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%\author{Claire Lacaze}
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\def\({$\displaystyle}
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%\maketitle
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat TL-Enseignement de spécialité~\decofourright\\La Réunion juin 2007}} 
\end{center}

\vspace*{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 1  \hfill 6 points}

\medskip

Les élèves d'une école de musique sont répartis en trois catégories :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item ceux inscrits à un cours d'instruments à cordes,
\item ceux inscrits à un cours d'instruments à vent,
\item ceux inscrits au cours de batterie.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Chaque élève est inscrit à un seul cours.

60\,\% des élèves sont inscrits à un cours d'instruments à cordes et 10\,\% au cours de batterie.

70\,\% des élèves inscrits à un cours d'instruments à cordes sont des filles et 60\,\% des élèves inscrits à un cours d'instruments à vent sont des garçons.

On interroge au hasard un élève (garçon ou fille) de cette école.


On note C, V, B, F, G les évènenements suivants :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item C : \og l'élève interrogé est inscrit à un cours d'instruments à cordes \fg
\item V : \og l'élève interrogé est inscrit à un cours d'instruments à vent \fg
\item B : \og l'élève interrogé est inscrit au cours de batterie \fg
\item F : \og l'élève interrogé est une fille \fg
\item G : \og l'élève interrogé est un garçon \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\textbf{On pourra utiliser un arbre de probabilités pour décrire la situation}

\begin{enumerate}
\item Donner, à l'aide de l'énoncé :
	\begin{enumerate}
		\item les probabilités $P(B)$ et $P(C)$ des évènements B et C,
		\item la probabilité $P_C(F)$ que l'élève interrogé soit une fille sachant qu'il est inscrit à un cours d'instruments à cordes,
		\item la probabilité $P_V(G)$ que l'élève soit un garçon sachant qu'il est inscrit à un cours d'instruments à vent,
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité $P(C\cap F)$ d'interroger une fille inscrite à un cours d'instruments à cordes.
\item Calculer la probabilité d'interroger une fille inscrite à un cours d'instruments à vent.
\item On sait que 56\,\% des élèves de cette école sont des filles.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité d'interroger une fille inscrite au cours de batterie est $0,02$.
		\item Calculer la probabilité d'interroger un élève inscrit au cours de batterie sachant que c'est une fille (\emph{on donnera le résultat en pourcentage}).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 2  \hfill 4 points}

\medskip

Un nombre entier naturel N s'écrit $\overline{cabc}$ dans le système de numération à base cinq où $a$, $b$, $c$ sont non nuls, c'est-à-dire :

\begin{center}
$\text{N}=c\times 5^3+a\times 5^2+b\times 5+ c$\\
où $a$, $b$, $c$ sont des entiers tels que $0<a<5$,\quad $0<b<5$,\quad $0<c<5$
\end{center}

Ce même nombre N s'écrit $\overline{aba}$ dans le système de numération à base huit.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\text{N}=65a+8b$ et en déduire que $40a=126c-3b$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $40a \equiv 0 \,\text{(modulo 3)}$. En déduire la valeur de $a$.
		\item Montrer que $b \equiv 0 \,\text{(modulo 2)}$. Déterminer les valeurs de $b$ et $c$.
		\item Donner l'écriture de l'entier N dans les bases cinq, huit et dix.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 3  \hfill 5 points}

\medskip

Dans cet exercice, pour chacune des questions, une et une seule des réponses proposées est exacte.

Aucune justification n'est demandée, il est seulement demandée de rappeler le numéro de la question et la réponse choisie $a$, $b$ ou $c$.

Chaque bonne réponse rapporte 1 point et chaque mauvaise réponse enlève 0,5 point.

L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.\\
En cas de total négatif pour l'ensemble de l'exercice, la note attribuée est 0.

\medskip

{\scriptsize \begin{tabular}{|*{5}{c|}}
\hline
\multirow{2}{*}{\textbf{Question}}&\multirow{2}{*}{\textbf{Énoncé}}&\multicolumn{3}{c|}{\textbf{Réponses proposées}}\\\cline{3-5}
&&\textbf{$a$}&\textbf{$b$}&\textbf{$c$}\\\hline
\textbf{1}&\rule[-4mm]{0mm}{10mm} Le nombre \(\ln \left(\frac{1}{\mathrm{e}^3}\right)$ est égal à :&\(\frac{1}{3}$&\(-\frac{1}{3}$&$-3$\\\hline
\textbf{2}&\rule[-4mm]{0mm}{10mm} Le nombre $-4$ est solution de l'équation : &\(\mathrm{e}^{\ln x}= -4$&\(\ln x=-\ln 4$&\(\ln\left(\mathrm{e}^x\right)=-4$\\\hline
\textbf{3}&\begin{tabular}{l} L'ensemble des solutions dans $\R$ de\\ l'inéquation $\ln (1-x)>0$ est l'intervalle\end{tabular}&$]-\infty\,;\,1[$&$]-\infty\,;\,0[$&$]0\,;\,+\infty[$\\\hline
\textbf{4}&\begin{tabular}{l} Dans un repère orthogonal du plan, $\mathcal{C}$ est \\la courbe représentative de la fonction $g$\\ définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par :\\
$g(x)=x\ln x.$\\
Le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}$  \\ au point $A(1\,;\,0)$ est :\end{tabular}&\begin{tabular}{c}\\ \\ \\ \\ \\ $1$\end{tabular}&\begin{tabular}{c}\\ \\ \\ \\ \\ $-3$\end{tabular}&\begin{tabular}{c}\\ \\ \\ \\ \\ $0$\end{tabular}\\\hline
\textbf{5}&\begin{tabular}{l} La fonction $f$ définie sur $\R$ par \(f(x)=\frac{x}{\mathrm{e}^x}$\\ admet pour dérivée la fonction $f'$ définie\\ sur $\R$ par :\end{tabular}&\(f'(x)=\frac{1}{\mathrm{e}^x}$&$f'(x)=(1-x)\mathrm{e}^{-x}$&\(f'(x)=\frac{1+x}{\mathrm{e}^x}$\\\hline
\end{tabular}}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 4  \hfill 5 points}

\medskip

Le service commercial d'un journal a constaté que chaque année, il enregistre \np{1000} nouveaux abonnés mais 50\,\% des anciens abonnés environ ne renouvellent pas leur abonnement.


L'objet de cet exercice est d'étudier l'évolution du nombre d'abonnés si cette situation perdure sachant qu'au cours de l'année écoulée, le journal comptait \np{4000} abonnés.

Dans ce but, on considère la suite $(U_n)$ définie par :
\begin{center}
$u_0 = 4$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,5u_n+1$
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi, pour tout entier $n\geqslant 0$,\quad $u_n$ est une approximation du nombre de milliers d'abonnés au bout de $n$ années.
\item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous.
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{7}{c|}}\hline
\makebox[12mm]{$n$}&\makebox[12mm]{0}&\makebox[12mm]{1}&\makebox[12mm]{2}&\makebox[12mm]{3}&\makebox[12mm]{4}&\makebox[12mm]{5}\\\hline
$u_n$&&&&&&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item À l'aide d'un raisonnement par récurrence, démontrer que : 
\begin{center}
Pour tout entier naturel $n$,\quad $u_n > 2$
\end{center}
\item Soit $(v_n)$ la suite définie sur $\N$ par $v_n = u_n-2$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0,5$.
		
Préciser la valeur de $v_0$.
		\item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le résultat de la question précédente, démontrer que :
\begin{center}
Pour tout entier naturel $n$,\quad $u_n=2(1+0,5^n)$
\end{center}
		\item Quelle est la limite de la suite $(u_n)$ ?
		\item Donner une interprétation de cette limite.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}