G & H & I & J &K &L & M\\ \hline
rang $x$ dans l'alphabet&1&2&3&4&5&&&&&&&& \\ \hline
nombre $y$ associé & & & & &20 & & & & & & & & \\ \hline
lettre envoyée & & & & & & & & & & & & & \\ \hline
\end{tabular}

\vspace{0,4cm}

\begin{tabular}{|*{14}{c|}}\hline
lettre&	N &	O &	P&  Q & R & S &T & U & V &W &X & Y & Z\\ \hline
rang $x$ dans l'alphabet&&&16&4&5&&&&&&&& \\ \hline
nombre $y$ associé & & & & & & & & & & & & & \\ \hline
lettre envoyée & & &A & & & & & & & & & & \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\newpage

\begin{center} \textbf{}FEUILLE ANNEXE N$\up{o}\: 2$ À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{0,5cm}

Exercice 2

\begin{pspicture}(9,6)
\pspolygon(0,0)(4.5,0)(4.5,4.5)
\uput[ul](0,0){B} \uput[ur](4.5,0){A} \uput[ur](4.5,4.5){D}
\rput(4.5,-3){\textbf{Figure 1}}
\end{pspicture}

\vspace{6cm}

\begin{pspicture}(14,8)
\psline(0,8)(14,8) \uput[d](14,8){$\Delta$}
\qdisk(2,5.6){1.5pt} \qdisk(3.9,2.6){1.5pt} \qdisk(6.3,6.7){1.5pt} 
\uput[ul](2,5.6){B} \uput[d](3.9,2.6){A}  \uput[ur](6.3,6.7){D}
\rput(7,0){\textbf{Figure 2}}
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{document} 